函數(shù)與方程-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）（解析版）

考向08函數(shù)與方程

-ax-}-Lx<a

1.(2022年北京卷第14題)設(shè)函數(shù)/(X)=,,若/(X)存在最小值，則〃的一個(gè)取值

(x-2)2,x≥a

為,a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一),1

【解析】由題意知，函數(shù)最值于函數(shù)單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以(),2為分界點(diǎn)研究函數(shù)/(x)的性質(zhì)，當(dāng)

x<0時(shí)，f(x)=-ax+l,x<a,該段的值域?yàn)?一叫一μ+1),故整個(gè)函數(shù)沒有最小值；當(dāng)α=0時(shí),

/(x)=—0r+l,x<α該段值域?yàn)閧1},而/(九)=(%-2)2/2。的值域?yàn)椋?,十8),故此時(shí)/(x)的值

域?yàn)椋?,48),即存在最小值為0,故第一個(gè)空可填寫0；當(dāng)0<α≤2時(shí)，/(X)=-QC+l,x<α,該

段的值域?yàn)?―片+1,+8),而/(x)=(x-2)2,x≥α的值域?yàn)椋?,”)，若存在最小值，則需滿足

-a2+?≥0,于是可得()<α≤l;當(dāng)α>2時(shí)，f(x)--ax+l,x<a,該段的值域?yàn)?-/+l,+∞),

而/(尤)=(X—2尸,無≥α的值域?yàn)椋?4—2)2,400),若存在最小值，則需滿足一"+1≥5—2)2,此不

等式無解。綜上，4的取值范圍是［0,1］,故a的最大值為1.

-x^÷2,x≤1］

2.(2022年浙江卷第14題)已知Fa)T1,則/(/(，))=_________;若當(dāng)x∈3向時(shí)，

x+——l,x>12

X

1≤∕U)≤3,則力一。的最大值為.

【答案】∣^,3+√3

2o

【解析】由題可知：,f(>=2-J=］所以/(/(：))=/(二)=三.

2442428

當(dāng)x≤l時(shí),令/(x)∈［l,3］,解得Xe［-1,口；

當(dāng)x>l時(shí),令/(x)∈［l,3］,解得χ∈(l,2+君］.

所以/(x)€11,3］的解集為［7,2+6］.

所以b-a的最大值為3+6.

3.(2022年天津卷第15題)定義函數(shù)/(x)代表兇—2與廠一以+3α-5中較小的數(shù)，若

/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，求&的取值范圍____________

【答案】Λ∈[10,+∞)

【解析】.f(X)=min{∣%∣-2,χ2-tlχ-3α-5}

設(shè)g(x)=/-CU-3α-5,g(x)在(T?,2)(2,+∞)上的零點(diǎn)才會(huì)成為/(x)的零點(diǎn),

±2只有在g(±2)20時(shí)才會(huì)成為/(x)的零點(diǎn)，/(x)至少有個(gè)零點(diǎn)有以下三種情況:

①g⑵<0,g(—2)≥Og(x)且g(x)在(Y0,2)U(2,+Co)上有兩個(gè)零點(diǎn),

X2-5

轉(zhuǎn)化為y=~^與y="的交點(diǎn)

x-3

α—1<O

<5α-l≥0=>此情況無解

α<1或α>10

I5

②g(2)≥0,g(-2)<0

且g(x)在(-8,2)∣(2,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)

α-l≥0

<5α-l<0=>此情況無解

a<-^,a>10

I5

③g(2)≥0,g(-2)20且g(x)在(一叫2)(2,+8)上至少有一個(gè)零點(diǎn),

α-l>0

<5α-l≥0^?>10綜上所述：α的取值范圍是αe[10,+∞)

a<1或α>10

1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法

(1)方程法：令力V)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間以，句上是連續(xù)不斷的曲線，且犬α)√(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖

象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)圖形法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的3種常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

3.利用函數(shù)零點(diǎn)位置的對(duì)稱性求和

(1)將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題；

(2)①如果兩個(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于直線產(chǎn)“對(duì)稱，那么這兩2個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)也關(guān)于直線4α對(duì)稱，則對(duì)

應(yīng)的兩零點(diǎn)之和為2a。

②如果兩個(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于點(diǎn)(。，0)對(duì)稱，那么這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱，則對(duì)應(yīng)

的兩零點(diǎn)之和為2”。

有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的三個(gè)結(jié)論

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)外)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則T(X)至多有一個(gè)零點(diǎn).

