2023-2024學年甘肅省酒泉市金塔縣九年級（上）期中數學試卷（含解析）

2023-2024學年甘肅省酒泉市金塔縣九年級第一學期期中數學試

卷

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分。）

1.若x=2是關于x的一元二次方程尤2-,如+8=0的一個解.則相的值是（）

A.6B.5C.2D.-6

2.下列命題中，真命題是（）

A.兩條對角線垂直的四邊形是菱形

B.對角線垂直且相等的四邊形是正方形

C.兩條對角線相等的四邊形是矩形

D.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

3.如果包=Z,那么亙也的值為（）

b3b

A4n1c.—D.-

3253

4.下列四組線段中，是成比例線段的是（)

A.5cm,6cm,7cm,8cmB.3cm,6cm,2cm,5cm

C.2cm,4cm,6cmf8cmD.2cm,3cm,4cmf6cm

5.如圖，△ABC中，DE//BC,且AD：DB=2：1,那么。E：BC=()

7.一元二次方程/-3x+3=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根

B.有兩個不相等的實數根

C.只有一個相等的實數根

D.沒有實數根

8.如圖，菱形A8CD的對角線AC,8。的長分別為6cm,8cm,則這個菱形的周長為（）

A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm

9.某公司前年繳費40萬元，今年繳費48.4萬元，該公司繳費的年平均增長率為多少？如

果設平均年增長率為無，則可列方程（）

A.40（1-x）2=48.4B.40（1+x）2=48.4

C.48.4（1+x）2=40D.48.4（1-無）2=100

10.如圖所示，小正方形的邊長均為1,則下列選項中陰影部分的三角形與△ABC相似的是

()

二、填空題：（本大題共8小題，每小題3分，共24分。）

11.方程（x-2）（x+3）=0的解是.

12.菱形的兩條對角線長分別是方程尤2-14.計48=0的兩實根，則菱形的面積為.

13.己知△ABCsB'C,且相似比為3：2,若A'B'=10,則AB等于.

14.已知：工工三則.

432x

15.若方程kx2-6x-1=0有兩個實數根，則k的取值范圍是.

16.小明為了估計自家魚塘中魚的條數，他先從魚塘中撈出40條魚做上標記，然后放歸魚

塘，經過一段時間，等有標記的魚完全混合于魚群中，再撈出300條魚，發(fā)現其中帶標

記的魚有8條，則小明家魚塘中估計有條魚.

17.如圖，在菱形A8C。中，對角線AC,8。相交于點。，AC=16,BD=12,點、E是CD

的中點，連接OE,則OE的長度為.

18.如圖，是一個菱形衣掛的平面示意圖，每個菱形的邊長為16aw,當銳角NC4O=60°

時，把這個衣掛固定在墻上，兩個釘子CE之間的距離是cm.（結

果保留根號）

三、解答題：（共66分）

19.解方程.

（1）2x2—3（2尤+1）；

（2）3尤（x+2）=4x+8.

20.已知：—=^-=-^-^0,且2a-6+c=10.求a、b、c的值.

234

21.假日出游已經成為生活新潮.小明收集了4個自己感興趣的甘肅景區(qū)的圖片，制成編號

為A,B,C,。的四張卡片（除字母和內容外，其余完全相同）.現將這四張卡片背面

朝上，洗勻放好.

小明從中隨機抽取一張卡片（不放回），再從余下的卡片中隨機抽取一張.

(1)從中隨機抽取一張，求抽到“莫高窟”的概率.

(2)請你用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“莫高窟”和“嘉峪關”的

概率.(這四張卡片分別用它們的編號A,B,C,。表示)

22.一張長為30c〃z,寬20c〃z的矩形紙片，如圖1所示，將這張紙片的四個角各剪去一個

邊長相同的正方形后，把剩余部分折成一個無蓋的長方體紙盒，如圖2所示，如果折成

的長方體紙盒的底面積為264cm2,求剪掉的正方形紙片的邊長.

