幾何探究題（6大類型）-中考復習講義及練習（解析版）

模塊三重難點題型專項訓練

專題39幾何探究題(6大類型)

考查類型一非動點探究題

考查類型二動點探究題

考查類型三平移探究題

考查類型

考查類型四旋轉(zhuǎn)探究題

考查類型五折疊探究題

考查類型六類比探究題

新題速遞

考查類型一非動點探究題

O氟題悠究

H(2022?寧夏?中考真題)綜合與實踐

知識再現(xiàn)

如圖1,RtABC中，ZACB=90°,分別以8C、CA.48為邊向外作的正方形的面積為H、

S2、S3.當S∣=36,S?=1。。時，S?=.

問題探究

圖1圖2圖3

(1)如圖2,分別以BC、C4、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S∣、S?、5,,

則用、S2、S,之間的數(shù)量關系是.

(2)如圖3,分別以BC、C4、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S八S，、S6,試猜

想S4、S5、Sf之間的數(shù)量關系，并說明理由.

實踐應用

⑴如圖4,將圖3中的188繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度至BGH,AeE繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)一定角度至AMN,GH、MN相交于點P.求證：SWW=S四邊切”.?；；

(2)如圖5,分別以圖3中RrABC的邊8C、C4、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形

為底面作柱體，BC、CA,AB為直徑的半圓柱的體積分別為匕、匕、匕.若AB=4,柱

體的高人=8,直接寫出匕+匕的值.

圖4圖5

【答案】知識再現(xiàn)64：

問題探究：(1)5,+S2=53;(2)S4+55=S6i理由見解析；

實踐應用：(1)見解析；(2)K+匕=16萬.

【分析】知識再現(xiàn)：利用勾股定理和正方形的面積公式可求解；

問題探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面積公式可求解；

22

⑵過點。作。GJ_BC交于G,分別求出S4=#BC2,S5=J^-AC.S6=^-AB,由勾股

定理可得走BC?+且AC2=@48°,即可求S4+S產(chǎn)S6；

444

實踐應用：⑴設AB=c,BC=a,AC=b,則HN=α+6-c,FG=c-a,MF=c-b,可證明AHNP是

等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，則S"MN=*(α+8-c)2,

S四邊形PAyFG=~γ^(C-4)(c-b),再Ihe~=α~+Z?~,可證明^PMN=S四邊形/9七.

⑵設AB=c,BC=a,AC=b,以A5為直徑的圓的面積為S3、以3C為直徑的圓的面積為S/、

以AC為直徑的圓的面積為52,可得S∕+S2=SJ,又由M+匕=g(E+E)∕2=gs3力，即可求

Vl+V2=↑6π.

【詳解】知識再現(xiàn)：解：QRfVASC中，ZACB=90。，

AB2=AC2+BC2,

,

..S}+S2=S39

.?S1=36,S3=1OO,

.?.S2=64,

故答案為：64；

問題探究：（1）解：QRfVABC中，NACB=90。,

AB-=AC2+BC2.

:.-AB-=-AC'+-BC2,

222

S1+52=S3,

故答案為：S[+$2=S3；

（2）解：QRfVABC中，ZACB=90°,

.?.AB2=AC2+BC2.

過點。作。GLBC交丁G,

圖3

在等邊三角形BCD中，CD=BC,CG=^BC,

n

DG=-BC,

2

.?』=LBCX且BC=走BC?,

224

同理可得Ss=且AC?,S?=2AB：

5464

.?.—AB2=—AC2+—BC2,

444

.?.S4+S5≈S6；

實踐應用：（1）證明：設AB=c,BC=a,AC=Z?,

:.HN=a+b-c,FG=c-a,MF=C-b,

HGB是等邊三角形，4AB尸是等邊三角形，

:,HG//AF,MNilBF,

:.ZHPN=60°,

.?..MVP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，

???SPMN=,（a+b-c）2，Mq邊形PMFG=C-4）（。一。），

一43C是直角三角形，

.,.c2=a2+b2，

—(tz+?-c)2=-(a2÷?2-?-ab-bc-ac-Λ)(C-?)

44,

'SPMN=S四邊形PAZFG；

（2）解：設AB=c,BC=a,AC=b,以AB為直徑的圓的面積為S3、以3C為直徑的圓的

面積為5、以AC為直徑的圓的面積為S2,

ABC是直角三角形,

c2=a2+b2,

712式？12

:.—c=-a~+-b",

444

S1+S2=S3,

V2=-Sh,V=hh,

2llV,=∣S3Λ,

???V2+VI=1(S1+S2)Λ=1S,Λ=V3,

Aθ=4,II=8,

.?.V,=^S3Λ=-^×Λ?×4×8=?6π,

.?.?+?=16Λ?.