2.連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).

3.連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).

【易錯(cuò)點(diǎn)1】函數(shù)式x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程.∕U)=0的根，也是函數(shù)y=Λx)的圖象與X軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【易錯(cuò)點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象等綜合考慮.

2

1.函數(shù)"r)=Inx—三的零點(diǎn)所在的大致范圍是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(?,。和(3,4)D.(4,+∞)

【答案】B

2

【解析】選B.易知y(x)為增函數(shù)，由/(2)=ln2—1<0,K3)=ln3-w>0,得<2)負(fù)3)<0.

2.函數(shù)y(x)=logM+x—2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】方法一(定理法)：函數(shù)/U)=log3x+χ-2的定義域?yàn)?0,+∞),并且/U)在(0,+8)上單調(diào)

遞增，圖象是一條連續(xù)曲線.由題意知穴1)=一l<0,Λ2)-log32>0,/(3)=2>0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，

函數(shù)√U)=bgM+x-2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).

方法二(圖象法)：函數(shù)AX)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=log3x,∕7(X)=-X+2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

所在的范圍.作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，可知Kr)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(I,2).故選B.

3.己知實(shí)數(shù)α>l,0<?<l,則函數(shù)y(x)="lt+χ-〃的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】因?yàn)棣?gt;l,0<?<l,,j[x)^ax+χ-b,所以.八-1)=[-1—辰0,_/(0)=1—b>0,由零點(diǎn)存在性定

理可知兀0在區(qū)間(一1,0)上存在零點(diǎn).

4.設(shè)函數(shù)J(X)=/一InX,則函數(shù)y-βx)()

A.在區(qū)間1),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)

B.在區(qū)間(%1),(1,e)內(nèi)均無零點(diǎn)

C.在區(qū)間G，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1,e）內(nèi)無零點(diǎn)

D.在區(qū)間（；，1）內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間（1,e）內(nèi)有零點(diǎn)

【答案】D

【解析】選D.令人r）=0得%=lnx,作出函數(shù)y=∣x和y=lnx的圖象，如圖,

顯然y=Ax）在區(qū)間Q，1）內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn).

γ?——T----O

?,,^`的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

{-l+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

[x<0,fx>O,

【解析】方法一（方程法）：由於）=0,得??Ci或,?,_八

解得工=-2或x=e.因此函數(shù)/U）共有2個(gè)零點(diǎn).

方法二（圖形法）：函數(shù)./U）的圖象如圖所示，

由圖象知函數(shù)/U）共有2個(gè)零點(diǎn).

1

x~2χfΛ<0,

6.已知函數(shù)人無）=V1則函數(shù)y=∕（x）+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

I+ι-,x>0,

A.0B.?C.2D.3

【答案】C

降0,產(chǎn)，

【解析】選C.令./U)+3x=0,則］∣α—八或J1∣_解得X=O或x=-l，所以函數(shù)y=

{XL—2.VI3x=()I+二+3x=0,

“x）+3X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

7.函數(shù)火X)=卜「因若方程7U)=α有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。滿足()

UXI，僅1>1，

A.a—\B.a>?C.O<α<lD.a<0

【答案】A

【解析】方程√U)=α有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即直線y="與Tu)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)./U)

的圖象如圖所示，當(dāng)α=l時(shí)，直線y=α與函數(shù)7U)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故選A.

e?χ<o,

g(x)=∕3>+x+α?若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________.

{lnx,x>0,

【答案】［―1,+∞)

【解析】函數(shù)g(x)=∕U)+x+。存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于X的方程/U)=-x—〃有2個(gè)不同的實(shí)根，即函

數(shù)人外的圖象與直線y=-χ-α有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y=-χ-”與函數(shù)TU)的圖象，如圖所示，由圖可知,

一α≤l,解得0≥-L

x

?2-af爛0,

9.若函數(shù)Ax)=I^有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是______.

Unx,x>0

【答案】(0,IJ

【解析】當(dāng)QO時(shí)，由/U)=Inx=0,得X=L因?yàn)楹瘮?shù)./U)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)它0時(shí)，函數(shù)/U)

=2、一〃有一個(gè)零點(diǎn).令7U)=0,得α=2”.因?yàn)?<2M2°=l,所以0<延1,所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(0,1J.