23.如圖，在梯形ABC。中，DC//AB,AD=BC,￡是OC延長線上的點，連接AE,交BC

于點八

(1)求證：AABFsAECF；

(2)如果AZ)=5an,AB—8cm,CF—2cm,求CE的長.

24.端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的銷

售量將增加40千克.

根據他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓

顧客得到實惠，求這種水果的儲售價為每千克多少元？

25.如圖，矩形ABCQ的對角線AC,8。相交于點O,CE//BD,ED//AC.

(1)求證：四邊形CODE是菱形；

(2)若AO=5,ZAOD=60°,則四邊形CODE的周長為

26.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=Sm,8C=6%，點P由C點出發(fā)以2%/s的速

度向終點A勻速移動，同時點。由點8出發(fā)以LMs的速度向終點C勻速移動，當一個

點到達終點時另一個點也隨之停止移動.

(1)經過幾秒，△PC。的面積為△AC8的面積的§■?

(2)經過幾秒，△PC。與△ACB相似？

參考答案

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分。）

1.若尤=2是關于尤的一元二次方程N-7nx+8=0的一個解.則根的值是（）

A.6B.5C.2D.-6

【分析】先把龍的值代入方程即可得到一個關于根的方程，解一元一方程即可.

解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0,

解得m=6.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，此題比較簡單，易于掌握.

2.下列命題中，真命題是（）

A.兩條對角線垂直的四邊形是菱形

B.對角線垂直且相等的四邊形是正方形

C.兩條對角線相等的四邊形是矩形

D.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

【分析】本題要求熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質以及之間的相互聯

系.

解：A、兩條對角線垂直并且相互平分的四邊形是菱形，故選項A錯誤；

8、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項B錯誤；

C、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項C錯誤；

。、根據矩形的判定定理，兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，故選項D

正確；

故選：D.

【點評】本題考查的是普通概念，熟練掌握基礎的東西是深入研究的必要準備.

3.如果且=告，那么生燈的值為（）

b3b

A.—B.—C.—D.—

3253

【分析】由曳=g，可以假設。=2%,6=3左，代入且也計算即可、

b3b

解：

b3

二可以假設。=2左,b=3k,

.a+b_2k+3k_5

3k—一

故選：D.

【點評】本題考查比例的性質，學會利用參數解決問題，屬于基礎題，中考常考題型.

4.下列四組線段中，是成比例線段的是()

A.5cm,6cm,Tcm,8cmB.3cm,6cm,2cm,5cm

C.2cm,4cm,6cm,8cmD.2cm,3cm,4cm,6cm

【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線

段.對選項一一分析，排除錯誤答案.

解：A、5X8W6X7,故選項錯誤；

B、3X6W5X2,故選項錯誤；

C、2X8W4X6,故選項錯誤；

D、2X6=3X4,故選項正確.

故選：D.

【點評】此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和

最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等.同時注意單位要統(tǒng)一.

5.如圖，ZXABC中，DE//BC,且A。：DB=2：1,那么。E：BC=()

A.2：1B.1：2C.2：3D.3：2

【分析】根據。E〃8C，證得再根據相似三角形對應邊的比相等，可證

DE-.BC=AD：AB,即可求解.

解：VAD：DB=2：1

：.AD：AB=2：3

'：DE//BC

，AADE^AABC

：.DE；BC=AD；AB=2：3.

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，己知一條直線平行于三角形的一邊，與

另兩邊（或延長線）相交形成的三角形與原三角形相似，且相似三角形的對應邊成比例.

【分析】采用列表法列出所有情況，再根據能讓燈泡發(fā)光的情況利用概率公式進行計算

即可求解.

解：列表如下：

即能讓燈泡發(fā)光的概率是

63

故選：B.

【點評】本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率，列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在

于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不

重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖.

7.一元二次方程N-3x+3=O的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根

B.有兩個不相等的實數根

C.只有一個相等的實數根

D.沒有實數根

【分析】求出一元二次方程根的判別式；根據根的判別式即可判斷根的情況.

解：*/A=b2-4ac=(-3)2-4X1X3=-3<0,

方程沒有實數根，

故選：D.

