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Page10浙江省杭州市八縣區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.全集,,則()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿意(其中i為虛數(shù)單位),則z的虛部是()A.2i B. C.2 D.3.已知與拋物線的準(zhǔn)線相切.則()A. B.16 C. D.84.下列命題中,不正確的是()A.若事務(wù)A,B互斥,則B.若事務(wù)A,B互獨立,則C.若事務(wù)A,B,C兩兩互斥,則D.若事務(wù)A,B,C兩兩獨立,則5.如圖所示,是某廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形,它由一個圓錐和一個半球組合而成,其中,圓錐的底面和球的直徑都是0.2m,圓錐的高是0.24m.要對1000個這樣的臺燈表面涂一層膠,假如每平方米須要涂膠100克,則共需膠()克
A.340π B.440π C.4600π D.6600π6.已知函數(shù)(,),其圖象關(guān)于點成中心對稱,相鄰兩條對稱軸的距離為,且對隨意,都有,則在下列區(qū)間中,f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)的是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,的零點分別為a,b,c,下列各式正確的是()A. B. C. D.8.a為實數(shù),函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a).當(dāng)g(a)取得最小值時,()A. B. C. D.1二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.9.若橢圓的焦點為,,長軸長為2a,則橢圓上的點(x,y)滿意()A. B.C. D.10.設(shè)α,β為兩個平面,則必要不充分條件是()A.α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行 B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行.C.α,β垂直于同一條直線 D.α,β垂直于同一平面11.已知點A、B、P在上,則下列命題中正確的是()A.,則的值是B.,則的值是C.,則的范圍是D.,且,則的范圍是12.定義全集U的子集M的特征函數(shù).已知,,則以下結(jié)論中正確的是()A.若,則對于隨意,都有B.對于隨意,都有C.對于隨意,都有D.對于隨意,都有三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分,16題第1空2分,第2空3分.13.______.14.已知,,則______.15.某地現(xiàn)有耕地10000公頃.規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加,人均糧食占有量比現(xiàn)在至少提高.假如人口年增長率(即千分之三),那么耕地平均每年至多只能削減______公頃(精確到小數(shù)點后一位,).(備注:糧食單產(chǎn),人均糧食占有量)16.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在直線上,則的最大值是______;若為正三角形,則其邊長為______.四、解答題:本題包括6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知a,b,c分別為的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,在①,②,③這三個條件中任選一個,并解答下列問題(假如選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分):(1)求角A;(2)若,,求BC邊上的中線長.18.某城市為節(jié)能減排,提出了在保障生活必需的基礎(chǔ)上,“低碳生活,節(jié)約用電”的倡議.以下是某社區(qū)隨機(jī)提取的100戶居民的月平均用電量(單位:度)的數(shù)據(jù),依據(jù)這些數(shù)據(jù),以[160,180),[180,200),[200,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求月平均用電量的25%分位數(shù)(精確到小數(shù)點后1位);(2)在月平均用電量最小組[160,180)和最大組[280,300]用戶中,各隨機(jī)抽取1戶到社區(qū)做用電狀況溝通,其中最小組的甲與最大組的乙恰有一人被選到的概率.19.萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler,瑞士數(shù)學(xué)家),1765年在他著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理:三角形的重心(三條中線的交點)、垂心(三條高線的交點)和外心(三條中垂線的交點)共線.這條線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點,,.(1)求的歐拉線方程;(2)記的外接圓的圓心為C,直線l:與圓C交于A,B兩點,且,求的面積最大值.20.如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,二面角P—BC—A的大小是45°,E、G分別是PC、PA的中點,交PB于點F.