In(-χ-1),x<—1,

10.函數(shù)y(x)=L若函數(shù)g(x)=fij(x))-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

.2x+l,x≥-1,

是.

【答案】［一1，÷∞)

【解析】設(shè)f=/2，令gO)=√(∕α))-α=0,則α=/⑺.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作y=α,y=√⑺的圖

象(如圖).當(dāng)生一1時(shí)，y="與y=∕W的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為力，打(不妨設(shè)出力)，則力<-1，BN-L

當(dāng)h<-1時(shí)，f∣=∕(x)有一解；當(dāng)/2N—1時(shí)，f2=∕ω有兩解.綜上，當(dāng)色一1時(shí)，函數(shù)g(x)=A∕(x))—4

有三個(gè)不同的零點(diǎn).

一、單選題

1.(2022?江西贛州?二模(文))下列四個(gè)命題中正確的是()

A.若函數(shù)y=∕(χ)的定義域?yàn)閇-1,1],則y=∕(χ+l)的定義域?yàn)閇0,2]

B.若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,則A8?BC=2

C.已知函數(shù)f(χ)=l0g2(χ+l)-l,則函數(shù)y=∕(χ)的零點(diǎn)為(LO)

D."α=/?”是“tan。=tan/?”的既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)y="χ)的定義域?yàn)閇-1,1],

對(duì)于函數(shù)y=∕(x+l),則有—lMx+l≤l,解得一2≤x≤0,即函數(shù)y=∕(x+l)的定義域?yàn)閇-2,0],A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,則A8?BC=卜8?B4COS120=-2,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng),已知函數(shù)F(X)=Iogz(x+l)-l,令/(χ)=0,解得χ=l,

所以，函數(shù)y=∕(χ)的零點(diǎn)為1,C錯(cuò)：

對(duì)于D選項(xiàng)，若a=0=3,則tana、tan/?無意義，即"a=/?"N'"tana=tan￡”；

若tana=tanQ,可取α=工，/?=—,則CH尸,即"α=6"<≠="tanc=tan=

44

因此，“a=4”是“tana=tan/”的既不充分也不必要條件，D對(duì).

故選：D.

2.(2021?河南.模擬預(yù)測(cè)(理))已知。是方程x+lgx=3的解，b是方程2x+10(Γ=3的解，則()

A.a+b'=—B.a+b^=3C.a+2b=3D.a+2b=-

22

【答案】C

【解析】在2X+100Λ=3中，令f=2x,則有f+l（T=3,

因?yàn)閅=Igx與y=ιθ'互為反函數(shù)，圖象關(guān)于N=X對(duì)稱.

依題意可知。，f就是直線y=3-x與曲線y=lgx,y=10"交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以---=—,所以α+r=3,即α+2b=3.

22

故選：C.

3.（2022.北京西城.一模）如圖，曲線C為函數(shù)y=sinx（0wxwg）的圖象，甲粒子沿曲線C從A點(diǎn)向目的

地8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙粒子沿曲線C從B點(diǎn)向目的地A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩個(gè)粒子同時(shí)出發(fā)，且乙的水平速率為甲的2倍，

當(dāng)其中一個(gè)粒子先到達(dá)目的地時(shí)，另一個(gè)粒子隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)甲粒子的坐標(biāo)為（肛〃），乙粒

子的坐標(biāo)為（",□）,若記"--AM,則下列說法中正確的是（）

A./（⑼在區(qū)間e出）上是增函數(shù)

B./（，"）恰有2個(gè)零點(diǎn)

C./（〃?）的最小值為-2

D.J?>n）的圖象關(guān)于點(diǎn)（?,θ）中心對(duì)稱

O

【答案】B

【解析】由題意得：〃=sinm,y=sin〃=sin（手一2/M）=COS,

所以-U=sinm—cos2m=2sin2m÷sinm-?,

0<m<—

2得學(xué)，

由Vo≤mv

0≤至_2八且4

22

令f=sin機(jī)，∣）∣∣Jy=2t2+t-?,因?yàn)閞=sin∕n在華,左）上遞減，y=2y+f-1在（0,1）上遞增,

TT

所以/（機(jī)）在區(qū)間號(hào),乃）上是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

?或Sinm=-1,解得〃?=5或機(jī)=2，故B正確;

