2022-2023學年蘇教版（2019）選擇性必修二第七章計數原理 單元測試卷（含答案）

蘇教版（2019）選擇性必修二第七章計數原理單元測試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、從3,5,7,11這四個質數中，每次取出兩個不同的數分別為α,b,共可得到

IgaTgb的不同值的個數是（）

A.6B.8C.12D.16

2、（1+2%B（1+X）4的展開式中/的系數為（）

A.12B.16C.20D.24

3、將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃

球，且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數為（）

A.15B.20C.30D.42

4、某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領導3人，值班員工4

人，要求每位值班領導至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要安排一位

值班領導和一位值班員工一起值班，且一人值多天班時要相鄰的安排方案有（）

A.249種B.498種C.1052種D.8640種

2n

5、?（1+2x）"=a0+aix+a2x++anx,若α7=t?,則〃=（）

A.8B.9C.10D.11

6、某學校為了豐富同學們的寒假生活,寒假期間給同學們安排了6場線上講座,其中講

座A只能安排在第一或最后一場,講座8和C必須相鄰,問不同的安排方法共有（）

A.34種B.56種C.96種D.144種

7、已知（l+=）（l+x）6（αeR）展開式的各項系數之和為128,則展開式中/的系數為（）

X

A.30B.33C.26D.29

8、7人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數是（）

A.3600B.1440C.4820D.4800

（o、9

9、把二項式次+士的所有展開項重新排列,求有理項不相鄰的概率為（）

2n1-5

Aa.-B.-C.—D.—

56423

10、2x~^=?的展開式中的常數項為（）

A.-120B.120C.-60D.60

二、填空題

523456

11、己知(2x-l)(x+l)=a0+alx+a2x+α3x+a4x+a5x+a6x,則

。2+/+%+4=.(用數字作答)

12、已知二項式3?-上的展開式中，所有項的系數之和為64,則該展開式中的常

數項是.

13、在(χ3--L)8的展開式中，/的系數為.

2x

14、卜+：)的展開式中尤2的系數為(用數字作答).

15、將五名學生和三名老師分成三組參加志愿者服務，要求每個小組至少一名老師，

至少一名學生，則不同的分組方法數是.(答案用數字表示)

16、(/+2)._，］的展開式中的常數項為.

三、解答題

17、3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數.

(1)選5名同學排成一排：

(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端：

(3)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；

(4)全體站成一排，男生彼此不相鄰；

18、有0,1,2,3,4,5六個數字.

(1)能組成多少個無重復數字的四位偶數？

(2)能組成多少個無重復數字且為5的倍數的四位數？

(3)能組成多少個無重復數字且比1230大的四位數？

19、為弘揚我國古代的“六藝”文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、

“御”、“書”、“數”六門體驗課程.

(1)若體驗課連續(xù)開設六周，每周一門，求其中"射''不排在第一周，"數''不排在最后一周的所有

可能排法種數；

(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任

教“數”的課程安排方案種數.

20、對于給定的奇數根,(根N3),設A是由“2X加個數組成的m行加列的數表，數表中第i行，

第/列的數與e{0,1},記c(i)為A的第i行所有數之和，?/)為4的第/列所有數之和，其中

/J∈{l,2,,機}.對于j,J∈{1,2,,m},若Ma廠C(W且團同時成立，則稱數對

(Z,/)為數表A的一個“好位置”

□?π

N°M

H

1.直接寫出右面所給的3x3數表A的所有的“好位置”；

2.當加=5時，若對任意的l≤i≤5都有Ca)N3成立，求數表A中的“好位置”個數的最小值;

3.求證：數表A中的“好位置”個數的最小值為2m-2.

參考答案

1、答案：C

解析：由于Iga-lgh=lg9,所以從3,5,7,11中取出兩個不同的數分別賦值給a和

b

。共有Aj=12種，并且計算結果不會重復，所以得到不同的值有12個.

故選：C.

2、答案：A

解析：因為（l+2fM+χ）4=（l+χ）4+2χ2（l+χ）4,所以展開式中/的系數為

C：+2C；=12.

3、答案：C

解析：四個籃球分成三組有C：種分法，三組籃球進行全排列有A；種排法，標號1,2

的兩個籃球分給同一個小朋友有A；種分法，所以有C：A；-A；=36-6=30種分法，故

選C.

