第05講二元一次方程（組）及其解法（講義與練習(xí)）-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(解析版)

第05講二元一次方程(組)及其解法(核心考點(diǎn)講與練)

I聚焦考點(diǎn)

一.二元一次方程的定義

(1)二元一次方程的定義

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

(2)二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程.②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù).③所有

未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次.不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程.

二.二元一次方程的解

(1)定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的

解.

(2)在二元一次方程中，任意給出一個(gè)未知數(shù)的值，總能求出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)唯一確定的

值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

(3)在求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出其中

一個(gè)未知數(shù)(一般是系數(shù)絕對值較大的)的值，再依次求出另一個(gè)的對應(yīng)值.

三.解二元一次方程

二元一次方程有無數(shù)解.求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方

法，即先給出其中一個(gè)未知數(shù)(一般是系數(shù)絕對值較大的)的值，再依次求出另一個(gè)的對應(yīng)值.

四.二元一次方程組的解

(1)定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

(2)一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)

二元一次方程組的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種

方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

五.解二元一次方程組

(1)用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這

個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)

方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求出X(或y)的

值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把求得的x、y的

值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系

數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為

相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解

這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，

求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用

（x=a的形式表示.

1y=b

I名師點(diǎn)睛

一.二元一次方程的定義（共2小題）

1.（2021春?上城區(qū)期末）下列各式是二元一次方程的是（）

2

A.2x+y=0B.χ=A+2C.X-yD.--βy=O

y4

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，依次分析各個(gè)選項(xiàng)，選出是二元一次方程的選項(xiàng)即可.

【解答】解：從該方程是二元二次方程，不符合二元一次方程的定義，不是二元一次方程，

即A選項(xiàng)不合題意；

B.是分式方程，不符合二元一次方程的定義，不是二元一次方程，即B選項(xiàng)不合題意；

C.不符合二元一次方程的定義，不是二元一次方程，即C選項(xiàng)不合題意；

D.符合二元一次方程的定義，是二元一次方程，即。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的定義，解決本題的關(guān)鍵是注意二元一次方程必須符合以

下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方

程是整式方程.

2.（2021秋?文山市期末）若IT2"'、一/L1=5是二元一次方程，則機(jī)=2，n=1.

【分析】利用二元一次方程的定義判斷即可.

【解答】解：?.?3f'"-3-y2"7=5是二元一次方程，

?'?3=1,2〃-1=1,

解得：〃?=2,77=1,

故答案為：2；1

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

二.二元一次方程的解（共6小題）

3.（2021?嘉興）己知二元一次方程x+3y=14,請寫出該方程的一組整數(shù)解（答案不

唯一）.

【分析】把y看做已知數(shù)求出X,確定出整數(shù)解即可.

【解答】解:x+3y=14,

X=14-3y,

當(dāng)y=l時(shí)?，x=ll,

則方程的一組整數(shù)解為1x.

1y=l

故答案為：IX=I1（答案不唯一）.

1y=l

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

4.（2021春?上虞區(qū)期末）二元一次方程2x+y=7中，若x=2,則y的值是（）

A.3B.IIC.-3D.-11

【分析】根據(jù)方程的解的定義解決此題.

【解答】解：當(dāng)x=2時(shí)，2X2+y=7.

.,.y=3.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查方程的解的定義，熟練掌握方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2021春?麗水月考）若［x=a是二元一次方程2χ+y=o的一個(gè)解QWO）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的

1y=b

是（）

A.a,b異號

B.旦=-2

b

C.2-64-3b=2

D.滿足條件的數(shù)對（α,b）有無數(shù)對

【分析】將Ix=a代入二元一次方程2x+y=o,得到關(guān)于油的關(guān)系式，然后對每個(gè)選項(xiàng)做出判

斷即可得出符合題意的選項(xiàng).

【解答】解：將（x=a代入二元一次方程2x+y=0得：2a+h=（）.

?Y=b

?*?b=-2〃.

?.z≠o,

.*.6F,b異號.

JA選項(xiàng)不符合題意；

Yb=-2a,

?.?—a=—1.

b2

.?.8選項(xiàng)符合題意；

V2-6a-3b=2-3（2α+?）=2-0=2,

.?.C選項(xiàng)不符合題意；

：方程2α+b=0有無數(shù)組解，

,滿足條件的數(shù)對(”,b)有無數(shù)對.