令/(w)=2sin2∕w+sin∕π-l=O,得Sinm=

266

99

因?yàn)閥=2產(chǎn)+f-l=2——√∈[],所以AM的最小值為一看，故C錯(cuò)誤；

88

因?yàn)閥=2∕+"l=2

4-關(guān)于對(duì)稱,是軸對(duì)稱圖形，

〃

所以/(M不可能關(guān)于點(diǎn)(59,0)中心對(duì)稱，故D錯(cuò)誤;

O

故選：B

4.(2021.四川.成都七中三模(理))已知函數(shù)/(x)=x+cos(∣→2x),下列對(duì)于函數(shù)f(x)性質(zhì)的描述,

錯(cuò)誤的是()

A.X=B是/(x)的極小值點(diǎn)

6

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(S])對(duì)稱

C./(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)

D.若/(x)區(qū)間[4,句上遞增，則匕-”的最大值為萬

【答案】D

【解析】/(x)=x+cos^y+2Λ^=x-sin2x.

A：f(X)=I-2cos2x,/'(看)=1-2CoS(2Xg=I-2χg=0,

當(dāng)Xe(0。)時(shí)，f(x)<OJ(X)單調(diào)遞減，當(dāng)Xe(U)時(shí)，/α)>0J(x)單調(diào)遞增，所以x=g是/(x)的

oO46

極小值點(diǎn)，故本選項(xiàng)描述正確；

B：因?yàn)?(x)+f(兀-X)=X-Sin2x+萬一X-Sin[2(;T-X)]二乃一Sin2x-sin(2?-2x)=π,

所以〃X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(W對(duì)稱，因此本選項(xiàng)描述正確；

C：令/(x)=X-Sin2x=0=X=Sin2x,函數(shù)y=x,y=sin2x在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如下圖所示:

通過圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此/（x）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以本選項(xiàng)描述正確;

D：/(x)=l-2cos2x,

Ijr?jrjrSJr

當(dāng)f(x)≥0時(shí)，則有：cos2x≤—2kπ+—≤2x≤2kπ+——(Z∈Z)=kτr+-≤x≤?τr+——(AeZ),

23366

因此函數(shù)的增區(qū)間為：［覬+fM%+.］(keZ),顯然有［q∕］αk；r+g,H?+竺］伏∈Z),

666o

SτrTi2乃

所以b-α的最大值為h?+r-(?+J)=q(AeZ),因此本選項(xiàng)描述不正確，

663

故選：D

5?（皿浙江紹興?二模）已知α>°'設(shè)函數(shù)AX）=仁工?,，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)TTD，

都有/（X）在區(qū)間（F,+8）上至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，則（）

A.Ovavl,<0<?≤lB.a≥l,且OvA≤l

C.Ovavl,且左31D.a≥?,且右1

【答案】B

【解析】/（?）=j''',若d-Or=O,則X=O或X=±&,

[κx+κ-↑,x>t

若fct+R-I=O,則X=，-1；

K

①當(dāng)O≤rvl時(shí)，X=O與X=G一定是函數(shù)的零點(diǎn)，滿足題意；

②當(dāng)—1VfVo時(shí)，可能的零點(diǎn)是％與X=T■-1,

-?[a<ta≥r

a≥?

因?yàn)橹辽俅嬖趦蓚€(gè)零點(diǎn)，所以11,而一l<rvθ,所以

——l≥t—≥r+lO<Jl≤l

Ikk

故選：B.

【點(diǎn)睛】

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

（1）直接求零點(diǎn)：令yu）=o,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；

（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間他，回上是連續(xù)不斷的曲線，且人“）貿(mào)》）V0,還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；

（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不

同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

6.(202C四川涼山?二模(文))集合A={l,2,3,4},y=√(x)是A到A的函數(shù),方程f(x)=""x))恰好

有兩個(gè)不同的根，且/⑴+(2)+/(3)+/(4)=10,則函數(shù)y=∕(x)-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.1或2D.4

【答案】C

【解析】函數(shù)y=∕(x)是A至IJA的函數(shù)，意思為X=I,x=2,x=3,x=4分別與y=l,y=2,y=3,y=4

中的某一個(gè)對(duì)應(yīng)，

又/⑴+"2)+"3)+"4)=10,

①當(dāng)是1+2+3+4=10或2+2+3+3=10或1+1+4+4=10這三種情況，

比如I對(duì)2,2對(duì)2,3對(duì)3,4對(duì)3,

即f⑴=⑴)=2,/(3)=/(/(3))=3,有42)=2,"3)=3兩個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng)是3+3+3+1=10或2+2+2+4=10這兩種情況，

比如1對(duì)4,2對(duì)2,3對(duì)2,4對(duì)2,則/⑶=/(“3))=2,/(4)=/(/(4))=2,

此時(shí)只有"2)=2一個(gè)零點(diǎn)，

故選：C.

