均值不等式的總結(jié)及應(yīng)用

高分中考均值不等式總結(jié)及應(yīng)用1.(1)若，則 (2)若，則 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2.(1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）說明：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)（2）y＝x＋eq\f(1,x)解：(1)y＝3x2＋eq\f(1,2x2)≥2eq\r(3x2·eq\f(1,2x2))＝eq\r(6)∴值域?yàn)閇eq\r(6)，+∞）(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)=－（－x－eq\f(1,x)）≤－2eq\r(x·eq\f(1,x))=－2∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）【解題技巧】技巧一：湊項(xiàng)例已知，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值?！郺b≤18∴y≥eq\f(1,18)當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2eq\r(2ab)∴30－ab≥2eq\r(2ab)令u＝eq\r(ab)則u2＋2eq\r(2)u－30≤0，－5eq\r(2)≤u≤3eq\r(2)∴eq\r(ab)≤3eq\r(2)，ab≤18，∴y≥eq\f(1,18)點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。技巧九：取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，eq\f(a＋b,2)≤eq\f(a2＋b2,2)，本題很簡(jiǎn)單eq\r(3x)＋eq\r(2y)≤eq\r(2)eq\r(（eq\r(3x)）2＋（eq\r(2y)）2)＝eq\r(2)eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(5)解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)＝10＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)≤10＋(eq\r(3x))2·(eq\r(2y))2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤eq\r(20)＝2eq\r(5)變式：求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時(shí)取等號(hào)。故。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1．已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。。同理，。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)