.?.o選項(xiàng)不符合題意.

錯(cuò)誤的結(jié)論是：B.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程的解，求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運(yùn)算.將方程的

解代入原方程是解題的關(guān)鍵.

6.(2020春?江北區(qū)期末)已知［'F是方程3x+b=8的解.當(dāng)α=2時(shí)，請分別求出方和

1y=l

9a2+6ab+b2+1的值.

【分析】將q=2代入方程即可求出b值，把代數(shù)式9/+6融+廿+］變形為Ra+-2+1)然后計(jì)

算.

【解答】解：把Λ=",y=l代入方程3x+8y=8,得3α+8=8,

,?Z=2,

.,.?=2;

?.?34+0=8,

.?9a2+6ab+b2+?

=(3a+b)2+1

=82+l

=65.

【點(diǎn)評】本題主要考查公式法分解因式，把(3a+?)作為一個(gè)整體是解題的關(guān)鍵，而

9a2+6ab+b2+1也需要運(yùn)用公式變形以便計(jì)算.

7.(2021春?長興縣月考)已知二元一次方程3x+2y=19.

(1)用關(guān)于X的代數(shù)式表示y;

(2)寫出此方程的正整數(shù)解.

【分析】(1)先將含X的項(xiàng)移到等式右邊，再兩邊都除以2即可得；

(2)‰=1,3,5分別得到y(tǒng)的值即可.

【解答】解:⑴V3x+2y=19,

.?.2y=19-3x,

?.?、y,-_-1--9----3--x-,

2

(2)當(dāng)X=I時(shí),y=8；

當(dāng)x=3時(shí)?，y=5；

當(dāng)大=5時(shí)\y=2

.?.正整數(shù)解為(X=I,0=3,卜=5

1y=8?y=5?y=2

【點(diǎn)評】此題考查的是二元一次方程的解，能夠讓一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)是解決此題

關(guān)鍵.

8.(2021春?南溫區(qū)期末)定義一種新的運(yùn)算：a^b=2a-b,例如：3?(-1)=2X3-(-

1)=7.

若〃☆〃=(),且關(guān)于冗，y的二元一次方程(tz+l)X-by-d+3=0,當(dāng)〃，b取不同值時(shí)，方程都

有一個(gè)公共解，那么這個(gè)公共解為(x=-3

-ly=-2-

【分析】根據(jù)"3b=2a-b,a^b=O,f得到b=20,代入方程(a+l)尤-by-α+3=0得至IJ

(x-2y-1)6Z=-3-X,根據(jù)“當(dāng)〃，〃取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解”,得到關(guān)于x、y

的方程組，解之即可.

【解答】解：:Z+b=Za-力，〃☆/?=(),

.?2a-b=0,口M=2〃，

則方程(4+l)犬-Oy-a+3=0可轉(zhuǎn)化為(α+l)x-lay-a+3=0,

則(x-2y-1)a=-3-x,

???當(dāng)小力取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，

.fχ-2y-l=0

'l-3-χ=0'

解得卜7,

∣y=-2

故答案為：(x=-3.

∣y=-2

【點(diǎn)評】本題考查了新定義和二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是得到關(guān)于X、y的方程組.

三.解二元一次方程(共3小題)

9.(2021秋?路北區(qū)期末)已知二元一次方程4x+5y=5,用含X的代數(shù)式表示y,則可表示為

()

A.y=-—x+iB.y=--χ-lC.y=-Λ-+1D.y=-x-1

5555

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，等式兩邊減去-4x,得5y=5-4x.等式兩邊同時(shí)除以5,得y=l-

-x,即y=-??χ+ι,故&.

55

【解答】解：:4x+5y=5,

Λ5y=5-Ax.

.?“∑1K

5

Λy=l-?γ?

5X

即y=-4x+ι?

D

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用等式的性質(zhì)對等式進(jìn)行變形，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

10.（2021秋?白銀期末）己知2x-3y=l,用含X的代數(shù)式表示》貝W=

33

【分析】首先移項(xiàng)、然后系數(shù)化1,繼而可求得答案.

【解答】解：???2x-3y=l,

?'?3y=2x-1,

解得：y=lx-1.

-33

故答案為：lx-λ.

33

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的知識.此題比較簡單，注意掌握解方程的步驟.

