江蘇省南京市六校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一年級上冊12月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題

江蘇省南京市六校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)

合調(diào)研數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.函數(shù)/(%)=炮(％-1)+(%-2)°的定義域?yàn)?)

A.(1,+")B.(l,2)u(2,+a?)C.[1,2)u(2,+o5)

D.(~oo,2)u(2,+o))

2.已知點(diǎn)P(tanasine)是第二象限的點(diǎn)，則。的終邊位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7T

3.已知扇形的圓心角為:，其弧長為2兀，則此扇形的面積為()

A.3兀B.6兀C.9兀D.12K

11

5-設(shè)a=0.73,6=0.68,c=k>go,82，則。，4c的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

6.神舟十二號載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空，在中國空間站完成了為期三個(gè)月的

太空駐留任務(wù)，期間進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，目前已經(jīng)順利返回地球.在太空中水資源有

限，要通過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收

集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用.凈化水的過程中，每過濾一次可減

少水中雜質(zhì)20%,要使水中雜質(zhì)減少到原來的1%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2no.3010）

A.19B.20C.21D.22

7.已知暴函數(shù)y=meN*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在[0,+向上單調(diào)遞增，則

滿足（2.+1廣<（1-°廣的a的取值范圍為（）

A.（0,+oo）B.[---!）（1,+=°）C.（0,1）

D.1。o,一；（0,1）

8.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足獨(dú)龍）=/（2-x）,當(dāng)xe[0,l]時(shí)，〃x）=2x.函數(shù)

g（x）=e+T（_l<x<3）,則與g（x）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）

A.2B.4C.6D.8

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是（）

現(xiàn)37

A.log6-log4=lB.=log7C.21+1O&5=10

221%44

D.

「J.兀2

10.已知Sin[§+a=§,則正確的有（）

_V52K2

A.cos-+aB.sin--a

13一33

712sin竺+a2

C.cos~~aD.

3I33

11.若函數(shù)/（%）=lg（/+2以-a）,則下列說法正確的是（）

A.若a=0,則為偶函數(shù)B.若〃尤）的定義域?yàn)镽,則—l<a<0

C.若。=1,則的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+8）D.若在（-1,0）上單調(diào)遞

減，則aV0

12.已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)?，若存在區(qū)間使得“X）同時(shí)滿足下列條

試卷第2頁，共4頁

件:

①f(X)在［m,M］上是單調(diào)函數(shù)；②/(X)在172,可上的值域是日機(jī)3n］.

則稱區(qū)間［加,“］為函數(shù)f(x)的“倍值區(qū)間”.

下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間''的有()

A.f(x)=2x2B./(x)=g

77r

C./(x)=x+-D.=

三、單空題

13.函數(shù)y=a、"2+4(a>0且awl)的圖象必過定點(diǎn).

14.函數(shù)元的單調(diào)遞減區(qū)間是.

15.已知正數(shù)x,y滿足2x+y-肛=0,則二:「的最大值為

x+2y

16.如果函數(shù)/(x)在其定義域D內(nèi),存在實(shí)數(shù)x°wD使得/(玄+1)=/(x0)+/(l)成立，

則稱函數(shù)7'(X)為“可拆分函數(shù)”.設(shè)函數(shù)/(無)=1g號為“可拆分函數(shù)”，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是.

四、問答題

17.設(shè)集合4=｛引24-1<%<°+5,0€用，2=｛x—-2尤-8<。｝.

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，求集合AcB；

(2)若“九GA”是氣GB”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

cos產(chǎn)一夕

sin（7i+6^）-

18.已知=I2

tan（^-7i）

71

⑴化簡/(e),并求了的值;

⑵若6c"今71，且“。)=<，

2,71求cos6-sine的值.

19.已知函數(shù)〃x）=Jogslog］（9x）

⑴若〃x)=T，求實(shí)數(shù)x的值；

⑵若xeI，27,求函數(shù)的值域

五、應(yīng)用題

20.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益

與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比?已知

各投資1萬元時(shí)，兩類產(chǎn)品的年收益分別為0.25萬元和0.5萬元.

(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益與投資金額的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該家庭現(xiàn)有10萬元資金，全部用于理財(cái)投資，設(shè)投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的金額為x萬

元.如何分配資金才能使投資獲得最大年總收益？其最大年總收益是多少萬元？

六、問答題

21.已知函數(shù)=a-aeR).

(1)是否存在實(shí)數(shù)。使函數(shù)/(x)為奇函數(shù)；

⑵判斷并用定義法證明的單調(diào)性；

⑶在(1)的前提下，若對WxeR,不等式〃/(x))+/(l-租)>。恒成立，求機(jī)的取值

范圍.

22.函數(shù)廣/⑺的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使得，對一切實(shí)數(shù)無

均成立，則稱為“圓錐托底型”函數(shù).