【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

(1)△>0。方程有兩個不相等的實數根；

(2)A=00方程有兩個相等的實數根；

(3)A<0。方程沒有實數根.

8.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD的長分別為6c〃z,8cm,則這個菱形的周長為()

A.5cmB.10cmC.14。"D.2Qcm

【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC±BD,OA=^-AC,OB=《BD,再利

用勾股定理列式求出AB,然后根據菱形的四條邊都相等列式計算即可得解.

解：???四邊形ABC。是菱形，

J.ACLBD,(9A=—AC=—X6=3(cm),

22

OB=JLBO=JLX8=4(cm),

22

根據勾股定理得，AB=,\/OA2-K)B2=VS2+42=5(cm),

所以，這個菱形的周長=4X5=20(cm).

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分，

需熟記.

9.某公司前年繳費40萬元，今年繳費48.4萬元，該公司繳費的年平均增長率為多少？如

果設平均年增長率為x,則可列方程()

A.40(1-%)2=48.4B.40(1+x)2=48.4

C.48.4(1+x)2=40D.48.4(1-x)2=100

【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量X（1+增長率），如果設該公司

這兩年繳稅的年平均增長率為x,首先表示出去年的繳稅額，然后表示出今年的繳稅額,

即可列出方程.

解：設該公司繳費的年平均增長率為x,根據題意，得

40（1+x）2=48.4,

故選：B.

【點評】主要考查由實際問題抽象出一元二次方程中增長率問題，一般形式為。（1+無）

2=6,。為起始時間的有關數量，6為終止時間的有關數量.

10.如圖所示，小正方形的邊長均為1,則下列選項中陰影部分的三角形與AABC相似的是

【分析】根據網格中的數據求出A8,AC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比

例的兩三角形相似判斷即可.

解：根據題意得：AB=yJ32+l2=V10,AC=2，BC={F+]2=&,

'.BC：AC：AB—1：1y/2'

A、三邊之比為1：72：通，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；

B、三邊之比J5：V5：3,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；

C、三邊之比為1：代：2加，圖中的三角形（陰影部分）與AABC不相似；

D、三邊之比為2：F：/13，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似.

故選：A.

【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關

鍵.

二、填空題：（本大題共8小題，每小題3分，共24分。）

11.方程（%-2）（x+3）=。的解是無1=2,%2=-3.

【分析】方程利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來

求解.

解：(X-2)(x+3)=0,

可得尤-2=0或x+3=0,

解得：xi—2,Xi--3.

故答案為：為=2,xi=-3

【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關鍵.

12.菱形的兩條對角線長分別是方程N-14x+48=0的兩實根，則菱形的面積為24.

【分析】先解出方程的解，根據菱形面積為對角線乘積的一半，可求出結果.

解：N-i4x+48=0

x=6或尤=8.

所以菱形的面積為：(6X8)+2=24.

菱形的面積為：24.

故答案為：24.

【點評】本題考查菱形的性質，菱形的對角線互相垂直，以及對角線互相垂直的四邊形

的面積的特點和根與系數的關系.

13.已知△ABCs/WB'C,且相似比為3：2,若A'B'=10,則AB等于15.

【分析】若兩三角形相似則其對應邊的比等于相似比，已知相似比及一邊的長，不難求

得其對應邊的長.

解：?.?△ABCs&VB'C,且相似比為3：2,

：.AB-.A'B'=3：2,

VA,B'=10,

故答案為：15.

【點評】此題主要考查學生對相似的三角形的性質的理解及運用.

14.已知：上工工則口^=工.

432x一

【分析】由工二二5，得%:y：z=4：3：2,令％、y、z的值分別為4鼠3k,2k,代入

4J2

直接求得結果.

解：令x=4k,y—3k,z—2k,代入xy+3z.=’j+6=1.

x44

故答案為：---

4

【點評】解決此題的關鍵是利用了特殊值法，這是解填空題和選擇題常用的方法，省時

又省力.

