2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 一 第7講 導(dǎo)數(shù)與不等式的證明

第7講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

［考情分析］L導(dǎo)數(shù)逐漸成為解決問(wèn)題必不可少的工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值

(最值)是高考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題是高考的熱點(diǎn)

和難點(diǎn)2多以解答題壓軸形式出現(xiàn)，難度較大.

母題突破1導(dǎo)數(shù)與不等式的證明

【母題】(2017?全國(guó)In)已知函數(shù)y(x)=lnx÷αr2÷(2tz÷I)x.

(1)討論人幻的單調(diào)性；

3

⑵當(dāng)。<0時(shí)，證明y(x)W一五一2.

⑵思路分析

O∕W≤-?3^2

3

頌》)maχW一心一2

3

?∕‰+京+2W0

?構(gòu)造函數(shù)證明

(1)解yu)的定義域?yàn)?0,+∞),

(x+l)(24x+1)

(x)=~÷20x÷24j÷1='

X

若420,則當(dāng)X∈(0,+8)時(shí)，/(χ)>0,

故凡r)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

若“<0,則當(dāng)x∈(θ,-K)時(shí)，/(x)>0;

當(dāng)一古，+8)時(shí)，/ω<o.

故兀r)在(0,一力上單調(diào)遞增，在(一/，+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明由(1)知，當(dāng)“<0時(shí)，y(x)在x=—七處取得最大值，最大值為了(一方)=ln(一燈一1

1

~~4af

所以於)W-今-2等價(jià)于l∏(-?)-l-?≤-?-2.

即In(O+5+V0?

設(shè)g(x)=lnχ-x+l,則g'(%)---1.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g'(x)>0;

當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，g'(Λ)<0.

所以g(x)在((U)上單調(diào)遞增，在(1,十8)上單調(diào)遞減.

故當(dāng)X=I時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(l)=O.

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)≤O.

從而當(dāng)“<0時(shí)，∣n(一古)+《+1WO,

3

即γU)W一元一2.

Y—1

［子題1］設(shè)函數(shù)7U)=lnχ-冗+1.證明：當(dāng)X￡(1,+8)時(shí)，ι<?q<χ.

1?—X

證明f'(X)=嚏一1=-7Vx>°,

當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)<0,共外單調(diào)遞減，

當(dāng)(XX<1時(shí)，f'(x)>0,./(X)單調(diào)遞增，

?\/U)=lnx—x+IWy(I)=O,ΛI(xiàn)nx≤χ-1,

?，?當(dāng)心>1時(shí)，Inx<χ-1,①

且In∣<∣-1,②

由①得，1至9，由②得，一∣nr?,

.X—1X—1

..lnx>------,..x>-;-----,

XInx

Y-1

綜上所述，當(dāng)Ql時(shí)，1<玄74.

A

［子題2］已知函數(shù)7(x)=e—/.求證：當(dāng)χ>0時(shí)，匕+(2尤。)氏_-^ιnχ-∣-?

證明設(shè)g(x)=fix)-(e-2)χ-1=ev-X2—(e—2)χ-l(x>O),

則g'(x)=eA—2x—(e—2),

設(shè)m(x)=ex-2χ-(e-2)(x>0),

則m(x)=ev-2,

易得g'(x)在(O,In2)上單調(diào)遞減，在(In2,+8)上單調(diào)遞增，

又g'(0)=3—e>O,g,(1)=0,

由0<ln2<l,則g'(In2)<0,

所以存在XoG(O,In2),使得g'(xo)=O,

所以當(dāng)Xe(O,M))U(1,+8)時(shí)，g'(x)>0；

當(dāng)Xe(X0,1)時(shí)，g'(x)<0.

故g(x)在(O,XO)上單調(diào)遞增，在(Xo,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又g(O)=g(l)=O,所以g(x)=e'-(e—2)x—1N0,

故當(dāng)QO時(shí)，---L?TJ------≥x

又由母題可得InXWX—1,即x2InX+1,

,,ev÷(2-e)?-1、

故——------——2lnJt+1.

X

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式y(tǒng)ω>g(χ)的基本方法

(1)若T(X)與g(X)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明>(x)min>g(x)maχ.

(2)若HX)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)∕z(x)=∕(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)〃(X)的單調(diào)性或

最值，證明/ι(x)>0.

(3)通過(guò)題目中已有的或常用的不等式進(jìn)行證明.

(4)利用賦值法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.

【跟蹤演練】

1.(2018?全國(guó)I)已知函數(shù)火X)=W-Inx-l.

(I)設(shè)χ=2是7U)的極值點(diǎn)，求α,并求7U)的單調(diào)區(qū)間：

(2)證明：當(dāng)aN：時(shí)，式x)20.

⑴解y(x)的定義域?yàn)?0,+∞),/(x)=αev-∣.