⑴判斷函數(shù)〃尤)=3x,g(x)=V是否為“圓錐托底型，，函數(shù)？并說明理由；

⑵若=2x2+3是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值；

(3)問實(shí)數(shù)％涉滿足什么條件，/(引=丘+6是“圓錐托底型”函數(shù).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列不等式組求解即可.

【詳解】要使函數(shù)〃x)=lg(x—l)+(x—2)°有意義，貝?二；；；，解得x>l且x#2,

所以函數(shù)〃力=坨(》-1)+(》-2)°的定義域?yàn)?1,2)52,+8).

故選：B

2.B

【分析】點(diǎn)尸在第二象限，根據(jù)坐標(biāo)特征得sin。,tan。的符號，即可得6所在象限.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(tan。,sin。)在第二象限，所以sin，>0,tan0<0,所以6為第二象限角.

故選：B

3.B

【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解.

2兀,

【詳解】由弧度制定義，該扇形的半徑為7T,

3

所以該扇形的面積為［x2%x6=6兀.

2

故選：B

4.D

【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號排除即可判斷；方法二：根據(jù)函數(shù)的奇

偶性及某個(gè)函數(shù)值的符號排除即可判斷.

【詳解】方法一：因?yàn)楸P>0,gp(x+2)-(x-2)<0,所以-2Vx<2,

27_i_r

所以函數(shù)〃無)=^log4二的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對稱，

2-x

9_

又/(r)=(-Xplog4fv=-〃力，所以函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故排除B,C；

當(dāng)xe(O,2)時(shí)，1±|>1,即。4念>0,因此/(x)>0,故排除A.

故選:D.

方法二：由方法一，知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B,C；

答案第1頁，共11頁

X/(l)=1log23>0,所以排除A.

故選：D.

5.A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及塞函數(shù)的單調(diào)性比較大小得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=log°.8工在(O,+e)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=/在R上單調(diào)遞增，

■1!11

所以C=logo82<logo.81=0，0.6%>0.49%=(0.72F=0.7§〉0，即人〉〃>0，

所以Z?>a>c.

故選：A.

6.C

【分析】由條件列不等式，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)經(jīng)過〃次過濾達(dá)到要求，原來水中雜質(zhì)為1,

依題意可得1x(1—20%)“<1x1%,即0.8"〈焉，

所以lg0.8?<lg*=_2,

所以出gO8<-2,又lg0.8<0,

所以—>———=------?-----------?20.619,

必/lg0.831g2-l3x0.3010-1

因?yàn)椤╡N*,所以〃的最小值為21,故至少要過濾21次.

故選：C.

7.D

【分析】先利用題給條件求得加的值，再利用一元二次不等式解法即可求得實(shí)數(shù)“的取值

范圍.

【詳解】幕函數(shù)、=尤"+2日(根€產(chǎn))的圖象關(guān)于丫軸對稱，且在［0,+8)上單調(diào)遞增,

則-機(jī)2+2機(jī)+3eN*)為正偶數(shù)，則〃2=1,

則不等式(2a+l)f<(l-a廠"即(2。+11<(1_。廠,

整理得+

[3〃>0f3〃<0

此不等式等價(jià)于1(2a+D(a-l)<0或1(2a+l)(a-l)>0'

答案第2頁，共11頁

解之得Ovavl或a<—5.

貝I滿足(2a+lf"的a的取值范圍為0<。<1或a<.

故選：D

8.B

【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出了(X)與g@)的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得與

g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

【詳解】函數(shù)g(x)=e+T(T<x<3)的圖象有對稱軸X=l,

定義在R上的偶函數(shù)滿足/(x)=/(2-x),

則函數(shù)/'(X)有對稱軸x=0,元=1,又當(dāng)xe［0,l］時(shí)，f(x)=2x,

在同一坐標(biāo)系在(T3)內(nèi)作出與g(x)的圖象，

又了⑺與g⑺的圖象均有對稱軸x=1,

則兩函數(shù)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.

故選：B

9.BC

【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則以及換底公式、對數(shù)恒等式逐一判斷各選項(xiàng).

【詳解】對于A,log2670g24=g2=g|71,故A錯(cuò)誤；

對于B,根據(jù)換底公式譬［=1/47正確，故B正確；

log34

對于C,21+log25=2x2log25=2x5=10,故C正確；

對于D,如才=亞=4,故D錯(cuò)誤.

答案第3頁，共11頁

故選：BC.

10.BC

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.

【詳解】依題意，sin/+c]=g,所以cosg+'=±Jl_sin2)+“=土冬A選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

sinU=sin=sinf^+aUj,B選項(xiàng)正確；

I3JI3J

2

---D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

11.ABD

【分析】由函數(shù)的奇偶性判斷A,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷

CD.