【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握直角三角形的勾股定理,等邊三角形的性質(zhì)，

圓的性質(zhì)，圓柱的體積，平行線的性質(zhì)是解題的關鍵.

甌（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1,在四邊形ABCC中，/54。

=60。，ZBCD=120o,AB=AD,連接4C.求證：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延長CQ到點E,使。E=BC,連接AE.根據(jù)NB4O+N2CZ)=180。，推

得N8+NADC=I80。，從而得到NB=NADE,然后證明aAOEgABC,從而可證8C+CD

=Ac請你幫助小明寫出完整的證明過程.

(2)【思維延伸】如圖2,四邊形ABC。中，/BAO=NBCQ=90。，AB=AD,連接AC,猜

想BC,CD,AC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)【思維拓展】在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90o,AB=AD=E4C與3。相交

于點O?若四邊形ABC。中有一個內(nèi)角是75。，請直接寫出線段。。的長.

【答案】(I)AC=BC+CD；理由見詳解；

(2)CB+CD=√2λC;理由見詳解；

(3)38-3或3一百

【分析】(I)如圖1中，延長CO到點E,使OE=8C,連接AE.證明A4OEtBC(SAS),

推出ND4E=∕BAC,AE=AC,推出A4CE的等邊三角形，可得結(jié)論；

(2)結(jié)論：CB+CD=y[iAC.如圖2中，過點A作4M_LC￡>于點M,AN_LCB交CB的延

長線于點M證明AAΛ∕O9ZX4N8(AAS),推出DM=BN,AM=AN,證明RtxACM"RmACN

(HL),推出CM=CN,可得結(jié)論；

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當NCD4=75。時，過點。作OPLCB于點P,CQLC。于

點Q.如圖3-2中，當/C8Z>75。時，分別求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖1中，延長CO到點E,使。E=BC,連接AE.

?'ZBAD+ZBCD=?S0o,

ΛZβ+ZΛDC=180o,

?/ZADE+ZADC=ISOo

：.ZB=ZADE9

在△A。E和△ABC中，

DA=BA

?/ADE=NB,

DE=BC

：.?ΛDE^?ΛBC(SAS),

：.ZDAE=ZBAC,AE=AC,

工NCAE=NBAD=60。,

???ZVlCE的等邊三角形，

/.CE=AC9

?'CE=DE+CD,

：?AC=BC+CA

(2)解：結(jié)論：CB+CD=6AC.

理由：如圖2中，過點A作CO于點M,ANLCB交CB的延長線于點N.

圖2

?/ZDAB=ZDCB=90o,

,NCDA+NCBA=180。，

??ZABiV÷ZABC=180°,

：,ZD=ZABNt

o

VZAMD=ZN=WfAD=AB,

：.∕?AMD^∕?ANB(AAS),

：.DM=BN,AM=AN,

u

CAMLCD.ANYCN1

：.NACD=NAC8=45。，

：?AC=近CM,

AC=AC.AM=AN,

LRtAACM沿RmACN(HL),

ICM=CN,

CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=6AC；

(3)解：如圖3-1中，當NCD4=75。時，過點。作OPJ_CB于點P,CQLa)于點Q.

圖3-1

VZCDA=I5%NADB=45。,

.*.NCoB=30。,

???ZDCB=90o,

.,.CD=√3CB,

?；NDCo=NBeO=45。,OPVCB,OQJLCD,

：.OP=OQ,

Q_CD,OQ

.S>8。_2_8

SXOBCABCOPBC

2

.ODCD[-

..--=--=√3,

OBCB

*：AB=AD=y∕β，ZDAB=90o,

；?BD=y∣2AD=2√3,

??.OD=-?×2√3=3√3-3.

l+√3

如圖3-2中，當NCBQ=75。時,

圖3-2

同法可證?^=1，OD=×2>/3=3-73,

綜上所述，滿足條件的0。的長為3抬-3或3-6.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

各地的中考數(shù)學試題中，最后一道壓軸題以代數(shù)和幾何的綜合性問題最為常見,而

非動點坐標系圖形探究問題,更是近年的重點與難點,這類問題往往自成一系,解法有規(guī)

律可循.非動點坐標系圖形探究問題,是指以坐標系中的特殊圖形如特殊三角形,特殊四

邊形,相似圖形或特殊直線等為探究對象，以初中代數(shù)和幾何難點內(nèi)容相結(jié)合為背景，以

數(shù)形結(jié)合為研究方法的題型.通過圖形之間的特殊位置關系和一些特殊的值,建立方程

或函數(shù)模型去求解,是解決這類問題的關鍵.

