數(shù)學培優(yōu)競賽新方法(九年級)-第12講-統(tǒng)計與概率

第12講統(tǒng)計與概率知識縱橫統(tǒng)計學是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此根底上作出推斷的科學。在自然界和人類社會中，嚴格確定性的現(xiàn)象十分有限，不確定性現(xiàn)象卻是不量尋在的，而概率正是對隨機現(xiàn)象的一種數(shù)學的描述，數(shù)學鐘用概率來表示事件發(fā)生的時機大小，概率是一個比值，用字母表示，計算公式是：事件發(fā)生概率在具體的計算中，常用到樹形圖、列表、窮舉等方法。統(tǒng)計與概率互為根底，概率這一概念是建立在頻率這一統(tǒng)計量穩(wěn)定性的根底上，而統(tǒng)計推斷、估計等統(tǒng)計方法的科學性有賴于概率理論的嚴密性。例題求解【例1】一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別為1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別為1，3，4，5，6，8，同時擲這兩枚骰子，其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是〔2011年“《數(shù)字學報》杯”全國初中數(shù)學競賽題〕思路點撥用列表法列出所有情形?！纠?】一項“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，那么算過關(guān)；否那么不算過關(guān)，現(xiàn)有以下說法;=1\*GB3①過第一關(guān)是必然事件；=2\*GB3②過第二關(guān)的概率是；=3\*GB3③可以過第四關(guān)；=4\*GB3④過第五關(guān)的概率大于零。其中，正確說法的個數(shù)為〔〕A、4B、3C、2D、1〔天津市競賽題〕思路點撥對于〔2〕，在理解“過關(guān)”意義根底上，逐步計算相關(guān)概率。【例3】小明準備給小陳打，由于保管不善，本上的小陳號碼中，有兩個數(shù)字已模糊不清，如果用x、y表示這連個看不清的數(shù)字，那么小陳的號碼為139x370y580(號碼由11個數(shù)字組成)，小明記得這11個數(shù)字之和是20的整數(shù)倍，求小明一次撥對小陳號碼的概率、〔2011年南通市中考題〕思路點撥建立關(guān)于x、y的不定方程，由此可得x、y可能的對應值的所有情形?！纠?】楊華與李紅用5張同樣規(guī)格的硬紙片作拼圖游戲，正面如圖1所示，反面完全一樣，將它們與反面朝上均勻后，同時抽出兩張。規(guī)那么如下：

當兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時，楊華得1分；

當兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時，季紅得1分〔如圖2〕．

問題：游戲規(guī)那么對雙方公平嗎？請說明理由；假設你認為不公平，如何修改游戲規(guī)那么才能使游戲?qū)﹄p方公平？例4圖例4圖思路點撥游戲?qū)﹄p方公平是指雙方積分值相同，解題的關(guān)鍵是分別求出楊華和李紅的得分?！纠?】一場數(shù)學游戲在兩個非常聰明的學生甲、乙之間進行．裁判先在黑板上寫出下面的正整數(shù)2、3、4、…、2006，然后隨意擦去一個數(shù)．接下來由乙、甲兩人輪流擦去其中的一個數(shù)〔即乙先擦去其中的一個數(shù)，然后甲再擦去一個數(shù)，如此輪流下去〕，假設最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，那么判甲勝；否那么，判乙勝．按照這種游戲規(guī)那么，求甲獲勝的概率．〔四川省競賽題〕分析解題的更關(guān)鍵是依據(jù)裁判擦去的數(shù)的奇偶性進行討論。解2、3、4、…、2006中有1002個奇數(shù)，1003個偶數(shù)?！?〕假設裁判擦去的是奇數(shù)，此時，乙一定獲勝，因為乙不管擦什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦奇數(shù)。這樣最后兩個數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩個數(shù)不互質(zhì)；〔2〕假設裁判擦去的是偶數(shù)，此時，甲一定獲勝，設裁判擦去的數(shù)是2m，那么將所剩的數(shù)配成1002對：〔2，3〕，，〔2m-2，2m-1〕，〔2m+1，2m+2〕，，〔2005，2006〕。這樣，不管乙擦去哪一個數(shù)，甲都擦去所配對的數(shù)對中的另一個數(shù)，最后所剩下的兩個數(shù)比互質(zhì)，故甲勝，故甲勝的概率為。簡約思維【例6】一個正三角形ABC的每一個角各有一只螞蟻，每只螞蟻開始朝另一只螞蟻做直線運動，目標角是隨機選擇，求螞蟻不不相撞的概率。〔微軟公司招聘面試試題〕分析與解三只螞蟻在每個角上都有兩種選擇的方向〔順時針或逆時針〕。因每只螞蟻選擇的不確定性，故組成的各種情形，似乎繁雜。這正是微軟主考制造的氣氛，其用意在于考查應試者摒除習慣因素的干擾，初中要害，化繁為簡的能力。選擇一只螞蟻A作為參照標準，一旦A確定了自己的運動方向，那么其他螞蟻必須做相同方向的運動才能防止相撞，螞蟻B、C分別有的概率來選擇與A相同的運動方向。故螞蟻防止撞到一起的概率為。學歷訓練根底夯實如圖，圖有個黑球，圖為個同樣大小球疊成的圖形，最下一層的個球為黑色，其余為白色，圖為個同樣大小球疊成的圖形，最下一層的而過球為黑色，其余為白色；。。。。。那么從第個圖中隨機取出一個球，是黑球的概率是________圖①圖①圖②圖③圖④第1題(2011株洲市中考題〕2.從至這個自然數(shù)中任取一個，是的倍數(shù)或是的倍數(shù)的概率是________〔杭州市中考題〕3.有四張正面分別標有數(shù)字的不透明卡片，他們除數(shù)字不同外其余全部相同?，F(xiàn)將它們反面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上餓數(shù)字記為，那么使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解的概率為________?！?011年重慶市中考題〕4.對于平面內(nèi)任意一個凸四邊形,現(xiàn)從以下四個關(guān)系式④中任取兩個作為條件，能夠得出這個四邊形是平行四邊形的概率是________〔廣州市中考題〕5.在三個數(shù)中任取兩個，組成兩位數(shù)，那么在組成的兩位數(shù)中是奇數(shù)的概率為〔〕〔泰安市中考題〕6.經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)，假設這三種可能性大小相同，那么兩輛騎車經(jīng)過該十字路口全部繼續(xù)直行的概率為〔〕〔2011年呼和浩特市中考題〕7.一個口袋有個黑球和假設干和白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其中的白球數(shù)，采用了如下的方法:從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色。。。。。。不斷重復上述過程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明估計口袋中的白球大約有〔〕〔青島市中考題〕8.”趙爽弦圖“是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形〔如下圖〕，小亮同學隨機地在大正方形及其內(nèi)部投針。假設直角三角形的兩條直角邊的長分別是和，那么針扎到小正方形〔陰影〕區(qū)域的概率是〔〕〔臨沂市中考題〕有四張卡片〔反面完全相同〕，分別寫有數(shù)字，把它們反面朝上洗勻后，甲同學抽取一張記下這個數(shù)字后放回洗勻，乙同學再從中抽出一張，記下這個數(shù)字，用字母分別表示甲乙兩同學抽出的數(shù)字。用列表法關(guān)于的方程有實數(shù)解的概率。求〔1〕中方程有兩個相等實數(shù)解的概率〔2011年貴州省中考題〕將反面完全相同，正面上分別寫有數(shù)字的四張卡片混合后，小明從中隨機地抽取一張，把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)，將形狀，大小完全相同，分別標有數(shù)字的三個小球混合后，小華從中隨機地抽取一個，把小球上的數(shù)字作為減數(shù)，然后計算出這兩個數(shù)的差。請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩數(shù)差為的概率小明和小華做游戲，規(guī)那么是：假設這兩數(shù)的差為非負數(shù)，那么小明贏；否那么，小華贏，你認為該游戲公平嗎？請說明理由，如果不公平，請你修改游戲規(guī)那么，使游戲公平?！仓貞c市中考題〕能力拓展甲，乙兩同學下棋，勝一盤得分，和一盤各得分，連下三盤，得分多者勝，那么甲取勝的概率是?！蔡懈傎愵}〕小丁，小明，小倩在一起做游戲時，需要確定做游戲的先后順序，他們約定用”剪子,布,錘子”的方式確定，那么，在一個回合中三個人都出“布”的概率是。〔海南省競賽題〕一只盒子中有紅球個，白球個，黑球個，每個球除顏色外都相同，從中任取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么，與的關(guān)系是?！采綎|省競賽題)某廣場地面鋪滿了邊長為的正六邊形地磚，現(xiàn)在向上拋擲半徑為的圓碟，圓碟落地后與地磚間的間隙不相交的概率大約是?！蔡懈傎愵}〕從分別寫有數(shù)字張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，那么所組成的數(shù)是的倍數(shù)的概率是?！踩珖踔袛?shù)學聯(lián)賽題〕甲，乙，丙，丁四位同學參加田徑運動會接力跑比賽，如果任意安排四位同學的跑步順序，那么，恰好由甲將接力棒交給乙的概率是〔)(浙江省競賽題〕把一顆六個面編號分別為質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲次，假設兩個正面朝上的編號分別為，那么二次函數(shù)的圖像與軸有兩個不同交點的概率是〔〕(全國初中數(shù)學競賽題〕長為的線段各一條，從這五條線段中任取條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為〔〕任意選擇一對有序整數(shù)，其中每一個整數(shù)的絕對值小于或等于，每一對這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的，求方程沒有異正實根的概率?！驳趯妹绹咧袛?shù)學考試題〕袋中有數(shù)字卡張，其數(shù)字分別為,假設隨機一次抽出張，求被抽出的卡的數(shù)字全是奇數(shù)的概率，〔第屆香港中學數(shù)學競賽題〕綜合創(chuàng)新如圖，將枚相同的硬幣依次放入一個的正方形格子中〔每個正方形格子只能放枚硬幣〕，求所放的枚硬幣中，任意兩個都不同行且不同列的概率?！菜拇ㄊ「傎愵}〕在一個口袋中有個小球，其中兩個是白球，其余為紅球，這些球的形狀，大小，質(zhì)地完全相同，在看不到球的條件下，從袋中隨機地取出一個