(1)求證:D、E、F、G四點共面;(2)設(shè)Q是直線AD的中點,求直線FQ與平面DFG所成角的正弦值.21.已知雙曲線C的離心率,左焦點到其漸近線的距離為.(1)求雙曲線C方程;(2)設(shè)T是y軸上的點,過T作兩直線分別交雙曲線C的左支于P、Q兩點和A、B兩點,若,P、Q兩點的中點為M,A、B兩點的中點為N,O為坐標(biāo)原點,求兩直線OM和ON的斜率之和.22.我們知道,函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)覺了更一般結(jié)論:函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),試依據(jù)此結(jié)論解答下列問題:(1)若函數(shù)滿意對隨意的實數(shù)m,n,恒有,求的值,并推斷此函數(shù)圖象是否中心對稱圖形?若是,懇求出對稱中心坐標(biāo);(2)若(1)中的函數(shù)還滿意時,,求不等式的解集;(3)若函數(shù).若與的圖象有3個不同的交點,,其中,且,求值.1【答案】B2【答案】D3【答案】A4【答案】D5【答案】C6【答案】C7【答案】D8【答案】A9【答案】ABD10【答案】AD11【答案】BCD12【答案】ABC13【答案】##-1.514【答案】15【答案】3.916【答案】①.90°②.6p17【答案】(1);(2).【小問1詳解】選①,在中,由正弦定理及得:,而,即,于是得,又,所以.選②,在中,由正弦定理及得:,而,,則,所以.選③,在中,由正弦定理及得:,即,由余弦定理得,而,所以.【小問2詳解】由(1)知,,在中,由余弦定理得:,即,,設(shè)BC的中點為D,則,在中,由余弦定理得:,解得,所以BC邊上的中線長.18【答案】(1)201.8(2)【小問1詳解】由圖可得月平均用電量在[160,180)的頻率為0.002×20=0.04,[180,200)的頻率為0.0095×20=0.19,[200,220)的頻率為0.011×20=0.22,0.04+0.19=0.23<0.25,0.04+0.19+0.22>0.25,所以25%分位數(shù)肯定位于[200,220)內(nèi),由,所以,月平均用電量的25%分位數(shù)約為201.8.【小問2詳解】最小組中有4戶,設(shè)為甲,最大組有5戶,設(shè)為乙,,各隨機(jī)抽取1戶,有(甲,),(甲,),(甲,),(甲,),(甲,乙),(,乙),(),(),(),(),(,乙),(),(),(),(),(,乙),(),(),(),(),共20種可能,其中最小組的甲與最大組的乙恰有一人被選到有:(甲,),(甲,),(甲,),(甲,),(,乙),(,乙),(,乙),共7種甲、乙被選到的事務(wù)分別記為A、B,所以最小組的甲與最大組的乙恰有一人被選到的概率為:.19【答案】(1)(2)【小問1詳解】的頂點,,利用兩點之間距離公式知,又,所以為等腰直角三角形,的中垂線方程是,也是的平分線,三線合一,∴歐拉線方程是.【小問2詳解】由(1)知為等腰直角三角形,故外心為斜邊中點,即外心是,圓心C到直線l的距離,,所以利用二次函數(shù)性質(zhì)知,當(dāng)時,即時,20【小問1詳解】(1)依題意,為二面角P—BC—A的平面角,即,因E是PC中點,所以,因平面ABCD,所以,又且,所以平面PCD,因平面PCD,所以,又因,且,所以平面PBC,所以,同理,又,,∴平面DEF所以且,,∴平面DFG,∴平面DFG與平面DEF是同一平面,即D、E、F、G四點共面.【小問2詳解】以DA、DC、DP為軸建立坐標(biāo)系如圖,設(shè),則Q(1,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),G(1,0,1),設(shè),則由,得,所以,,由(1)知,是平面DFG的法向量,設(shè)直線FQ與平面DFG所成角為θ,則,所以直線FQ與平面DFG所成角的正弦值是.21【答案】(1)(2)0【小問1詳解】依題意,焦點在x軸上,設(shè)實半軸、虛半軸長分別為a,b,則漸近線為,左焦點到其漸近線的距離,∵,∴,解得,所以雙曲線方程是.【小問2詳解】設(shè),直線AB:,,,直線PQ:,,,聯(lián)立,依題意,同理可得,,∵,∴,∴,化簡得,∵,∴.∵,,∴.22【答案】(1)
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