,田日硼繞

【變式1](2022.重慶.統(tǒng)考二模)如圖，在矩形ABCo中，點E是對角線上一點，連接AE

并延長交CQ于點F,過點E作EG,AE交BC于點G,若A2=8,AD=6,BG=2,則AE

EY

DFC

8√Γ7

A.巫B.晅7√17

5

【答案】B

【分析】過點E作AB的平行線，分別交AD,BC于點M,N,先根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定可得

四邊形ABNM和四邊形Ce)MN都是矩形，設EM=X(X>0),則EN=8-x,再根據(jù)相似三

角形的判定證出A。RW-ADB4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OM=1,從而可得

33x

AM=6--x,GN=4--然后根據(jù)相似三角形的判定證出EGN,根據(jù)相似三角

44f

形的性質(zhì)可得N的值，最后在RtNEM中，利用勾股定理即可得.

【詳解】解：如圖，過點E作的平行線，分別交A。,BC于點M,N,

四邊形ABe。是矩形，A3=8,AO=6,

.?.BC=AD=6,ZBAD=90o,ADBC,

???四邊形ABMW是矩形，

.?.MN=AB=8,ZAME=ZENG=90。,

同理可得：四邊形CDWN是矩形，

：,DM=CN,

設EM=X(X>0),則EN=MN-EM=8-x,

EMAB1

:..DEMDBA,

DMEMDMX

：.---=----,即ππ----=-,

DABA68

3γ

解得DM=?，

4

3χ3

.?.C∕V=-,AM=AD-DM=6——%,

44

BG=I9

?r

GN=BC—BG-CN=4-j

4

,ZAME=90o,EG-LAE,

.?.ZEAM+ZAEM=90。=/GEN+ZAEM，

."EAM=ZGEN,

ZAME=/ENG=90。

在ZXAEM和AEGN中,

ZEAM=ZGEN

:.AEMEGN,

6_3

AMEMrmWXX

ENGN8-x4_3X

一4

解得?=—?=8?

姓松抬，R=Y是所列分式方程的根，且符合題意；％=8不是所列分式方程的根，舍去,

.?.EM=-,AM=6--x=-,

25425

.?AE^yJEM2+AM2骸+嚙

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點,通過作輔助線，

構(gòu)造相似三角形是解題關鍵.

【變式2］（2022?四川綿陽?東辰國際學校?？寄M預測）如圖，在平行四邊形488中，

AS=2,AD=3,ZABC=60o,AEL5C于點E,點F為。。的中點，OE與B尸相交于點

【分析】延長3F,4。交于點M，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到A進而得到

BFCSMFD,相似比為1:1,得到DW=BC,BEP^MDP,得到——=——，利用30。

PMDM

1RP

所對的直角邊是斜邊的?半，得到BE=彳AB,進而求出工的值，過點M作MNlBC,

2PM

交BC的延長線與點N,易得四邊形AMVE為矩形，進而得到BN,MN的長，利用勾股定理

RP

求出RW的長，再根據(jù)177的值求出BP的長即可.

PM

【詳解】解：VAE±BC,ZABC=60。，AB=2,

：.ZEAB=30o,BE=-AB=li,AE=y∣AB2-BE2=√5,

2

延長BF,AD交于點M,

：四邊形ABC。為平行四邊形，AB=2,AZ）=3,

AD//BC,BC=AD=3f

BFCs,MFD,

.DMDF

**"βCr^CF,

I點"為CD的中點,

DF=CF,

：.DM=BC=3,

丁AD〃BC,

：?一BEPS_MDP，

.BPBE1

t,~PM~~DM~39

.BP1

??麗―"

過點M作MNlBC,交BC的延長線與點N,

則四邊形AMNE為矩形，

EN=AM=AD+DM=6,MN=AE=?/?,

：.BN=BE+EN=I,

BM=y∣BN2+MN2=2√13^

??BP1

?BMy

BP=LBM=—:

42

故答案為：叵.

2

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，含30。的直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩

形的判定和性質(zhì).本題的綜合性強，通過添加輔助線，證明三角形相似，是解題的關鍵.

【變式3］（2022?山東青島?山東省青島第二十六中學?？级＃﹩栴}提出：已知任意三角

形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進行探究.