二、多選題

7.(2022?山東威海?三模)已知函數(shù)f(x)=J∣x+α∣-0-x,則()

A.當(dāng)α=l時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2,0]

B.當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/O)的值域?yàn)镽

C.當(dāng)”=-1時(shí)，函數(shù)F(X)在R上單調(diào)遞減

D.當(dāng)4w]θ,;!時(shí)，關(guān)于X的方程/(以)=。有兩個(gè)解

【答案】BCD

【解析】A.當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=JIX由∣x+l∣-12θ,解得x≥0或xW-2,所以函數(shù)AX)的定義域

為(Ho-2]3。,”)，故錯(cuò)誤；

B.當(dāng)α=0時(shí)，/(χ)=λ∕∣7∣-χ,定義域?yàn)镽,當(dāng)x≥l時(shí)，/(x)≤0,當(dāng)x<l時(shí)，∕U)>0,所以函數(shù)/(力的

值域?yàn)镽，故正確;

C.當(dāng)〃=一1時(shí)，f(x)=y∣?x-↑?+↑-x,當(dāng)x≥l時(shí)，/(九)=五一工=一(￡一；1+；,在［l,+∞)上遞減，當(dāng)x<l時(shí),

/(X)=√2≡7-X,在(-8,1)上遞減，又/(1)=0,所以函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞減，故正確；

D.易知/(0x)=JIar+4∣-α-ox,f(aX)=a,即為JIdX+α∣-a=4+ox,設(shè)α+αx=?≥0,則Jr-α=I,即

…產(chǎn)+七+叮+；,若方程/⑷)=。有兩個(gè)解則TO,；),故正確.

故選：BCD

8.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(X)有4個(gè)零點(diǎn)4,x2,X3,%(百<%<玉</)，

并且當(dāng)x≥0時(shí)，/(x)=x2-^+l,則下列說法中正確的是()

A.實(shí)數(shù)α的取值范圍是(e,-2)u(2,+8)

B.當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x2+ov+l

C.%∣Λ?A?X4=1

D.M+2占+3芻+4*4的取值范圍是126,+∞)

【答案】BC

Δ=Λ2-4>0

【解析】因?yàn)?(x)為偶函數(shù)目有4個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x>0時(shí)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)，即，解得4>2,

----->O

I2

A不正確；

當(dāng)x<0時(shí),-x>O,則/(x)=f(τ)=x2+0x+l,B正確;

偶函數(shù)F(X)的4個(gè)零點(diǎn)滿足：x1<x2<x3<x4,則%，匕是方程/-依+1=0的兩個(gè)根，

則有Λ3>0,NA=I且玉=-Z，?=^?>于是得XIX2$匕=(七■4『=1，C正確；

33

由C選項(xiàng)知，?,+2X2+3X,+4X4=X3+3X4=X3+—,且0<x,<l,而函數(shù)y=x+一在(0,1)上單調(diào)遞減，

?X

3

從而得X3+—≡(4,+∞),D不正確.

故選：BC

9.(2022?河北保定?一模)已知“、匕分別是方程2'+x=0,3<+x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)中正確的

是().

A.-IvbvavOB.-?<a<b<QC.b-3a<a?3hD.a?2b<b?2a

【答案】BD

【解析】函數(shù)丫=2、/=3、》=-才在同一坐標(biāo)系中的圖象如下:

所以一ICaebC0,所以2"<2",3"<3",0<-Z><-4

所以—力T<{-a)-l!),-b?3a<(-α)?3ft

所以α?2"<62",b?3a>a?3b

故選：BD

10.(2021.全國(guó).二模)已知函數(shù)/(x)=<C)'"0,則下列關(guān)于函數(shù)"x)說法正確的是()

X3-6X2+9X+1,X>0

A.函數(shù)/(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)

B.函數(shù)/(x)在(0,+e)上存在對(duì)稱中心

C.若當(dāng)x∈(-l,α)時(shí)，函數(shù)/(x)的值域是[1,5],則l<α≤4

D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)=[∕(x)]2-(s+l)∕(x)+機(jī)恰有6個(gè)不同的零點(diǎn).