【詳解】。=0時(shí)，/(x)=lgx2,定義域是{xlxwO},滿足/(-%)=/(尤)，是偶函數(shù)，A正

確；

/(無)定義域?yàn)镽時(shí)，A=4a2+4o<0,解得T<a<0,B正確；

。=1時(shí)，/(x)=lg(x2+2x-l),由爐+2彳一1>0得％<一1一血或尤>一1+0,增區(qū)間是

(―1+A/2,+oo),C錯(cuò);

/(x)在(—1,0)上單調(diào)遞減，由于y=爐+2依—。的對稱軸是尤=-a,且x=0時(shí)，

x2+2cuc-a--a,因止匕有一aNO,即aVO,D正確.

故選：ABD.

12.ABD

【分析】根據(jù)定義分別討論是否同時(shí)滿足“倍值區(qū)間”的兩個(gè)條件，即可得出結(jié)論.

【詳解】依題意，函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則滿足f(x)在上是單調(diào)函數(shù)，且

答案第4頁，共11頁

/(772)=3/77f/(m)=3ra

/(?)=3n?[f(ra)=3m

QQa

對于A,f（x）=2x2,在區(qū)間［0,5上是增函數(shù)，且值域?yàn)椋?,學(xué)，則區(qū)間［0,g是函數(shù)〃x）的

“倍值區(qū)間”，A正確；

對于B,〃x）=J在區(qū)間4,1］上是減函數(shù)，且值域?yàn)榭?刃，則區(qū)間4,1］是函數(shù)的“倍

值區(qū)間”，B正確；

對于C,〃x）在［一"0）,（0,上單調(diào)遞減，在（-oo,-四］,［五,+oo）上單調(diào)遞增，

假定函數(shù)“X）存在倍值區(qū)間［辦可，若〃可在［加，川上單調(diào)遞增，則J［，］：，

'2c

m-\——=3m

即有，2，而加-^2或^2<m<n^無解，

及+—=3及

、n

2「

m-\——=3〃

f(m)=3n

若/（X）在卜上單調(diào)遞減，則八)=3/即/,兩式相減得，〃"=g,

n+—=3m―

n

而〃切>0,則兩式相加得加=1,矛盾，“X）不存在倍值區(qū)間，C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)x>0時(shí)，"x）=-2,函數(shù)y=x+2在（o,0］上單調(diào)遞減，

X+—X

X

于是“X）在［（）,1］上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,石］,因此區(qū)間［0,6］是函數(shù)”尤）的“倍值區(qū)

間”，D正確.

故選：ABD

13.（2,5）

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)閥=，-2+4（a>0且awl）,

令x—2=0,得x=2,y=a°+4=5,

所以>=廣2+4（a>0且"1）的圖象必過定點(diǎn)（2,5）.

故答案為：（2,5）.

答案第5頁，共11頁

14.［2,4］（開閉區(qū)間均可）

【分析】求出函數(shù)的定義域，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得.

【詳角單】由4x-d20得W4,又曠=4五一/=-（尤一2）2+4在［2,+00）上遞減，）=〃在

［0,+oo）上是增函數(shù),

所以/*）的減區(qū)間是⑵4］,

故答案為：［2,4］（寫成開區(qū)間也正確）.

【分析】利用均值定理1的代換即可求得二I的最大值.

x+2y

【詳解】正數(shù)X,＞滿足2x+y-xy=0,

21

貝5|2x+y=q,故一+—=1,

yx

（當(dāng)且僅當(dāng)X=y=3時(shí)等號成立）

故—2—2則一2丁的最大值為2:

x+2y9x+2y9

7

故答案為：-

16.加

8

【分析】根據(jù)題中條件建立方程，化簡變形后可得"43，求得函數(shù)的值域即可.

m=1--------------

33-3x°+l

【詳解】根據(jù)題意可知，必有機(jī)函數(shù)”上炮三石的定義域?yàn)镽,

則在其定義域R內(nèi)存在實(shí)數(shù)為，使"%+1）=,

mmmm-mm

BP1g--；——=lg-------+lg-；——，即1g--；——=lg(------------),

3與”+13%+19+13殉”+13殉+14

8

所以3

88

又3芋+1〉1，所以0<丁一<1，所以o<J<§,則+3<4

3?3%+13333?3與+1

答案第6頁，共11頁

即加<4,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

故答案為：

17.(1)A5=(-1,4)

【分析】(1)解一元二次不等式得到集合B,再根據(jù)交集定義求得結(jié)果；

(2)根據(jù)必要關(guān)系得出集合之間的包含關(guān)系，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求得結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，集合4=何一1。<5}=(-1,5),

^B=(X|X2-2X-8<0}={X|(X+2)(X-4)<0}={X|-2<X<4}=(-2,4),

所以AB={A(-1<X<4}=(-1,4).