探究一：如圖1,在ABC中，NABC=90。，AC=b,BC=a,NC=Nc,求_ABC的面

積.

在RtZXAfiC中，NABC=90。，

:.AB=b?s,ma.

.?.SMBC~~BC?AB=—α.Z?Sina.

探究二：如圖2,ASC中，AB=AC=b,BC=a,ZB=Za,求ABC的面積（用含〃、

b、α代數(shù)式表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,.ABC中，AB=b,BC=a,NB=Na,求..ABC的面積（用。、b、?

表示）寫出探究過程.

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字

敘述）.

問題應用：如圖4,已知平行四邊形ABCZ）中，AB=b,8C=α,NB=α,求平行四邊形ABCo

的面積（用。、b、α表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用?！癱、"、

a、4表示），其中AB=b,BC=c,CD=d,AD=a,ZA=a,ZC=I3.

【答案】?^sina,見解析；1岫Sina,見解析；一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積

22

的一半；absma；SreMASS=萬岫?sina+gcd?sin/

【分析】探究二：如圖2中，作A”_LCB于//.求出高A”,即可解決問題；

探究三：如圖3中，作A"LC8于H.求出高AH,即可解決問題；

問題解決：S=—a?sinZ.C（NC）是“、。兩邊的夾角）；

問題應用：如圖4中，作AHJ_C8于H.求出高AN,即可解決問題；

問題拓廣：如圖5,連接BD,由探究三的結(jié)論可得出答案.

【詳解】解：探究二：如圖2中，作A"_LC8『”.

BC

圖2

AB=AC=bfBC=a,N8=N0,

:./B=/C=a，

在MAZfC中，∠S4∕∕C=90o,

.AH

:.Sma=,

AC

:.AH=ASina,

探究三：如圖3中，作A”,CB于〃.

HC

圖3

在向A/7C中，ZAHC^90°

:.AH=??sinα

問題解決：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問題應用：如圖4中，作AHLCB于H.

AD

BHC

圖4

在必AHB中，ZAHB=90°

:.AH=Z>sina

?'?S平行四邊形A5CD=BC?AH=

問題拓廣：

圖5

連接3。，由探究三的結(jié)論可得：SMBD=^×AB×AD×sina=ab.sina.

S.HCn=-×BC×CD=JCd.sinβ.

ΛOV∕×22"

???sniHKABCDsina+^cd-sinβ.

【點睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

考查類型二動點探究題

D凰題您熨

例H(2022?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)已知，四邊形ABCO是正方形，。所繞點。旋轉(zhuǎn)

(DE<AB),ZEDF=90。，DE=DF,連接AE,CF.

(1)如圖1,求證：YADE咨_CDF；

⑵直線AE與CP相交于點G.

①如圖2,8M,AG于點M,BNLCF于點、N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接8G,若Aβ=4,OE=2,直接寫出在』)￡尸旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長

度的最小值.

【答案】（1）見解析

（2）①見解析②2指

【分析1（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

（2）①根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；

②作LAG交AG于點”，作LAG于點"，證明ABMG是等腰直角三角形，求

出的最小值，uj■得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：?「四邊形ABC0是正方形，

:.AD=DC,ZADC=90。.

DE=DF,NEDF=90。.

:.ZADC=ZEDF1

?IADEICDF,

在VA￡）E和CDF中，

DA=DC

<ZADE=NCDF

DE=DF

:NADE^ACDF（SAS）:

（2）①證明：如圖2中，設AG與CO相交于點P.

圖2

.ZAT>P=90o,

.?ZDAP+ZDPA=90o.

ADE^iCDF,

:.ZDAE=ZDCF.

NDPA=NGPC,

:.NDAE+NDPA=NGPC+NGCP=90°.

.?.NPGN=9Qo,

BMLAG,BNIGN,

.??四邊形BMGN是矩形，

，/MBN=90"

四邊形ABCo是正方形，

.?AB=BC,NABC=NMBN=90。.

,?ZABM=ZCBN.

又?.NAMB=NBNC=90°,

:.AMB-CNB.

:.MB=NB.

.??矩形BNGN是正方形；

②解：作。"_LAG交AG于點”，作BΛ∕J_AG于點M,

?.?ΛDHA=ZAMB=90o,ZADH=90°-4DAH=NBAM,AD=AB

DHA.

..BM=AH.

AH?=AbI-DH2，AD=4，

.,.DH最大時,AH最小，最大值=DE=2.

.?.?BΛ∕鼓小值=A//最小值=2y∣3?