【答案】ACD

【解析】當(dāng)x>0時(shí),∕,(x)=3x2-12x+9=3(x-l)(x-3),易知函數(shù)〃力在(-8,1),(3,E)上單調(diào)遞增，

在(1,3)上單調(diào)遞減，/(1)=5,/(3)=1.

對(duì)于A.如圖可知，函數(shù)〃x)有一個(gè)極大值點(diǎn)1,故A正確；

對(duì)于8.由圖象可知，函數(shù)〃x)在(0,+∞)上不存在對(duì)稱中心，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C由f(4)=5,結(jié)合圖象易知C正確；

對(duì)于。.由["χ)了一w+ι)∕(χ)+機(jī)=0,可得(y(x)-D(∕(x)-昉=o,即/(χ)=ι或/(犬)=〃2.由圖像可知

y=∕(χ)與y=ι有"2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)1<機(jī)<5時(shí)，y=F(χ)與N=”有4個(gè)公共點(diǎn)，故。正確.

故選：ACD.

三、填空題

2HI-1,0<X≤2

11.(2021?四川成都?模擬預(yù)測(cè)(文))已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>O時(shí)，Ax)=1

-f(x-2),x>2

有下列結(jié)論：

①函數(shù)/(x)在(-6,-5)上單調(diào)遞增；

②函數(shù)/(x)的圖象與直線V=X有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)；

③若關(guān)于X的方程"(X)F-(α+l)∕(x)+“=O(αeR)恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為8；

④記函數(shù)/(x)在［24-1,2勾(丘底)上的最大值為應(yīng),則數(shù)列｛q｝的前7項(xiàng)和為胃.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是.

【答案】①④

【解析】當(dāng)X=O時(shí)，.“0)=。，此時(shí)不滿足方程；

若2<x≤4,則0<x—2≤2,即/(x)=g∕(x-2)=g(2WT—1)

若4<x≤6,則2<x—244,??p/(x)=^/(x-2)=1(2M-l)

作出函數(shù)在XNO時(shí)的圖像，如圖所示,

對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)“X)在(5,6)上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)F(X)在(-6,-5)上單調(diào)遞增，故

①正確；

對(duì)于②，可知函數(shù)在χ>0時(shí)的圖像與與直線y=χ有I個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)/(力的奇偶性知，/(X)的圖象與

直線y=χ有.3個(gè)不同的交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，設(shè)/(x)=f,則關(guān)于"(x)］2-(α+l)∕(x)+α=O(αeR)的方程等價(jià)于f2-(α+∕+”=O,解得：t=a

當(dāng)，=1時(shí)，即f(x)=l對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)為x,=2：方程恰有4個(gè)不同的根，可分為兩種情況：

(1)f=α=g,即/(x)=g對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)，且X2+??=2,X4="此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根的和為8；

(2)t=a=~,即/(x)=-?∣對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)，且X2+X3=-2,X4=4,此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根的和為4,故③錯(cuò)

誤；

對(duì)于④，函數(shù)/(X)在［1,2］上的最大值為/(2)=1,即4=1,由函數(shù)的解析式及性質(zhì)可知，數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)

I-W7

為1,公比為1的等比數(shù)列，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為一LZL=IZZ,故④正確.

2

1?64

2

故答案為：①④

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（I）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

12.（2022?北京房山?一模）函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,2）上連續(xù)不斷，能說明“若/（x）在區(qū)間（0,2）上

存在零點(diǎn)，則/（O）?/（2）<0”為假命題的一個(gè)函數(shù)”x）的解析式可以為/（X）=.

【答案】（XT）?（答案不唯一）

【解析】函數(shù)/（%）的圖象在區(qū)間（0,2）上連續(xù)不斷，且“若在區(qū)間（0,2）上存在零點(diǎn)，則f（0）?∕（2）<0'*

為假命題，可知函數(shù)〃x）滿足在（0,2）上存在零點(diǎn)，且f（0）?f（2）≥0,所以滿足題意的函數(shù)解析式可以為

/（x）=（x-l）2.

