title10: 導數基礎練習題(有答案)

title10:導數基礎練習題(有答案)1.求函數$f(x)=x^2+3x-5$在點$x=2$處的導數值。解答:我們可以使用導數的定義來計算這個導數值。導數定義：$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$將函數$f(x)$帶入導數定義計算：$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2+3(2+h)-5-(2^2+3(2)-5)}{h}$簡化表達式：$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(4+4h+h^2)+(6+3h)-5-(4+6-5)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^2+7h}{h}$化簡表達式并約簡：$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{h(h+7)}{h}=\lim_{h\to0}(h+7)=7$所以函數$f(x)=x^2+3x-5$在點$x=2$處的導數值為$7$。2.求函數$g(x)=\sqrt{3x}-2x$在點$x=4$處的導數值。解答:我們可以使用導數的定義來計算這個導數值。導數定義：$g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$將函數$g(x)$帶入導數定義計算：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{3(4+h)}-2(4+h)-(\sqrt{3(4)}-2(4))}{h}$簡化表達式：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{12+3h}-8-2h-2\sqrt{3}+8}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{12+3h}-2h-2\sqrt{3}}{h}$為了簡化計算，我們將分子有關$h$的部分進行有理化：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{12+3h}-2\sqrt{3})(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})-2h}{h(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})}$繼續(xù)化簡表達式：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{(12+3h)-12-(2h)(2\sqrt{3})}{h(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})}$約簡表達式：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{h(3-2\sqrt{3})}{h(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})}$相同的因式約去：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3}}$現(xiàn)在，我們可以將$h$趨于$0$來計算上式的極限：$g'(4)=\frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{12}+2\sqrt{3}}=\frac{3-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}=\frac{3-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$化簡并約簡：$g'(4)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$所以函數$g(x)=\sqrt{3x}-2x$在點