由（2）①可知，.8GM是等腰直角三角形，

??BG城,MA=丘B(yǎng)M=2R?

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直

角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬

于中考壓軸題.

顧月（2022?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABC。中，A5=4,AD=BD=屈,

點M為邊A3的中點，動點尸從點A出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度向

終點8運動，連結(jié)PM.作點4關于直線PM的對稱點4,連結(jié)/TP、AM.設點P的運

動時間為/秒.

β?

(1)點D到邊AB的距離為；

⑵用含t的代數(shù)式表示線段。戶的長；

⑶連結(jié)AO,當線段4。最短時，求的面積；

(4)當M、4、C三點共線時，直接寫出■的值.

【答案】⑴3

(2)當03≤∣時，DP=√13-√13z；當1<Z≤2時，PD=√i3f-√13：

(3)1

/八2-20

(4)§或TT

【分析】(1)連接。例，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得。M_LA8,再由勾股定理，即可求解；

(2)分兩種情況討論：當OWWl時，點P在邊上；當1<∕≤2時，點尸在BC邊上，即

可求解；

(3)過點P作M于點E,根據(jù)題意可得點A的運動軌跡為以點例為圓心，4例長為

半徑的圓，可得到當點D、A'、M三點共線時，線段AT)最短，此時點尸在AC上，再證明

?PoESz?AQM,可得。E=3-3f,PE=2-2f,從而得到HE=L>E-A'D=2-3r,在氏APE

中，由勾股定理可得￡=：2，即可求解；

(4)分兩種情況討論：當點4位于M、C之間時，此時點P在AD上；當點4(A")位

于CM的延長線上時，此時點P在8。上，即可求解.

【詳解】(I)解：如圖，連接。M,

：.AM=BM=2,DM±AB,

?'?DM=?∣AD2-AM2=3，

即點。到邊AB的距離為3；

故答案為：3

(2)解：根據(jù)題意得：當Oqwl時，點P在AO邊上，

DP=√13-√Br:

當l<f≤2時，點P在8力邊上，PD=At-用;

綜上所述，當OVEl時，DP=√B-√13r:當1<∕≤2時，PD=√13r-√B：

(3)解：如圖，過點尸作PEj于點E,

：作點A關于直線PM的對稱點N,

.?.A'M=AM=2,

.?.點A的運動軌跡為以點例為圓心，AM長為半徑的圓，

當點。、4、M三點共線時，線段AD最短，此時點P在AD上,

；?A'D=?,

根據(jù)題意得：A'P=AP=√13z,D∕,=√13-√13/,

由(1)得：DMlAB,

,：PEI.DM,

.,.PE∕∕AB,

JXPDEstxADM,

.PDDEPE

"^AD~~DM~~AM`

.√13-√13rDEPE

?-------7=----=-----=-----,

√1332

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

：.AE=DE-AD=2-3t,

在RtAPE中，AP2=PE2+A'E2.

.?.(√13/)2=(2-2/)2+(2-3r)2,解得：r=∣,

，PE=一,

i]Aa

.?.S..=-A'DPE=-×?×-=~;

dnpa2255

當點M、A，、C三點共線時，且點4位于M、C之間時，此時點P在AD上，

連接AA,A'B,過點尸作PFLAB于點凡過點4作AcAB于點G,則A加_LPM,

YAB為直徑，

ΛZA=90°,即AHLr8,

.?PM∕∕A'B,

：.ZPMF=ZABA',

過點C作CNL43交A8延長線于點M

在YABC￡＞中，AB//DC,

"DMlAB,

：.DM//CN,

：.四邊形CCMN為平行四邊形，

：.CN=DM=3,MN=CD=A,

：.CM=5,

CN3

???SinZCMTV=-=-,

CM5

?/A!M=2,

.*.A!G=2×-=—,

55

Q

.?MG=-1

2

.?BG=BM-MG=—，

5

.*.tanAA!BA=——=3,

BG

.?.tanZPMF=tanZA'BA=3,

瞽=3即PF=3FM,

DMPF3/r?…AMAF2

,.,tanADAM=-----=——=二，cosZDAM—=-j=

AMAF2ADAP√13

3

.*.PF=-AF

2f

3

Λ3FM=-AF,BPAF=2FM,

2

VAΛ∕=2,

AF=-,

3

_9

?3=2,解得：r=±;