11.（2020秋?寧波期末）已知等式：①三=工；②2x=5y-χ;③3x-5y=0;④3二工=2,其中

35y3

可以通過適當(dāng)變形得到3戈=5），的等式是②③④.（填序號）

【分析】對每一個(gè)等式進(jìn)行變形可得：①方程兩邊同時(shí)乘15,得5x=3y;②移項(xiàng)、合并同類

項(xiàng)得，3x=5y;③移項(xiàng)，得3x=5y;④先去分母，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，3x=5v.

【解答】解：①三=工

35

方程兩邊同時(shí)乘15,得5x=3y,不符合題意；

②2r=5y-九，

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，3x=5y,符合題意；

（3）3x-5y=0,

移項(xiàng)，得3x=5y,符合題意；

④立=2,

y3

方程兩邊同時(shí)乘以3y,得3x-3y=2y,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，3x=5y,符合題意；

故答案為：②③④.

【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程的解，熟練掌握等式的基本性質(zhì)，靈活對等式進(jìn)行變形是解

題的關(guān)鍵.

四.二元一次方程組的解（共8小題）

12.（2021春?長興縣月考）若（x=2是下列某二元一次方程組的解，則這個(gè)方程組為（）

Iy=-I

?x+3y=5∫x=Y-3

Ix÷y=l（y+2=5

C卜=3y+lD?（2x-y=5

【分析】運(yùn)用代入排除法進(jìn)行選擇或分別解每一個(gè)方程組求解.

【解答】解：A、x=2,y=-1不是方程%+3y=5的解，故該選項(xiàng)不合題意；

B、x=2,y=-1不是方程組中每一個(gè)方程的解，故該選項(xiàng)不合題意.

C、x=2,y=-1不是方程組中每一個(gè)方程的解，故該選項(xiàng)不合題意；

D、x=2,y=-1適合方程組中的每一個(gè)方程，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了方程組的解的定義，即適合方程組的每一個(gè)方程的解是方程組的解.

13.（2021春?南涪區(qū)期末）已知［X=I是二元一次方程組（2ax+by=l的解，則的值為

Iy=-l{aχ-2by=3

（）

A.-2B.2C.-4D.4

【分析】把IX=I代入方程組［2ax+by=l得到關(guān)于八人的方程組，再將兩個(gè)方程相減即可得

ly=-l?aχ-2by=3

至布-3〃的值.

【解答】解：把（X=I代入方程組12ax+by=l可得：

ly=-lIaχ-2by=3

∫2a-b=lΘ

ia+2b=3②’

①-②得。-3b=-2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，能得出關(guān)于〃、方的方程組是解題的關(guān)鍵.

14.（2021春?上城區(qū)期末）已知方程組fa+b=4,下列說法正確的有（）個(gè)

Iab=2

①。2+/=12；②（α-Z?）2=8；③L+-L==2；+??θ.

abab

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，利用整體代入思想即可進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：因?yàn)榉匠探M（a+b=4,

Iab=2

①J+y=（a+。）2-2df?=42-4=12,故①正確；

②（a-Z?）2=（n+b）2-4t∕?=42-8=8,故②正確；

③工+工二包旦="^=2,故③正確；

abab2

22n

+?=--f+?--=—=6,故④正確.

abab2

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是利用完全平方公式進(jìn)行變形.

15.（2021春?竦州市期末）關(guān)于X,y的二元一次方程組［x"=9k的解也是二元一次方程2x+y=

{χ-y=5k

16的解，則k的值為1.

【分析】將方程組中兩個(gè)方程相加得，2x=l4k,相減得2y=4k,再由2x+y=16,即可求A

【解答】解JX^*y=9k?

Iχ-y=5k②

①+②得，2x=14?,

①-②得，2y=4h

Λj=2?,

V2x+j=16,

Λ16/:=16,

.?.2=ι,

故答案為1.

【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，通過觀察方程之間的關(guān)系，靈活處理方程組是解題

的關(guān)鍵.

16.（2021春?蕭山區(qū)期末）若I、=*是方程組［ax+by=9的解，則〃與,的關(guān)系是9α-4c=

Iy=2lbx+cy=2

23.

【分析】將X、y的值代入方程組得到［3a+2b=9然后計(jì)算①X3-②X2即可得出答案.