15.若方程依2一6x-1=0有兩個實數根，則k的取值范圍是％5-9且左打0.

【分析】由方程區(qū)2-6x-1=0有兩個實數根，可得△》()且上W0,繼而求得答案.

解：：方程kx2-6A--1=0有兩個實數根，

/.A=62-4ac=(-6)2-4X左X(-1)=36+4左20,

解得:欄-9,

..?方程是一元二次方程，

；.k￥0,

，左的取值范圍是：左2-9且上#0.

故答案為：左》-9且k/0.

【點評】此題考查了一元二次方程的根的判別式.注意一元二次方程的二次項系數不為0.

16.小明為了估計自家魚塘中魚的條數，他先從魚塘中撈出40條魚做上標記，然后放歸魚

塘，經過一段時間，等有標記的魚完全混合于魚群中，再撈出300條魚，發(fā)現其中帶標

記的魚有8條，則小明家魚塘中估計有1500條魚.

【分析】先打撈300條魚，發(fā)現其中帶標記的魚有8條，可求出有標記的魚占的比例，

再根據共有40條魚做上標記，然后運用有理數除法計算即可解答.

解：：打撈300條魚，發(fā)現其中帶標記的魚有8條，

有標記的魚占~~~

30075

:共有40條魚做上標記，

魚塘中估計有40+2=1500(條).

故答案為：1500.

【點評】本題考查用樣本估計總體，掌握用樣本估計總體的思想是解題的關鍵.

17.如圖，在菱形ABCZ)中，對角線AC,2。相交于點。，AC=16,BD=12,點E是CD

的中點，連接OE,則OE的長度為5.

【分析】由菱形的性質和勾股定理求出。=10,再由直角三角形斜邊上的中線性質即可

得出結論.

解：?.?菱形A5C。的對角線AC、5D相交于點O,AC=16,BD=12,

；.0D=工BD=6,0C=2AC=8,AC±BD,

22

.-.zcor>=90°,

-'-CD=i/0C2-H3D2=^82+62=1。，

:點￡是C。的中點，

;.OE=LCD=5,

2

故答案為：5.

【點評】本題考查了菱形的性質、勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線性質，熟練掌

握菱形的性質是解題的關鍵.

18.如圖，是一個菱形衣掛的平面示意圖，每個菱形的邊長為16a”，當銳角NCAO=60°

時，把這個衣掛固定在墻上，兩個釘子CE之間的距離是/百_c".(結果保留根號)

【分析】由圖可得：CE兩點之間的距離是較長對角線的兩倍；根據已知可分別求得較短

和較長的對角線的長，即可求得CE的長.

解：?.?在一個菱形中，ZCAD=6Qa

較短的對角線等于邊長16c%,較長的對角線為16愿

.\CE=2X1673=3273(cm).

故答案為：32M.

【點評】本題考查等邊三角形的性質、菱形的性質、勾股定理；熟練掌握菱形的性質，

由題意得出較長對角線的長度是解決問題的關鍵.

三、解答題：(共66分)

19.解方程.

(1)2元2=3(2x+l)；

(2)3x(x+2)=4x+8.

【分析】(1)先將方程化成一般式，然后運用公式法解答即可;

(2)先將方程化成一般式，然后運用因式分解法解答即可.

解：(1)2x2=3(2x+l),

2x2-6x-3=0,

A=(-6)2-4X2X(-3)=60>0,

-(-6)±V603±715

所以

2X22

3+7153-715

所以X1

—^―，x2=-

(2)3x(x+2)=4x+8,

3x2+2x-8=0,

(x+2)(3x-4)=0,

x+2=0或3x-4=0,

所以乂1=-2,乂之二方.

【點評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式

分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵.

20.已知：—=-^-=-^-7^0,且2〃-Z?+c=10.求〃、b、c的值.

234

【分析】設二2棄=上根據比例性質得。=2鼠c=3k,c=4k,然后利用2a-b+c=

234

10得至!J4%-3k+4左=10,然后解出人的值，從而得到。、b、。的值.