√13r√133

如圖，當點4(A〃)位于CM的延長線上時，此時點尸在8。上，PB=2萬-屈t,

過點A〃作ArG_LAS丁點G,則NAM4"=NCMN,取AA〃的中點”，則點M、P、H三點

共線，過點H作HKLAB于點K,過點尸作PrLAB于點了，

同理：A"G=*AG'=∣,

'：HKVAB,AnGf±AB,

,,,

???HK∕∕AGf

：?*AHKAA"G',

,??點”是AA"的中點，

.HKAKAH_1

**AnG,~~AGi~~AAi~2"

31

HK=—，AK=-,

55

9

/.MK=—

5

：.tanNPMT=tanZHMK=—=-

MK3f

PT1

Λ——=一，BPMT=3PT,

MT3

2PBT=^i號VCoSNPBT=著端=卡,

：.BT=-PT,

3

9

.?.MT=—BT,

2

,.,MT+BT=BM=2,

4

???BT=-

11f

，Tl=2,解得：，=得；

2√13-√13r√13

綜上所述，f的值為（9或?書0.

【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相

似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點4的運動軌跡是解題的關鍵，是

中考的壓軸題.

厚命題出也

從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖象等圖形，通過“對稱、動點

的運動”等研究手段和方法，來探索及發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀

念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷探索的過程，以能力為意，考查學生的自

主探究能力,促進培養(yǎng)學生解決問題的能力，圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況,

需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解

決“動點”探究題的基本思路.

年級巾硼繞

【變式1】（2021?江蘇南通?統(tǒng)考一模）如圖，AABC中，NHCB=90。，ZA=30o,BC=2,

若D,E是邊48上的兩個動點，尸是邊AC上的一個動點，DE=6,則C。+EF的最小值

為（）

BD

l?

Fa

?3√3_IB.3-且C.l+√3D.3

222

【答案】B

【分析】首先ΔA5C是含有30。角的直角三角形，因此可以得知各邊的長分別為ΛB=4,

ΛC=2√3,因為。，E是邊AB上的兩個動點，尸是邊AC上的一個動點，求CO+E尸的最

小值，就是需要轉(zhuǎn)換成同一直線上求解，即求C關于AB的對稱點G，作GG//AB.構(gòu)建

平行四邊形GDEC2,作。2尸_LAC于尸，交AB于E.利用平行四邊形和對稱圖形的性質(zhì)，

找出線段之間的關系.

【詳解】解：如圖，過C作A8的對稱點C/,連接CC/,交48于M過C/作C∕Cz"AB,

且C∕C2=√5,過C2作C2FL4C于凡交AB于E,CzF的長度即為所求最小值，

'：C∕C2//DE,CQ=DE,

/.四邊形C/OEC2是平行四邊形，

：.CiD=C2E,

又?.?CC∕關于AB對稱，

.?CD=C∣D,

?CD+EF=C2F,

VZA=30o,ZACB=90o,

ΛAC=√3βC=2√3.

：.CN=BAN=3,

過C2作C2MLAB,則C2M=CiN=CN=√3,

.'.C2M/∕C∣N,CiC2//MN，

；?MN=CIC2=√3，

,

.?ZMEC2=NAEF,NAFE=NC2ME=90。,

JNMQE=NA=30°,

在Rt?C2ME中，ME=且，CzM=1,C2E=I,

3

：.AE=AN-MN-ME=3-√3-1=2-√3-

；.EF=T一是,

2

.,.C∕?=2+1--=3--.

222

故選：B.

【點睛】本題主要考查動點構(gòu)成的線段中最小值問題，轉(zhuǎn)換成三點共線，并在垂直的時候最

小，找到時稱點，構(gòu)建最短路徑是解題的關鍵.

【變式2］（2023?陜西西安咬大附中分校校考一模）如圖,在矩形ABC￡＞中，AB=2』，AD=2,

點E為線段8的中點，動點尸從點C出發(fā)，沿C→8→A的方向在CB和54上運動，將

矩形沿EF折疊，點C的對應點為C',當點C'恰好落在矩形的對角線上時，點f運動的距

離為.

【答案】1或2+3

3

【分析】分點C'落在對角線BO上和點C落在對角線AC上兩種情況分別進行討論求解，即

可得出點尸運動的距離.

【詳解】分兩種情況：

①當點C'落在對角線BZ）上時，連接CC',如圖1所示：

「將矩形沿EF折疊，點C的對應點為點C',且點恰好落在矩形的對角線上，

/.CCLEF,

?「點E為線段C。的中點，

CE=ED=EC,

.?.∕CCO=90°,BPCC'LBD,

:.EF//BD.

