第7章平行線的證明-題型全解-北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

PAGEPAGE1《平行線的證明》題型解讀【知識(shí)梳理】一.基本概念（一）定義：對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，這就是定義。在表示定義的句子中常有“叫…，稱為…，是…”等關(guān)鍵字眼。（二）命題：判斷一件事情的句子，叫做命題1.它包含兩層含義：①命題必須是一個(gè)完整的句子，常為陳述句，通常不完整的句子、疑問(wèn)句、感嘆句都不是命題；②命題必須對(duì)某件事作出肯定或否定的判斷；2.每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出來(lái)的事項(xiàng)。一般地，命題都可以寫成“如果……，那么……”的形式。其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。3.命題有真命題、假命題、逆命題之分。（三）公理：公認(rèn)的真命題稱為公理；公理是不需要經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的真命題。（四）定理：經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理；公理和定理都可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)。（五）證明：推理的過(guò)程稱為證明二.基本性質(zhì)（一）平行線的性質(zhì)與判定1.性質(zhì)①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；④平行于同一直線的兩直線平行；2.判定①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；④在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線平行；（定義判別）⑤平行于同一直線的兩直線平行；⑥在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行；補(bǔ)充：①平行線的一組同位角的角平分線平行；②平行線的一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線平行；③平行線的一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直；（二）復(fù)雜圖形中平行線的構(gòu)造和應(yīng)用解題關(guān)鍵：遇到拐點(diǎn)處作已知平行線的平行線，然后根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的關(guān)系求角的度數(shù)。常見(jiàn)模型：常見(jiàn)模型：1.鉛筆模型：∠1+∠2+∠3=360o鉛筆模型推論：所有角度和=180o×（n-1）2.豬腳模型：∠2=∠1+∠3豬腳模型推論：左邊角之和=右邊角之和3.牛角模型及鴨腳模型：∠1=∠2+∠3附：構(gòu)造平行線中“三大模型”的證明過(guò)程題型特點(diǎn)：有平行線，但不是“三線”情況，需要構(gòu)造出“三線八角”，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)或判定解題。解題思路：1.通用做法遇到拐點(diǎn)處作已知平行線的平行線；2.線段延長(zhǎng)與平行線相交，構(gòu)造“截線”掌握要求：填選題中直接用，解決題中需要掌握證明過(guò)程一.“鉛筆模型”：已知AB//CD，結(jié)論：∠B+∠E+∠D=360o證明方法：二.豬腳模型：已知AB//CD，結(jié)論：∠E=∠B+∠D三.牛角模型及鴨腳模型：已知AB//CD，結(jié)論：∠B=∠E+∠D（三）三角形的內(nèi)角和定理1.三角形的內(nèi)角和等于1802.三角形的外角（1）三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為三角形的外角；（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；【典型例題】例1．下列命題是真命題的是（）A．若直角三角形其中兩邊為3和4，則第三邊為5 B．﹣1的立方根是它本身 C．三角形的一個(gè)外角大于三角形的任意一個(gè)內(nèi)角 D．內(nèi)錯(cuò)角相等解析：選項(xiàng)A沒(méi)明確3和4為直角邊，則第三邊存在兩種情況，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C三角形的一個(gè)外角大于與它相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，錯(cuò)誤，故選B.例2.下列四個(gè)命題中,真命題有（）①兩條直線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等；②如果∠1和∠2是對(duì)頂角,那么∠1=∠2；③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角；④如果那么A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：命題識(shí)別題型，考查數(shù)學(xué)基本概念與性質(zhì)，只有②正確，選A例3.下列命題中，真命題的是()A.同旁內(nèi)角互補(bǔ) B.相等的角是對(duì)頂角