由題設(shè)知，f(2)—0,所以α=2e>

從而V-InL1,f(X)=蚩e*-3

當(dāng)(Xx<2時(shí)，f'(X)C0；當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0.

所以兀V)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).

1v

(2)證明當(dāng)時(shí)，e-Inx-1.

方法一設(shè)g(x)=1-lnx—l(x∈(0,+o0)),

x

e1

則g'u)=7-?

當(dāng)(RR<1時(shí)，g,(x)<0;當(dāng)心>1時(shí)，g,(x)>0.

所以X=I是g(x)的最小值點(diǎn).

故當(dāng)QO時(shí)，g(x)2g(l)=0?

因此，當(dāng)α美時(shí),Λx)≥O.

方法二易證e*2x+l,①

Inx≤χ-1,②

InX—1=eλ-1-Inχ-1NX-Inχ-120,

即證7(x)20.

2

2.(2020?株州模擬)B知J(x)=Inx+-.

(1)若函數(shù)g(x)=歡x),討論g(x)的單調(diào)性與極值；

(2)證明：yu)>∕?

2

(1)解由題意，得g(×)=x√ζr)=xlnX+-(Λ>0),

則g'(%)=InX+L

當(dāng)Xe(O,§時(shí)，g'(χ)<o,所以g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)Xe?，+8)時(shí)，g'(χ)>o,所以g(x)單

調(diào)遞增，

所以g(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3,單調(diào)遞增區(qū)間為Q，+8),

g(x)的極小值為gQ)=：，無(wú)極大值.

21

⑵證明要證Inx+最>晟(X>0)成立，

、2X、

只需證x?nΛ?+^>^7(X>0)?立，

Y1--Y

令〃(x)=G，則〃'(X)=下工，

當(dāng)x∈(O,l)時(shí)，h'(x)>0,∕z(x)單調(diào)遞增，當(dāng)Xe(1,+8)時(shí)，h'(x)<0,/Z(X)單調(diào)遞減，

所以〃(x)的極大值為h(1),即∕z(x)≤Λ(l)=p

由(1)知，x∈(0,+8)時(shí)，g(χ)2g(3=],

且g(x)的最小值點(diǎn)與〃(x)的最大值點(diǎn)不同，所以XlnX+:>,，即InX+e[，所以加)旺

CCC人CC

專題強(qiáng)化練

1.(2020-沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)J(x)=X2—(a~2)x~a?nx,a>0.

⑴求函數(shù)y=4丫)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，證明：對(duì)任意的x>0,於)+。'*2+^+2.

2co

(1)??,??)=x-(a—2)x—a?nx9a>0,定義域?yàn)?O,+),f(x)=2χ-(a—2)—=

(2χ-α)(x+l)

X，

令/(X)>0,得W；令f(x)<0,得04與

.?.函數(shù)y=∕(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,鄉(xiāng)，單調(diào)遞增區(qū)間為(宏+∞).

(2)證明方法一Vtz=I,.?J(x)=x1+χ-}nΛ(Λ>0),

即證e?-InX—2>0恒成立，

令g(x)=qr—InX—2,x∈(0,+∞),

即證g(x)min>0恒成立，

g'(x)=e*-gg'(X)為增函數(shù)，g'(?jvθ,g'(1)>0,

Λ3J?∈Q,1),使g'(Xo)=O成立，即e*—《=(),

則當(dāng)O<x<xo時(shí)，g,(x)<0,當(dāng)Qxo時(shí)，g,(x)>0,

?'?y=g(χ)在(0，XO)上單調(diào)遞減，在(M),+8)上單調(diào)遞增，

???g(x)min=gɑθ)=e廂—Inx0-2,

又?*e??—???θ,即eA|)??,

M)Xo

Jg(Xo)=ev0—InXO—2=ev°+ln?-2="^^+xo-2,

XOXo

又?.?泓￡(；,?,Λ%o+~>2,

.?.g(xo)>O,即對(duì)任意的x>0,y(x)÷ex>x2+x÷2.

方法二令a(x)=eA-X-1,

:?φ'(x)=ex-1,

.??3(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增,

.,.φ(x)n??n=O(O)=O,

??ex^x+1,①

令h(x)=Inχ-χ+1(x>0),

：.hf(?)??-l=?-χ

.??∕z(x)在((M)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減，

力(X)max=h(l)=O,

ΛI(xiàn)nx≤χ-1,.?.x+12InX+2,②

要證X%)+er>x2+x÷2,

即證er>lnx÷2,

由①②知e'2x+121nX+2,且兩等號(hào)不能同時(shí)成立,

ev>lnx+2,即證原不等式成立.

2.(2020?全國(guó)∏)已知函數(shù)段)=SiMxsin2x.

⑴討論於)在區(qū)間(0,兀)的單調(diào)性；

(2)證明：∣∕ω∣w平；

3〃

⑶設(shè)∏∈N%