4、答案：D

解析：先安排值班領導：選1位值班領導值三天班，則安排3位領導值班共有

C；A：=18（種）方案.再安排值班員工：若4名員工中有1名員工值四天班，其他員工

各值一天班，則有C；=4（種）選法；若1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，

剩余2名員工各值一天班，則有C；C；=12（種）選法；若3名員工各值兩天班，1名

員工值一天班，則有C；=4（種）選法，故安排4名員工值班共有（4+12+4）A：=480

（種）方案.因此，該單位在春節(jié)七天的假期間值班表安排方案共有18x480=8640

（種）.故選D.

5、答案：D

解析：

6、答案：C

解析：由題意知講座A只能安排在第一或最后一場,二有A；=2種結果，講座8和C

必須相鄰,，共有A：?；=種結果,根據分步計數原理知共有2x48=96種結果.故選C.

7、答案：C

解析：令X=1,可得系數之和為（l+a）x26=128,解得a=l,

66

.?(1+4)(1+%)=(1+4)(1+X)=(1+x)6+支J.易得展開式中爐的系數為

XXX

C+《=26.故選C.

8、答案：A

解析：由題意，7人并排站成一行的不同排法有A；=5040種，其中甲、乙兩人相鄰的

不同排法有2A：=144()種，所以甲、乙兩人必須不相鄰的不同排法5040-1440=3600

種.故選A.

9、答案：B

解析:J=C；?(汨”.閆=G?d_=Cj?x3y?2,淇中0≤r≤9,r∈N

當r=0,3,6,9r=0,3,6,9,項為有理項,則有4項有理項,6項無理項,展開式的10項全排列共

有A>?的,有理項互不相鄰可把6個無理項全排把4個有理項在形成的7個空中插

空即可,有A/A；AQA彳種有理項都互不相鄰的概率為組李=J鏘=：,故選:B.

A6AIoO

2A10U

10、答案：D

解析：(2x-9)的展開式中的r+1項為

&=q(2x『［—2)=(-ιy?q?26-r?√÷,

令6-。=0,解得尸=4,

2

所以的展開式中的常數項為(T)Lc>267=60.

故選：D.

11、答案：34

解析：令X=0,得。0二—1；令X=1,得〃°+4+%+/+%+%+。6=2'=32.

二項式(尤+1)5的通項公式為Ti=G?產”=Crx5^r,

又4=2xC；=2,%=2×l+(-l)×C5=—3,

所以劣+仆+%+%=32—2—(—3)—(—1)=34.

故答案為：34.

12、答案：1215

解析：?.?二項式(36-/]’的展開式中，所有項的系數之和為64,令x=l,得

2"=64,二〃=6.3?Jx--的展開式的通項公式為

Ix)

6rrrr6r

Tr+}=C；?3-?(-l)?-x-=(-l)C;?3'?,令3—弓=O,可得r=2,

.?.3√7-F∣的展開式的常數項為(-1)2C>34=1215.

IX)

13、答案：-Z

4

解析：因為刀+1=C"3(8-r)(_」_),(r=0,1,…，8)=(—%C024-4r,所以要求小的

2x2

系一數，則24-4r=4,r=5,所以其對應系一數為C；(1-=一7(.

14、答案:56

解析：&I=G產Jχf=q產2,，令8-2r=2,r=3,《=56.故口+工)的展開式中

的系數為56.

15、答案：150

解析：解：依題意各組的學生人數可能情況為(1,1,3)或(1,2,2),

若為(1,1,3)則有C；A；=60種方法；

22

若為(1,2,2)則有?CCA；=90種方法，

?2

綜上可得一共有60+90=150種方法；

故答案為：150.

16、答案：-25

解析：卜―展開式的通項公式為：7；M=C>f-r?1

(-ιr?q?x6-2r

令6—2r=0,解得r=3.

3

.?.η+1=(-D-e?=-20,

令6—2〃=—2,解得尸=4,

???G=(-1)4?」=15」，

XX

.?.(√+2)^x-^展開式中常數項為：2X(—20)+15=-25.

故答案為：-25.

17、答案:(1)2520

(2)2400

(3)288

(4)1440

解析：(1)無條件的排列問題,排法有A；=2520種.

(2)先在中間五個位置選兩個位置安排甲，乙，然后剩余5個人在剩余五個位置全排

列，

所以有A武=240()種.

(3)相鄰問題，利用捆綁法，共有A；A：A；=288種.