解：設包=^"一■=左，則〃=2%,c=3k,c=4k,

234

V2a-b+c=10,

4k-3k+4k=10,解得k=2,

.*.(2=4,b=6,c=8.

【點評】本題考查了比例的性質：常用的性質有：內項之積等于外項之積；合比性質；

分比性質；合分比性質；等比性質.

21.假日出游已經成為生活新潮.小明收集了4個自己感興趣的甘肅景區(qū)的圖片，制成編號

為A,B,C,。的四張卡片（除字母和內容外，其余完全相同）.現將這四張卡片背面

朝上，洗勻放好.

小明從中隨機抽取一張卡片（不放回），再從余下的卡片中隨機抽取一張.

（1）從中隨機抽取一張，求抽到“莫高窟”的概率.

（2）請你用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“莫高窟”和“嘉峪關”的

概率.（這四張卡片分別用它們的編號4B,C,。表示）

【分析】（1）直接運用概率公式求解即可，掌握概率公式是解題的關鍵；

（2）先畫出樹狀圖，可知共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是“共“8”

和的結果有2種，最后由概率公式求解即可.正確畫出樹狀圖是解題的關鍵.

解：（1）從中隨機抽取一張，抽到“莫高窟”的概率為

（2）畫樹狀圖如下:

開始

共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是“8”和“ZT的結果數為2,

...抽到的兩張卡片恰好是"B"和"Q”的概率為三

126

【點評】本題考查了事件的分類和概率的求法.用到的知識點為：可能發(fā)生，也可能不

發(fā)生的事件叫做隨機事件；概率=所求情況數與總情況數之比.

22.一張長為30cm,寬20c,”的矩形紙片，如圖1所示，將這張紙片的四個角各剪去一個

邊長相同的正方形后，把剩余部分折成一個無蓋的長方體紙盒，如圖2所示，如果折成

的長方體紙盒的底面積為264cm2,求剪掉的正方形紙片的邊長.

圖1圖2

【分析】設剪去的正方形邊長為xcm,那么長方體紙盒的底面的長為(30-2x)cm,寬

為(20-2x)cm,然后根據底面積是264cH2即可列出方程求出即可.

解：設剪掉的正方形紙片的邊長為XC".

由題意，得(30-2x)(20-2x)=264.

整理，得X2-25X+84=0.

解方程，得xi=4,無2=21(不符合題意，舍去).

答：剪掉的正方形的邊長為4cm.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，首先要注意讀懂題意，正確理解題意，

然后才能利用題目的數量關系列出方程.

23.如圖，在梯形ABC。中，DC//AB,AD=BC,E是OC延長線上的點，連接AE,交BC

于點F.

(1)求證：△ABFsAECF；

(2)如果A￡)=5C7W,AB=8cm,CF=2cm,求CE的長.

【分析】(1)根據相似三角形的判定即可求出答案.

(2)根據相似三角形的性質即可求出答案.

解：⑴\'DC//AB,

:.NB=/ECF,/BAF=NE,

：.△ABFs^ECF.

(2)AD=BC,AD=5cm,AB=Scm,CF=2cm,

；?BF=3cm.

??,由(1)知，AABFsAECF,

.BABF日口83

CECFCE2

CE-----(cm)

3

【點評】本題考查相似三角形，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質和與判定，本

題屬于基礎題型.

24.端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的銷

售量將增加40千克.

根據他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓

顧客得到實惠，求這種水果的儲售價為每千克多少元？

【分析】設每千克降低尤元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意列出一元二次方

程，解之即可得出答案.

解：設每千克降低x元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意得，

(38-%-22)(160+40.X)=3640,

整理得N-12尤+27=0,

；.x=3或x=9.

???要盡可能讓顧客得到實惠，

售價為38-9=29(元/千克).

答：這種水果的儲售價為每千克29元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

25.如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點。，CE//BD,ED//AC.

(1)求證：四邊形CODE是菱形；

(2)若AD=5,ZAO￡>=60°,則四邊形CODE的周長為20.

【分析】(1)首先由