∣3b+2c=2②

【解答】解：根據(jù)題意知＜pa+2b=9①，

∣3b+2c=2②

①X3-②X2,得：94-4c=23,

故答案為：9a-4c=23.

【點(diǎn)評】本題主要考查二元一次方程組的解，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時(shí)，要

回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母

系數(shù).

a1(x+l)+b1(y-2)=c1

17.(2021春?饒平縣校級期末)已知.,、，、的解是，x=3,求

+

a2(x+l)b2(y-2)=C2y=4

ax+by=5c

11111的解為.x=20

a2X÷b2y=5c2y=10

【分析】心=3,y=4代入第一個(gè)方程組，可得關(guān)于切，加方程組，兩方程同時(shí)乘5可得出

，2Oal+10b1=5c?

20a2+10b2=5c2

再結(jié)合第二個(gè)方程組即可得出結(jié)論.

f=3(4a+2bI=C

【解答】解：把IXx'代入方程組得：I1111】，

Iy=44a2+2b2=C2

’2Oal+10b=5c

方程同時(shí)X5,得：J1,1

20&2+10b2=5c2

?.?方程組1a1x÷b1y=5c11的解為Vfx"=9.∩

a2x÷b2y=5c2Iy=IO

故答案為：卜=20

Iy=IO

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解，發(fā)現(xiàn)兩方程組之間互相聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

18.(2021春?下城區(qū)期中)已知關(guān)于X,y的方程組＜px-5y=2a,則下列結(jié)論中正確的是②③

Iχ-2y=a-5

趾.

①當(dāng)α=l時(shí)，方程組的解是卜=I%

ly=24

②當(dāng)X,y的值互為相反數(shù)時(shí)，。=20；

③若Z=(χ-20)y,則Z存在最小值為-25；

④若2%F,=?7,則〃=2：

⑤不存在一個(gè)實(shí)數(shù)4使得χ=y.

【分析】先解方程組，用含。的代數(shù)式分別表示羽y,再根據(jù)條件分別代入求解.

【解答】解：(3xYy=2a?

[χ-2y=a-5②

①-②X3得：y=15-α③，

把③代入②得：x=25-α.

①。=1時(shí)，x=24,不符合題意.

②X,y的值互為相反數(shù)時(shí)15-α+25-4=0,解得“=20,符合題意.

③Z=(χ-20)y=(25-α-20)(15-α)=a2-2()α+75=(α-10)2-25,

當(dāng)α=10時(shí)Z有最小值-25,符合題意.

④若2%-3y=27,則2α-3y=7,即2α-3(15-α)=7,解得α=絲,不符題意.

5

⑤解方程15-α=25-α,無解，符合題意.

故答案為：②③⑤.

【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的計(jì)算方法.

19.(2021春?蕭山區(qū)校級期中)已知關(guān)于X,y的方程組卜廿=5與-x-y=l有相同

I4ax+5by=-22Iaχ-by-8=0

的解,求(α+?)2°2。的值.

【分析】把只含X,y的兩個(gè)方程聯(lián)立，求出X,y的值，代入其余的兩個(gè)方程，得到關(guān)于0,6的

方程組，解方程組求得”,人的值，代入代數(shù)式求值即可.

【解答】解：聯(lián)立(x^ty=5,

I2χ-y=l

解得：I",

Iy=3

把%,y的值代入其余的兩個(gè)方程得：[8a+15b=-22,

I2a-3b=8

解得：(a=l,

Ib=-2

則原式=(1-2)202°=(-I)2020=1.

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解，把只含X,y的兩個(gè)方程聯(lián)立，求出X,y的值是解題

的關(guān)鍵.

五.解二元一次方程組(共12小題)

20.(2021春?嘉興期末)用加減消元法解二元一次方程組fx-y=7①…時(shí)，下列方法中能消元

I3χ-2y=9②

的是()

A.①X2+②B.①X2-②C.①X3+②D.①X(-3)-②

【分析】根據(jù)①X2+②得出5χ-4y=23,即可判斷4根據(jù)①X2-②得出-x=5,即可判斷

B；根據(jù)①義3+②得出6x-5y=30,即可判斷C；根據(jù)①X(-3)-②得出-6x-y=-3,即

可判斷。.