(2)若“xeA”是4e8”的必要條件,則5gA,

因?yàn)?={可-2<x<4},A=^x|2a—l<%<a+5,aeRj,

2?-l<-2

所以

<1+5>4

得到-l<a<-^故實(shí)數(shù)〃的取值范圍-1,-g

18.⑴”e)=sin，cos<9,0^—,k；—

24

(2)-1

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式分析運(yùn)算即可；

12

(2)由題意可得sin夕cos，=,結(jié)合同角三角關(guān)系分析求解.

【詳解】(1)由題意可得：/⑺二一'山夕…嘰而加^,9手匣，ksZ,

')tan(92

所以邛.

12

(2)因?yàn)?(e)=sine?cos。二一石,

/K?49

則(cos0-sin0^二1-2sin夕?cos0-——,

答案第7頁，共11頁

又因?yàn)閟in0-cos0<0,0E,

則sin。>0,cos。<0,可得cos。一sin6<0,

一7

所以cos夕一sine=-《.

19.(l)x=5或x=9

9

⑵[T。,/

【分析】(1)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡/(》)，利用外力=7解對數(shù)復(fù)合方程即可;

(2)令t=log3X,結(jié)合二次函數(shù)即可求出函數(shù)〃x)的值域.

【詳解乂1)〃尤)=[1083：11。a(9無)=(log3x-l)log19+log[X=(log3x-l)(-log3x-2),

因?yàn)?(尤)=-4,所以(log3%T)(-log3X-2)=-4,gp(log3x+3)(log3x-2)=0,

解得1%戶-3或log3；r=2,所以x或％=9；

(2)令"logs》,因?yàn)閤eI，27,所以

則原函數(shù)可化為>=-〃t+2,Ze[-1,3],

丫=-2_/+2=_1+工[+2在[_1,_芍單調(diào)遞增，在[二,3]單調(diào)遞減，

'(2)422

19

當(dāng)"―5時(shí)，為故="當(dāng)，=3時(shí)，ymin=T°，

9

所以函數(shù)/⑺的值域?yàn)閇-10,-].

4

20.(I)M之O,%=^4x,x>o

(2)當(dāng)投資債券金額為9萬元，投資股票金額為1萬元時(shí)，能獲得最大年總收益為?萬元.

4

【分析】(1)依題意設(shè)％=勺苫，x>0,y2=k24x,xNO,根據(jù)己知求解《生即可；

(2)根據(jù)題意列出年總收益函數(shù)，用換元法求出函數(shù)最值即可.

【詳解】(1)設(shè)投資債券等穩(wěn)健性產(chǎn)品的年收益為%,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益為為,

答案第8頁，共11頁

由題意得X=匕x,X>0,%=k2五，xNO,

因?yàn)楦魍顿Y1萬元，兩類產(chǎn)品的年收益分別為0.25萬元和0.5萬元，

所以0.25=尢，0.5=&/1,即&=：，心=；，

所以無NO,y2=^4x,x>0；

(2)因?yàn)橥顿Y債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的金額為x萬元(xe[0,10]),

則投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的金額為(10-x)萬元.

設(shè)年投資總收益為八則yf+gjlOr，xe[0/0],令f=

則x=]0_/,則?E^O?A/IOJ,

當(dāng)t=i即％=9時(shí)，y有最大值￥，

4

即當(dāng)投資債券金額為9萬元，投資股票金額為1萬元時(shí)，能獲得最大年總收益為9萬元.

21.⑴存在，時(shí)是奇函數(shù)；

⑵是R上的增函數(shù)，證明見解析；

⑶鹿！

【分析】(1)利用題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)。的值；

(2)利用增函數(shù)定義和指數(shù)累的運(yùn)算規(guī)則即可證得/'(X)為增函數(shù)；

(3)利用題給條件列出關(guān)于加的不等式，利用不等式性質(zhì)即可求得加的取值范圍.

【詳解】(1)若〃x)=a-*(aeR)是R上奇函數(shù)，

貝U〃0)=。-；=°-'-a=~>

當(dāng)時(shí)，”耳=1-1滿足了(-》)=_/(》)，則“同是奇函數(shù).

22e+1

(2)〃元)是R上的增函數(shù)，

證明如下：

設(shè)V玉,工2￡R且工1<%2，則

答案第9頁，共11頁

/(X])-/(X)=------------------=---------『-------r

l"IOJe'2+le'+l(e-^+l)(eA>+1)

由西<工2,6>1可得，0<ev,<e12,則e』-e*<0,ef+1>e"+1>0

則/(%)-/(%)<0,即/(^)</(Xz)

則/(x)是R上的增函數(shù).

(3)對VxeR,不等式/(/(力)+八1一m)>0恒成立，

即〃一㈤恒成立，

又fM是奇函數(shù)，則不等式可化為/(/(X))>/(根-1).

又