，點尸是BC的中點，

在矩形ABC。中，AD=2,

.?.BC=AD=2,

.?.CF=1,

???點/運動的距離為1；

圖1

②當點C'落在對角線Ae上時，作F",CD于"，則CC'LEE,四邊形C3F”為矩形,

如圖2所示：

在矩形ABCD中，AB=2y∣3,AD=2,/B=/BCD=90。,AB//CD,

..BC=AD=2,tanZBAC=-=-^==—,

AB一2石-3

.?.∕B4C=30°,

EFA.AC,

:.ZAFE=60°,

：.ZFEH=60°,

四邊形CBFH為矩形，

..HF=BC=2,

mHF_2√3

??EH=------~~rτ_---2----

tan60√33

EC=∣CD=√3,

..BF=CH=CE-EH=E巫=B

33

，點F運動的距離為2+也;

綜上所述：點尸運動的距離為1或2+且;

故答案為：1或2+走.

【點睛】本題考查了幾何變換綜合題，需要利用翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性

質(zhì)、三角函數(shù)的應用等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，熟記翻折變換的性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式3](2022?廣東云浮?校聯(lián)考三模)如圖，在平面直角坐標系中，己知拋物線

y=-∕+"+c與X軸交于A,3(4,0)兩點，與y軸交于點C,點。(3,4)在拋物線上，點P

是拋物線上一動點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接OO,若OP平分NCoD,求點尸的坐標；

(3)如圖2,連接AC,BC,拋物線上是否存在點P,使NC8P+NACO=45。？若存在，請

直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-∕+3x+4

⑵(2,6)

⑶存在，P(3,4)或“織)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)作PE〃y軸，交OJD于點Q,交X軸于點E,可證

得PQ=OQ,求OD的解析式為y=%,設點P的橫坐標為f,則有尸(r,-產(chǎn)+3f+4),Q,，+)

E(t,0),求出尸0=一*+坐.+4,OQ=｝，由｝=-∕+｝+4求得f值即可解答；

(3)將°AOC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，至Z?A'Q8,可得AO=Ao=1,NACo=NA'80,

則A(O,1),求出過點H的直線BP的解析式為y=-5χ+l,與拋物線聯(lián)立方程組求得交點

PH?!；再過C作CF〃x軸，過B作族〃y軸，CF與BF交于點F,則四邊形OMC

I416；

為正方形，作4關于BC的對稱點G,點G在CF上，作直線BG,則直線BG與拋物線的

交點也滿足條件，則G(3,4),與點D重合，則可得尸(3,4),即可求解.

【詳解】(1)解：?；點5(4,0)、0(3,4)在拋物線y=-χ2+?r+c上，

.J-16+4?+c=0

**[-9+3?+c=4'

f?=3

解得一

[c=4

該拋物線的解析式為y=-丁+3x+4；

(2)解：作PE〃y軸，交0。于點°,交X軸于點E,如圖1所示:

V尸E〃y軸，

.?NoPQ=NPOC,

?.?OP平分NCW,

.?.APOC=ΔPOQ,

：.ZOPQ=ZPOQ,

：.PQ=OQ,

設的解析式為y=依，

將。(3,4)代入，a=；

4

???。。的解析式為〉=§］，

設點尸的橫坐標為r,則有P(f,d+3r+4),EaO),r>0,

?二0Q=T2+3r+4-gf=+gf+4,OQ=J產(chǎn)+(gr)=?∣z?

.525

??一”一廠+-f+4ZI,

33

解得％=2,t2=-2(舍去)，

Λr=2,

，一/+3/+4=-4+6+4=6,

，點尸的坐標為(2,6)；

(3)解：存在，*3,4)或尸(-:知.

當X=O時，y=4,則C(0,4),

，OB=OC=4,則AOBC=NOCB=45°,

將AAOC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，至2?A'0B,如圖2所示:

則AO=AO=1,ZACO=ZAIBO,

：.A,(0,l)

由題意NCBP+NACO=45°知，直線BP過點A,

設直線BP的解析式為y=mx+n,

將B(4,0),?(O,I),代入，得：,=0，

1

m=—

解得：4.

n-?

???直線BP的解析式為尸-++∣,

y=-x2+3x+4

聯(lián)立《

y=--χ+↑

4

3

X=——

4

解得:或v

19

y=一

16

4,16；

此時使ZCBP+ZABO=NCBP+ZACO=45°：

如圖2所示，過C作CF〃x軸，過8作軸，C尸與B尸交于點尸，則四邊形OBFC為

正方形，

作W關于8C的對稱點G,則點G在CP上且CG=AG=4-1=3,

.?.G(3,4),與點。重合，

作直線BG,ACBGZABC,

直線BG與拋物線的交點也滿足條件NCBP+NACo=45。，

?；點0(3,4)在拋物線上，

.??P(3,4).