【解答】解：A.f-y=7①

13χ-2y=9②

①X2+②，得5χ-4y=23,不能消元，故本選項(xiàng)不符合題意：

R(x-y=7①

D?cf

[3χ-2y=9②

①X2-②，得-χ=5,能消元，故本選項(xiàng)符合題意；

c(X-y=7①

“i3χ-2y=9②’

①X3+②，得6x-5y=30,不能消元，故本選項(xiàng)不符合題意；

d［x-y=7①

,Mx-2y=9②’

①X(-3)-②，得-6x-y=-3O,不能消元，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題

的關(guān)鍵.

21.(2021春?奉化區(qū)校級期末)己知關(guān)于x、y的方程組［2ax-3by=2c的解是［x=方則關(guān)于

13ax+2by=16cIy=2

X、y的方程組∣2ax-3by+2a=2c的解是()

I3ax+2by+3a=16c

A.(X=4B.卜=3c?(x=5D?卜=5

Iy=2Iy=2Iy=2?y=l

【分析】仿照已知方程組的解，確定出所求方程組的解即可.

【解答】解：關(guān)于x、y的方程組［2ax∕by=2c的解是(x=4,

(3ax+2by=16cIy=2

關(guān)于x、y的方程組(2ax-3by+2a=2c,即∣2a(x+l)-3by=2c的解為(x+l=4,即

13ax+2by+3a=16c［3a(x+l)+2by=16cIy=2

產(chǎn)，

Iy=2

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

22.(2021?柯城區(qū)校級模擬)若α+26=5,3o+4?=13,則α+匕的值為4.

【分析】先得出方程組，①X2-②得出-α=-3,求出”,再把α=3代入①求出硼可.

【解答】解：根據(jù)題意得：［a+2b=5①，

l3a+4b=13②

①X2-②，得-a=-3,

解得：。=3,

把α=3代入①，得3+28=5,

解得：b=?,

所以〃+0=3+1=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題

的關(guān)鍵?

23.（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）在關(guān)于x、y的方程組∕2x"=4m+7中，未知數(shù)滿足人>，>0,那

Ix+2y=8^m

么機(jī)的取值范圍是-l<m<l.

—32―

【分析】把機(jī)看作己知數(shù)表示出方程組的解，根據(jù)X與y大于（），求出機(jī)的范圍即可.

【解答】解：儼4V=如+%

Ix+2y=8-m（2）

①X2-②得：3x=9∕n+6,

解得：x=3〃?+2,

把x=3m+2代入②得：3∕77÷2+2y=8-m1

解得：y=3-2∕%,

Vx>0,y>0,

.（3m+2>0

3-2m>θ'

解得：-2<zπv3.

32

故答案為：-2<加<旦.

32

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式組，熟練掌握各自的解法是

解本題的關(guān)鍵.

24.（2021?海曙區(qū)模擬）已知方程組［x+v=7,則V的值為-1.

Iχ-y=9

【分析】應(yīng)用加減消元法，求出），的值是多少即可.

【解答】解：卜+y=7?

?χ-y=9②

①-②，可得2y=-2,

解得y=-1.

故答案為：-L

【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消

元法的應(yīng)用.

25.（2021?蕭山區(qū)模擬）設(shè)Λ√=2χ-3y,N=3x-2y,P=xy.若M=5,N=O,則P=6.

【分析】根據(jù)題意得到關(guān)于X、），的方程組，利用加減消元法求得方程組的解，即可求得P的

值，

【解答】解：由題意得（2x-3y=52,

I3χ-2y=0②

①+②得5x-5y=5,即X-y=1③，

①-③X2得-y=3,

解得y=-3,

把y=-3代入③得，X=-2,

P=xy=-2×（-3）=6,

故答案為6.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程組，解方程組的方法有加減消元法和代入消元法.

26.（2021春?上虞區(qū)期末）解二元一次方程組［x+y=2時(shí)，為快速求出未知數(shù)y的值，宜采用_

1χ-y=5

加減法消元.

【分析】要求出y的值，觀察得兩方程中X系數(shù)相等，故相減即可求出.

【解答】解：解二元一次方程組［x"=2時(shí)，為快速求出未知數(shù)），的值，宜采用加減法消元.

Iχ-y=5

故答案為：加減.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

27.（2021春?浦江縣期末）解方程組：（1）/5x=3y；

χ-y=4

⑵（2m+7n=5

I3m+n=-2

【分析】（1）應(yīng)用代入消元法，求出方程組的解是多少即可.