(4)即不相鄰問題，先排好女生共有A：種排法，男生在5個空中安插，共有A；種排

法，

所以共有A：A：=144()種.

18、答案：(1)156

(2)108

(3)284

解析：(1)由題意組成無重復數字的四位偶數分為三類：

第一類：0在個位時，有A；個；

第二類：2在個位時，首位從1,3,4,5中選定1個，有A；種，十位和百位從余下的

數字中選，有Aj種,共有A>Aj個;

第三類：4在個位時，與第二類同理，也有AiA：個，

由分類加法計數原理知，共有A；+A；?A；+A；?A：=156個無重復數字的四位偶數.

(2)組成無重復數字且為5的倍數的四位數分為兩類：

個位上的數字是。時，滿足條件的四位數有A；個；

個位數上的數字是5時，滿足條件的四位數有A；個，

故滿足條件的四位數有A"A>Aj=108(個).

(3)組成無重復數字且比1230大的四位數分為四類：

第一類：形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共個；

第二類：形如13口□,14□□,15□□,共有Aj個；

第三類：形如124□,125口,共有A；.A；個;

第四類：形如123□,共有A；個.

由分類加法計數原理知，共有A〉A；+A；?A：+A；?A；+A；=284(個).

19、答案：(1)504種；(2)1440種.

解析：

20、答案：1.“好位置”有:(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)

2.因為對于任意的i=1,2,3,4,5,c(z)≥3：

所以當q.j=l時，|5-Ca)I≤5-3<3,

j2

當q.=0時，15aj--c(i)I=Ca)〉?；

,?7?

因此若。力為“好位置”，

則必有aij=1,且5-r(j)<?∣,即r(∕)>3

設數表中共有n(n≥15)個1,其中有f列中含1的個數不少于3,

則有5T列中含1的個數不多于2,

所以5?+2(5—t)≥n≥15,/>-,

3

因為f為自然數，所以f的最小值為2

因此該數表中值為1,且相應位置不為“好位置”的數個數最多不超過3x2=6

所以，該數表好位置的個數不少于15-6=9個

而下面的5x5數表顯然符合題意

111OO

"δ~()

TT^0^TIr

11001

?"o"~δ~T

此數表的“好位置”的個數恰好為9

綜上所述，該數表的“好位置”的個數的最小值為9

3.當α,j)為“好位置”時，且aij=1時,

則有-Ca)I<5，所以c(i)>]?,

yy∣-L1

注意到機為奇數，c(i)∈N*,所以有Ca)N——

2

+1

同理得到r(∕)≥―1

當(/,j)為“好位置”，且％=O時，

mm

則I加一c(i)∣<一,則必有Ca)<一,

22

—1

注意到m為奇數，c(i)∈N",所以有c(i)≤-^-

722—1

同理得到鼠∕)<-y-

因為交換數表的各行，各列，不影響數表中“好位置”的個數，

/72+1+1

所以不妨設Ca)≥W-,O≤i≤p.c(Z)<,p+1≤/≤m

/,、、加+1八,.//.、m÷l

r(j)≥-^-β≤j<q,r(√)<-^-,?÷l≤√≤∕n

其中O<p,q<m,p,qeN

則數表A可以分成如下四個子表

A|Λ|

A2Λ

其中Al是P行q歹(j,A3是P行加一4列，A2是加一〃行q列，A∣是加一〃行〃列

A

設4，A2,A3,At中1的個數分別為4％2,3，工4

則4，A2,A3,兒中0的個數分別為P4-玉，9(〃2-P)-X2，

p(m-q)-x3X∣n-p)(m-?)-x4

則數表A中好位置的個數為M+(m-P)(M-g)-&個

H、m+1,/xm-?

F∣Πx1+x3≥∕?×-------,x3-^x4<(m-q)×-------

匚匚卜[、m+?/、m-?

加以M之p×----(jn-q)X2

ZZZ+1tn-1

所以F+(根_p)(m-q)-X4≥x]-x4≥(m-p)(tn-q)+p×----(m-q)×—^―

.???-4-1772-1

而(m-P)(Jn-q)+p×---(∕n-q)×---

2m+1..m-?

—m-pm-qιn+pq+p×---(m-q)×——

m-?機+1m2+m

=p×---qχ^→pq+---

/72+I〃2-1\∕π2-1m2+m

=(zP-一『x)z(4一一—)------÷-------

42

/777+L∕w-Lin2+2m