綜上，拋物線上存在點P,使NaP+NACo=45。，點尸的坐標為尸(3,4)或P竹用.

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、坐標與圖形、等腰

三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、二次函數(shù)與幾何變換(旋轉(zhuǎn)和軸對稱)、正方形的

判定與性質(zhì)，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，會利用數(shù)形結(jié)合思想和正確添加輔助線求解

是解答的關鍵.

考查類型三平移探究題

a氟題悠究

gj](2019?天津?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，0為原點，點A(6,0),點B在

y軸的正半軸上，/ABO=30°.矩形CoDE的頂點D,E,C分別在0A,AB,OB±,

0D=2..

(I)如圖①，求點E的坐標；

(H)將矩形CODE沿X軸向右平移，得到矩形C'O'D'E',點C,0,D,E的對應點分別

為C',O',D',E,.設∞'=t,矩形CO'D'E'與AABO重疊部分的面積為S.

①如圖②，當矩形C'O'D'E'與ΔABO重疊部分為五邊形時，C'E',E'D'分別與AB相交于點

M,F,試用含有t的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍；

②當退領65君時，求t的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】(I)E的坐標為(2,46)；(11)?s=--r2+8√^,0<Z<2:(g)∣≤r≤6-√2.

22

【分析】(I)先根據(jù)A點坐標和已知得出AD的長，再根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜

邊的一半和勾股定理得出CO的長即可得到點E的坐標

(II)①根據(jù)平移的性質(zhì)和30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得出MF=2ME=2t,再根

據(jù)勾股定理得出FE'=?，再根據(jù)S=S短腦"。宜-SAM柝得出S與t的函數(shù)關系式

②分2≤t<4和4≤t≤6兩種情況，根據(jù)平移的性質(zhì)和30。角所對的直角邊等于斜邊的一半

得出S與t的函數(shù)關系式，分別求出s=√5和s=4√3時t的值即可

【詳解】解：(I)由點46,0),得。4=6.

又Or)=2,^AD=OA-OD=4.

在矩形CODE中，有ED//CO,得ZAED=ZABO=30°.

在RtAAED中，AE=2AD=8.

，由勾股定理，得即=JAE[-AZ))=4√L有CO=4√L

點E的坐標為(2,4石).

(H)①由平移知，0'D'=2,FD'=4√3，ME'=OO'=t.

由E'D'∕∕BO,得NE'FM=ZABO=30°.

.?.在RtAMFE'中，MF=2ME'=2/.

由勾股定理，得FE=NMF?-ME?=4.

:?Ss=(ME?FE=*.岳=等.

.?.5矩腕如￡=0'。'￡。=86，

??S=S矩形CE一SΔAyFE，=??/?―廠?

.,.S=--r+Syβ,其中f的取值范圍是0<r<2.

2

②當0<r<2時，S=--∕2+8√3

2

當S=K時，-正√+86=√L解得t=E>2

2

當S=5√J時，-且產(chǎn)+8√i=5√L解得t=#>2

2

當2≤t<4時，如圖，OF=√j6-t?D'G=√i(4-t)

ΛS=^[√36-t+√3(4-t)]×2=-2√3r+10√3

當S=G時，-2Ct+10垂>=6；解得t=4.5>4

當S=56時，-2瘋+lθg=5g;解得t=∣?;

當4≤t≤6時，如圖，DF=06-t,D,A=6-t

.?.S=巫(6-t)(6-t)=3(6-t>

22

當S=TJ時，—(6-t)2=G;解得t=6+&>6或t=6-應

2

當S=56時，—(6-t)2=5√3;解得t=6+√∏i>6Wct=6-√K)<4

2

???當Λ?5退時?，∣≤r≤6-^.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平移變換，勾股定理，二次函數(shù)以及一元二次方

程的解法等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問

題，屬于中考壓軸題.

甌（2012?四川達州?中考真題）如圖1,在直角坐標系中，已知點A（0,2）、點、B（-

2,0）,過點8和線段OA的中點C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCQE

（1）填空：點。的坐標為（），點E的坐標為（）.

（2）若拋物線y=ox?+?x+c（α*0）經(jīng)過4、D、E三點，求該拋物線的解析式；

（3）若正方形和拋物線均以每秒標個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正