（2）應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解是多少即可.

【解答】解：⑴儼=3吧，

1χ-y=4（2）

由①，可得：X=O.6j@,

③代入②，可得：0.6y-y=4,

解得y=-10,

把y=-10代入③，解得工=-6,

.?.原方程組的解是1x=-6.

Iy=-IO

（2）［2m+7n=5①，

^i3m?ι=-2②’

①-②X7,可得-19m=19,

解得/H=-1,

把m=-1代入①，解得〃=1,

??.原方程組的解是［ιn=-l.

In=I

【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用.

28.（2021春?永嘉縣校級期末）解下列方程組：

⑴尸X；

I3χ-8y=9

,4（χ-l）=7y+12

⑵■7y-16-

χ-6=----7----

6

【分析】（1）把①代入②，用代入消元法解即可；

（2）先將原方程組化簡，再用加減消元法解即可.

【解答】解：⑴fy=3-χ①，

I3χ-8y=9②

把①代入②得：3χ-8（3-χ）=9,

??x=3,

把k3代入①得：尸0,

???原方程組的解為fx=3：

Iy=o

（2）原方程組化簡為（4x-7y=16①，

］6χ-7y=20②

②-①得：2x=4,

?,?x-2?

把X=2代入①得：y=-旦，

7

'x=2

.?.原方程組的解為18.

Iy=~

【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元一次

方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

29.（2021?嘉興二模）解方程組：［3χ-2y=6①.

Ix+y=5②

小海同學(xué)的解題過程如下:

解：由②得，y=5+χ③.....⑴

把③代人①得：3x-2x÷5=6(2)

X=-I.....(3)

把X=-I代入③得：”4⑷

此方程組的解為Γχ=-1.....(5)

V

y=4

判斷小海同學(xué)的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯(cuò)誤的步驟序號，并給出正確的解題

過程.

【分析】第（1）步，移項(xiàng)沒有變號，第（2）步?jīng)]有用乘法分配律，去括號也錯(cuò)誤了，第

（3）步移項(xiàng)沒有變號，寫出正確的解答過程即可.

【解答】解：錯(cuò)誤的是（1）,（2）,（3）,

正確的解答過程：

由②得：y=5-痣）

把③代入①得：3x-10+2x=6,

解得：Xw,

5

把XJg代入③得：y=l,

55

f16

.?.此方程組的解為＜.

_9

yT

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元

方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵.

30.（2021春?太康縣期末）解下列方程（組）：

（1）主包-二1=4；

0.20.5

x+y_x-y

（2）-4~3.

（x+y）-2（χ-y）=-4

【分析】（1）方程整理后，去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把X系數(shù)化為1,即可求出解；

（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可.

【解答】解：（1）方程整理得：5x+5-2x+2=4,

移項(xiàng)合并得：3x=-3,

解得：x=-1;

⑵方程組整理得：[χ=7y①，

I-χ+3y=-4②

把①代入②得：-7）43），=-4,

解得：y=L

把y=l代入①得：x=7,

則方程組的解為1x=7.

Iy=l

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次方程，熟練掌握各自的解法是解本

題的關(guān)鍵.

31.（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知關(guān)于X,y的二元一次方程組,x-y=3-a（°為實(shí)數(shù)）

[x+2y=5a

（1）若方程組的解始終滿足y=α+l,求。的值；

（2）已知方程組的解也是方程/λt+3y=l（6為實(shí)數(shù)，b≠0且b≠-6）的解

①探究實(shí)數(shù)小6滿足的關(guān)系式；

②若α,〃都是整數(shù)，求6的最大值和最小值.

【分析】⑴方程組消去X表示出y,代入y=2α-1中計(jì)算即可求出〃的值：

（2）①表示出方程組的解，代入bx+3y=l中計(jì)算即可求出α與6的關(guān)系式；

②由α與b的關(guān)系式表示出從根據(jù)a,b為整數(shù)確定出6的最大值與最小值即可.

