廣西科技大學(xué)- 2011-2012-線性代數(shù)A（B卷）期末試題及答案

廣西工學(xué)院2011—2012學(xué)年第二學(xué)期期末考試線性代數(shù)A試題（B卷）考試班級(jí)相關(guān)專業(yè)學(xué)生總數(shù)印數(shù)考試時(shí)間120分鐘考生注意：出題教師出題組審核人（簽名）題號(hào)一二三四五六七八九十總分評(píng)分評(píng)卷人一、填空題（每小題3分，共30分）：1、一、填空題（每小題3分，共30分）：1、設(shè)，則.2、設(shè)，則＝________________．3、設(shè)階方陣的伴隨矩陣為，若，則

，

.4、設(shè)是矩陣，是非齊次線性方程組的增廣矩陣，則非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件是.5、設(shè)，，是非齊次線性方程組的3個(gè)解向量，若也是的解，則________．6、若對(duì)任意不全為零的個(gè)數(shù)，總有，則向量組線性關(guān).7、設(shè)向量，，且，則.8、設(shè)3階矩陣的特征值為，則的特征值為___________．9、設(shè)階方陣與對(duì)角陣相似，則_____．10、設(shè)向量與正交，則_____．二（10分）：計(jì)算行列式裝訂線內(nèi)不要答題第1頁（共6頁）三三（12分）：設(shè)矩陣.（1）求；（2）若，求.四（14分）：設(shè)向量組，，，，．（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示．五（14分）：設(shè)有非齊次線性方程組（1）求方程組的一個(gè)特解；（2）求方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（3）寫出方程組的一般解.六（14分）：設(shè)矩陣．（1）求的特征值和特征向量；（2）求正交矩陣，使為對(duì)角矩陣并寫出該對(duì)角陣．七（6分）：設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解向量，是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.證明向量組線性無關(guān).第2頁（共6頁）2011-2012學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)A（B卷）期末考試參考答案與評(píng)分細(xì)則一．填空題（每題3分，共30分）：1、；2、；3、，；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、二（10分）：解：（注：這是最簡單的解法。若用別的方法求解，根據(jù)具體情況評(píng)分！）三（12分）：解：解法一：由，有.∵∴從而.故解法二：由，有.，，，，，，，（注：若有某些算錯(cuò)，視具體情況評(píng)分）∴從而故解法三：（用初等變換來求解，根據(jù)具體情況評(píng)分）四（14分）：解：所以（1）的秩為（2）為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組且五（14分）：解：（1）方程組的同解方程組為，即令，得特解（2）方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的同解組為分別取，得基礎(chǔ)解系，，（3）方程組的一般解為：.六（14分）：解：（1）=特征值為當(dāng)時(shí)，，即為取得，特征向量為當(dāng)時(shí)，，即為取得，特征向量為當(dāng)時(shí)，，即為取得，征向量為七（6分）：證明：設(shè)（1）假設(shè)，則有由是的一個(gè)基礎(chǔ)解系得到是的解，這與是的解矛盾，所以從而（1）式等價(jià)于因?yàn)槭堑囊粋€(gè)基礎(chǔ)解系，所以線性無關(guān).∴有