C.同位角相等，兩直線平行 D.直角三角形兩個(gè)銳角互補(bǔ)解析：兩直線平行同旁內(nèi)角才互補(bǔ)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；相等的角不一定是對(duì)頂角，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直角三角形兩個(gè)銳角互余，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選C例4.下列命題中，真命題的是（）A.三角形的最大角不小于60° B.三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角的和C.同位角相等 D.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行解析：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；兩直線平行同位角才相等，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選A例5.下列命題是假命題的為（）A.如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是1:2:3，那么這個(gè)三角形是直角三角形B.銳角三角形的所有外角都是鈍角C.內(nèi)錯(cuò)角相等D.平行于同一直線的兩條直線平行解析：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角才會(huì)相等，故選C例6．在下列圖形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（A）A．B． C．D．解析：選A,依“內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行”可得到AB//CD例7.如圖,直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,EG平分∠BEF,AB∥CD.若∠1=72°,則∠2的度數(shù)為（）A.54°B.59°C.72°D.108°解析：數(shù)學(xué)典型模型“角平分線+平行線=等腰△”，EG平分∠BEF,AB∥CD可得△GEF是等腰三角形，F(xiàn)E=FG，∴∠2=∠FEG,由三角形內(nèi)角和公式及∠1=72°可得∠2的度數(shù)，選A.例8.將一副直角三角板如圖放置,使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合,則∠1的度數(shù)為_(kāi)________.解析：“豬腳模型”，∠1=∠2+∠3=45°+30°=75°.例9.如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，已知∠BED+∠CFD=240°，則∠BDC=______．解：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠EBD=∠DBC，∵過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，∴∠EDB=∠EBD=1同理∠FDC=1∴∠BDC=例10.如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=ED，連CF．(1)求證：CF//AB

(2)若∠ABC=50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A解析：(1)證明：∵在△AED和△CEF中AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE∴△AED≌△CEF(SAS)，∴∠A=∠ACF，∴CF//AB；

(2)解：∵AC平分∠BCF，∴∠ACB=∠ACF，∵∠A=∠ACF，∴∠A=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=50例11.已知：如圖8，點(diǎn)D、E、F、G都在△ABC的邊上，DE//AC，且∠1+∠2=180°（1）求證：AD//FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C=40°，求∠BFG的度數(shù).證明：(1)∵DE//AC,∴∠2=∠DAC,∵∠l+∠2=180°,∴∠1+∠DAC=180°,∴AD//GF(2)∵ED//AC,∴∠EDB=∠C=40°,∵ED平分∠ADB,∴∠2=∠EDB=40°,∴∠ADB=80°∵AD//FG,∴∠BFG=∠ADB=80°例12．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上，點(diǎn)A在直線l3上，l2與AC交于點(diǎn)D，且∠BAC=25°，∠BAE=25°．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BCF的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵l2∥l3∴∠ABD=∠BAE=25°，∵∠BAC=25°∴∠ABD=∠BAC，∴△ABD是等腰三角形，（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∠BAC=25°，∠ACB=90°,∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣25°﹣90°=65°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣25°=40°，∵l1∥l2∴∠BCF=∠CBD=40°，例13．如圖，△ABC中，CE、CF分別是∠ACB及外角∠ACD的平分線，且CE交AB于點(diǎn)E，EF交AC于點(diǎn)M，已知EF∥BC．（1）求證：M為EF中點(diǎn)；（2）若∠B=40°，∠A=60°，求∠F的度數(shù)．解：（1）∵CE、CF分別是∠ACB及外角∠ACD的平分線，∴∠MCE=∠BCE，∠MCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF，∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，∴EM=MC，MC=MF，∴EM=MF，∴M是EF的中點(diǎn)，（2）∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°，∵CF平分∠ACD，∴∠FCD=12∠ACD=50°∵EF∥∴∠F=∠FCD=50°例14．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點(diǎn)，且∠DEF＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）連接DF，若DF∥BC，求證：∠1＝∠3．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）連接DF，∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠DEB，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3．例15.如圖1,直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,∠1與∠2互補(bǔ).(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；()如圖2,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G,點(diǎn)H是MN上一點(diǎn),且GH⊥EG.求證:PF∥GH；(3)如圖3,在(2)的條件下,連接PH,K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK，問(wèn)∠HPQ的大小是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：考查平行線的性質(zhì)與判定。中等難度題。（1）基礎(chǔ)簡(jiǎn)單小題?！摺?+∠FEB=180°,∠1+∠2=180°,∴∠2=∠FEB,∴CD//AB；（2）中等偏下難度小題。∵AB//CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，∴2∠PEF+2∠PFE=180°,∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠EPF=90°,∴EG⊥PF,∵GH⊥EG,∴PF//HG；（3）中等偏上難度小題。不會(huì)發(fā)生變化，