【解答】解：⑴卜-y=3-aQ

Ix+2y=5a②

②-①得：3y=6a-3,即y=2α-1,

把y=24-1代入y=4+l中得：2a-?=a+l,

解得：〃=2；

(2)①把y=2α-1代入方程組第一個(gè)方程得：x=4+2,

方程組的解為(x=a+2,

ly=2a-l

KA?x+3y=1得：ab+2b+6a-3=1,即α?÷6α+28=4;

②由必+6α+2b=4,得至?xí)P=生阻=4-6(a+2-2)=16-6(a+2)=」1一6,

a+2a+2a+2a+2

-：a,b都是整數(shù),

.?.4+2=±l,±2,±4,±8.±16,

當(dāng)α+2=l,即α=-l時(shí)，b取得最大值10；當(dāng)α+2=-l,即α=-3時(shí)，人取得最小值-22.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

能力提升

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共8小題）

1.（2021春?蕭山區(qū)校級期中）下列四組數(shù)值是二元一次方程2χ-y=6的解的是（）

A.（X=1B.O"C.卜=2D.（X=2

Iy=4Iy=2Iy=4Iy=3

【分析】把各項(xiàng)中X與y的值代入方程檢驗(yàn)即可.

【解答】解：4.把I'"代入方程2χ-y=6得：左邊=2-4=-2,右邊=6,

1y=4

：左邊≠右邊，

.?.不是方程的解，不符合題意；

B.把（X4代入方程2r-y=6得：左邊=8-2=6,右邊=6,

Iy=2

；左邊=右邊，

二是方程的解，符合題意；

C.把［x=2代入方程2x-y=6得：左邊=4-4=0,右邊=6,

1y=4

?.?左邊W右邊，

不是方程的解，不符合題意；

D.把I”-2代入方程2χ-y=6得：左邊=4-3=1,右邊=6,

?y=3

：左邊≠右邊，

.?.不是方程的解，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

2.（2021春?來鳳縣期末）已知關(guān)于X,y的方程組［4x+3y=ll和［3χ-5y=l的解相同，則

Iax+by=-2lbχ-ay=6

（α+ft）2021的值為（）

A.0B.-1C.1D.2021

【分析】聯(lián)立不含“與人的方程組成方程組，求出方程組的解得至Ik與y的值，進(jìn)而求出4與6的

值，即可求出所求.

【解答】解：聯(lián)立得：fχ+3y=呼，

]3χ-5y=l②

①X5+②X3得：29x=58,

解得：x=2,

把x=2代入①得：y=1,

代入得；（2a+b=-2,

I2b-a=6

解得：卜=-2,

lb=2

則原式=（-2+2）2021=0.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方

程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值.

3.（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）b+2y-3∣+W-.y+3∣=0,則Xy的值是（）

A.-1B.1C.—D.2

2

【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性得出方程組，求出方程組的解，再求出答案即可.

【解答】解：?.?∣x+2y-3∣+∣χ-y+3∣=0

.?.x+2y-3=0且x-y+3=0,

即卜+2y=3①,

]χ-y=-3②

①-②，得3y=6,

解得：y=2,

把y=2代入②，得尢-2=-3,

解得：X=-1,

Λx?v=（-1）2=1,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的非負(fù)性和解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元

一次方程是解此題的關(guān)鍵.

4.（2020秋?黃石期末）二元一次方程組（x+y+5=°的解為（）

,2χ-y+4=0

A.卜7B.卜"IC.卜=2D,IX=4

ly=-2ly=-41y=3Iy=l

【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.

【解答】解：方程組整理得：[x^=-5Q,

12χ-y=-4（2）

①+②得：3x=-9,

解得：X=-3,

把X=-3代入①得：y=-2,

則方程組的解為（x=-3

∣y=-2

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

5.（2021春?潢川縣期末）由方程組［2x-2y=m+3可得X與）,的關(guān)系式是（）

［x+2y=2m+4

A.3元=7+3次B.5χ-2y=10C.-3x+6y=2D.3x-6y=2

【分析】方程組消去〃唧可得到X與y的關(guān)系式.

【解答】解：∣2x-2y=m+32,

［x+2y=2m+4?）

①X2-②得：3x-6y=2,

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

6.（2021春?奉化區(qū)校級期末）用加減法解方程組12x-y=p時(shí)，方程①+②得（）

lx+y=40

A.2y=2B.3x=6C.x-2y=-2D.x+y=6

【分析】方程組兩方程相加消去y得到結(jié)果，即可作出判斷.

【解答】解：用加減法解方程組［2χ-y=2①時(shí)，

］x+y=40

方程①+②得：3x=6.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

7.（2021?西湖區(qū)校級三模）解方程組［*-2y=l加減消元法消元后，正確的方程為（）

∣3x+y=3

A.6x-y=4B.3y=2C.-3y=2D.-y=2

【分析】方程組中兩方程相減即可得到結(jié)果.