故答案為：（χ-l）2（答案不唯一）.

1.(2020?全國(guó)高考真題(理))若2"+log2α=4"+21og/,則()

A.a>2bB.a<2bC.a>h2D.a<h2

【答案】B

【解析】設(shè)/(X)=2，+IogzX,則/(X)為增函數(shù)，因?yàn)?"+log2a=4“+21og/=22b+log2。

2Λ262Λ

所以/(?)-fQb)=2"+Iog2a-(2+Iog22b)=2+Iog2h-(2+log,2?)=Iog2∣=-l<0,

所以/(4)<∕(2b),所以“<2?.

flft222frfc2226ft2

/(?)-M)=2+log2a-(2+Iog2b)=2+log2b-(2÷log2b)=2-2-Iog2/?.

當(dāng)6=1時(shí)，/3)-/(6)=2>0,此時(shí)/(α)>∕(∕),有°>從

當(dāng)匕=2時(shí)，/(a)-∕(?2)=-l<0,此時(shí)/(4)<∕(∕),有a<∕√,所以c、D錯(cuò)誤.

x,x<0

函數(shù)/(x)=h31/1、2

2.(2019?浙江高考真題)已知4,∕7∈R,若函數(shù)

[32

y=/(x)-or-匕恰有三個(gè)零點(diǎn)，則

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>QC.α>-l,8<0D.a>-?,b>O

【答案】C

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(i-a)x-b=O,^χ=-^-iy=f(x)-ax-b^.

?-a

多一個(gè)零點(diǎn)；

1,171,17

當(dāng)x..O時(shí)，y=f{x)-ax-b=-x-~(a+V)x+ax-ax-b=-x'(Λ+1)Λ^-b,

y,-x2—(α+l)x,

當(dāng)α+L,O,即4—1時(shí)，/..O,y=/(x)—依―。在[0,Ko)上遞增，y=/(尤)一以一h最多一個(gè)零點(diǎn).不

合題意;

當(dāng)α+l>0,即α>-l時(shí)，令y'>0得Xw[α+l,+<?),函數(shù)遞增，令y'<0得χw[0,?+1),函數(shù)遞

減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；

根據(jù)題意函數(shù)y=∕(χ)一以一。恰有3個(gè)零點(diǎn)o函數(shù)y=∕(χ)—奴—。在(-∞,())上有一個(gè)零點(diǎn)，在10,

+8)上有2個(gè)零點(diǎn),

解得〃<(),1—6!>0?0>b>—(cι÷l)?,o>—1.

6

故選C.

3.(2018全國(guó)卷I)己知函數(shù)/(x)=<','≤°,g(χ)=∕(χ)+χ+q.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值

In%,X>0

范圍是()

A.[-1,O)B.[O,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)

【答案】C

【解析】函數(shù)g(x)=/(X)+x+α存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)Fx的方程/(X)=-X-。有2個(gè)不同的實(shí)根，即

函數(shù)/(x)的圖象與直線y=—x—a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y=-x—a與函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示,

由圖可知，-αWl,解得αNl,故選c.

4.(2017新課標(biāo)HD已知函數(shù)/(x)=χ2-2χ+α(ei+e-κ∣)有唯一零點(diǎn)，則。=()

??1

A.B.C.—D.1

232

【答案】C

[解析】令/(?)=0,則方程α(e*τ+e-χ+1)=-x2+2x有唯一解，

設(shè)力(X)=-X2+2χ,g(χ)^ex~'+e^x+',則∕ι(x)與g(x)有唯一交點(diǎn)，

又g(x)=∕τ+e-E=∕τ+工τ22,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取得最小值2.

而/i(x)=—(x—1)2+1W1,此時(shí)x=l時(shí)取得最大值1,

αg(x)="(X)有唯一的交點(diǎn)，則選C.

5.(2014.山東高考真題(理))己知函數(shù)/(%)=卜一2|+1*(*)=".若方程/。)=8(》)有兩個(gè)不相等

的實(shí)根，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是()

A.(θ,?)B.(?,l)C.(1,2)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】由已知，函數(shù)/(x)=∣x-2∣+l,g(x)=丘的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫圖可知當(dāng)直線介于

4：y=gx,，2：y=%之間時(shí)，符合題意，故選B.