【解答】解：［3x-2y=R,

I3x+y=3②

②-①得：3y=2.

故選:B.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

8.（2021春?西湖區(qū)校級期末）若卜=T是卜x+cy=l的解，則有（）

Iy=2Icχ-by=2

A.4b-9a=7B.9o+4b+7=0C.3q+2b=lD.4?-‰+7=0

【分析】先把解代入方程組，再消去字母C即得結(jié)論.

【解答】解：把方程的解代入方程組，得1-3a+2c=l①，

l-3c-2b=2②

①X3+②X2,得-90-46=7.

Λ9α+4?+7=0.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，理解方程組的解是解決本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

9.（2021春?鹿城區(qū)校級期中）已知y-2x=6,用含X的代數(shù)式表示y,則V=2x+6.

【分析】把X看做己知數(shù)求出y即可.

【解答】解：方程y-2x=6,

解得：y=2x+6.

故答案為：2x+6.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將X看做已知數(shù)求出y?

10.（2021春?麗水月考）若（Zn-2）x-2y?"=3是關(guān)于x,y的二元一次方程，則W=0.

【分析】直接根據(jù)二元一次方程的定義解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意，得

m-2≠0,∣∕n-1|=1,

解得：《7=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)評】此題考查的是二元一次方程的定義，掌握其定義是解決此題關(guān)鍵.

11.（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知關(guān)于X,y的方程組IX-y=2a的解互為相反數(shù)，則常數(shù)

[3x÷y=3a-15

”的值為15.

【分析】②-①求出2x+2y=a-15,根據(jù)己知得出α-15=0,求出即可.

【解答】解：卜-y=2a①

l3x+y=3a-15②

；②-①得：2x+2y=a-15,

?；關(guān)于X,y的方程組[x-y=2a的解互為相反數(shù)，

I3x+y=3a-15

x+y=O,BP2x+2y=0,

：.a-15=0,

???a=15,

故答案為15.

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解，關(guān)鍵是能得出關(guān)于。的方程.

12.（2021春?奉化區(qū)校級期末）己知卜+y=4-3m（機(jī)為常數(shù)），則X-V=-工.

Iχ-3y=3m-52

【分析】把兩個(gè)式子的左右兩邊分別相加，求出冗-y的值是多少即可.

【解答】解：卜+y"-3mR

1χ-3y=3m-5②

①+②，可得2χ-2y=-1,

Λx-y="

2

故答案為：

2

【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消

元法的應(yīng)用.

13.（2021春?漣水縣期末）已知二元一次方程組（pa+b=7,則方+劭=6.

∣a-3b=l

【分析】將兩方程相減即可得.

【解答】解：＜pa+b=7Θj

1a-3b=l②

①-②，得：2a+4b=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

14.（2021春?樂清市期末）己知方程組［2x+5y=-8的解是方程χ-2y=5的一個(gè)解，則”的值為_

13x+ay=-3

3.

［分析］根據(jù)“方程組（2x+5y=-8的解是方程廣2尸5的一個(gè)解“可得［2x+5y=-8,求出

13x+ay=-3Iχ-2y=5

X,y的值，再代入3x+砂=-3中，即可求出〃的值.

【解答】解：由題可知：

∫2x÷5y=-8

1χ-2y=5

解得IX=1,

ly=-2

把(X=I代入3x+αy=-3得：

ly=-2

3×1-2α=-3,

解得α=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，能求出x、y的值是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共7小題)

15.(2020春?下城區(qū)期末)關(guān)于X,y的二元一次方程αv?y=c(α,b,C是常數(shù)),b=a+?,c

=h+?.

(1)當(dāng)[x=3時(shí)，求C的值.

1y=l

(2)當(dāng)α=?∣■時(shí)，求滿足因V5,N∣V5的方程的整數(shù)解.

(3)若“是正整數(shù)，求證：僅當(dāng)α=l時(shí)，該方程有正整數(shù)解.

【分析】(1)由題意，得3α+α+l="+2,解得。=工，即可求得C=工；

33

(2)當(dāng)a=」時(shí)，方程為Lχ+3y=",即x+3y=5,根據(jù)方程即可求得；