河北省石家莊第十五中學2023-2024學年高二年級上冊期中數(shù)學試題

河北省石家莊第十五中學2023-2024學年高二上學期期中

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在棱柱/8CQ-中，DC+AD+CC^（）

CCA

A?4。,ACX-CXAD.X

2.已知點Z（T4）,5（2,7）在直線/上，則直線/的傾斜角的大小為（）

5兀3兀71

A.B.D

~6T4?

3.一架飛機向目標投彈，擊毀目標的概率為0.3，目標未受損的概率為0.2,則使目標

受損但未擊毀的概率是（）

A.0.8B.0.56C.0.5D.0.06

4.如圖所示，在平行六面體48CD-481Goi中，N為4cl與的交點，M為口口

的中點，若而土，而=心AAx=c^則加=（）

1一1一1一1-11一

A.—a+—b+—cB.—a—7b+—c

222222

C.匕+與一二1一

D.——Q

222222

5.已知｛a］，，｝是空間的一個基底m=2a+3b-c,n=x（a-b\+y\b-c\+c

試卷第11頁，共33頁

若云〃力貝1Jx+y=（）

A--6B.0C.5D.6.

6.已知圓C經(jīng)過點A/（3,-5）,N（-l,3），且圓心C在直線3x+y+5=0上，若尸為圓C

上的動點，則線段OP（O為坐標原點）長度的最大值為（）

A.6+5B,2指C.10D,275+10

7.已知木盒中有圍棋棋子15枚（形狀大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），

小明有放回地從盒中取兩次，每次取出1枚棋子，則這兩枚棋子恰好不同色的概率是

（）

A.iB.1C.|D.|

9993

8?點/（2,-4）到直線/:（1-3Mx+（1-相力+4+4相=0（加為任意實數(shù)）的距離的取

值范圍是（）

A.[。，5]B,[0,275]

C.[。，4]D.[。，叵|

二、多選題

9.已知/J五是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（）

A.對于空間中的任意一個向量前，總存在實數(shù)x,yz,使得前一步+石+分

illill—ACTy/TN/V

B.若卮謁是空間的一個基底，貝市為方獲一2彳也是空間的一個基底

C若注J，3,則源

試卷第21頁，共33頁

D.若Tjj所在直線兩兩共面，則TJi共面

10.從1,2,3,…9中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和兩個都是奇數(shù)；②至少

有一個偶數(shù)和兩個都是偶數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)

和至少有一個偶數(shù).在上述事件中，是互斥事件的是（）

A.①B.②C.③D.④

H.已知直線/過點0,3），若/與X，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為s,則s的值

可以是（）

A.3B.5C.7D.9

12.如圖，在正四棱錐P-48CD中，PA=AB=26,M,N分別是尸8,尸￡）的中點，

則下列說法正確的是（）

A.B.直線和所成角的余弦值是§

C.點'到直線"N的距離是叵D.點“到平面"CN的距離是2

3

三、填空題

13.若直線（3一機）x+y+l=0與直線2x-（加-2萬+3=0垂直，則實數(shù)——?

14.在用隨機數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男

生2個女生的概率”時，可讓計算機產(chǎn)生o~9的隨機整數(shù)，并且0~4代表男生，用

5~9代表女生.因為是選出4個，所以每4個隨機數(shù)作為一組.通過模擬試驗產(chǎn)生了

20組隨機數(shù):

試卷第31頁，共33頁

6830321570566431784045237834260453460952

6837981657344725657859249768605191386754

由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為

15.在四棱柱42C7）一43CQ］中，四邊形48CD是正方形，/&=5，48=2,

ZA^AB=ZA.AD=60。，則BD｛的長為------

16.2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊

塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最

豐富，藝術(shù)性最強的一部分.唐代詩人李頑的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白

日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”，

即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使

總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是/（2,4），軍營所在位置為

8（6,2），河岸線所在直線的方程為x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到

軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為.

四、解答題

17.已知三條直線4：3x-4y+ll=0，Jx+2y-3=0和

l3：（2m+l）^-2m+3=0-

（1）若〃/，求實數(shù)機的值；

（2）若三條直線相交于一點，求實數(shù)小的值.

18.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦，為做好本次亞運會的

服務工作，從某高校選拔志愿者，現(xiàn)對該校踴躍報名的100名學生進行綜合素質(zhì)考核,

根據(jù)學生考核成績分為4民。,。四個等級，最終的考核情況如下表：

等級ABCD

人數(shù)10404010

試卷第41頁，共33頁

(1)將頻率視為概率，從報名的100名學生中隨機抽取1名，求其成績等級為c或。的

概率；

(2)已知42等級視為成績合格，從成績合格的學生中，根據(jù)考核情況利用比例分配的

分層隨機抽樣法抽取5名學生，再從這5名學生中選取2人進行座談會，求這2人中有

A等級的概率.

19.已知/(_1,1),以2,-2),。(5,1)―

(1)求點A到直線8c的距離;

⑵求A/BC的外接圓的方程.

20.如圖，在直三棱柱48c一44G中，BA工BC，BA=BC=BB、=2,。，E,尸分

別為441，Bg，48的中點?

⑴證明：EF//平面NCG4；

(2)求直線CE與平面DEF所成角的正弦值.

21.一題多解是由多種途徑獲得同一數(shù)學問題的最終結(jié)論，一題多解不但達到了解題

的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛.學生多角度、

多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題

思維模式，使得枯燥的數(shù)學解題更加豐富而多彩.假設某題共存在4種常規(guī)解法，已

知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為g,且各種方法能否答對互

試卷第51頁，共33頁

不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為二.

⑴求P的值；

(2)求小紅不能正確解答本題的概率；

(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率.

22.圖，在三棱臺/8C匣中，是等邊三角形，48=244=4,CG=2，側(cè)

棱Cq_L平面4BC，點D是棱48的中點，點E是棱58］上的動點(不含端點？)?

⑴證明:平面

平面

DCC/

(2)求平面

ABE與平面

ACE的夾角的余弦值的最小值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)向量的加法運算法則直接計算.

【詳解】DC+AD+CC^AD+DC+CC^AC^

故選：B.

2.C

【分析】利用傾斜角和斜率之間的關系計算即可求得傾斜角的大小為土

4

【詳解】直線/的斜率為左=士工=1,

2-（-0

設直線/的傾斜角為C，貝1

因為兀），所以

4

故選：C.

3.C

【分析】利用互斥事件與對立事件的概率公式計算即可.

【詳解】依題意，目標受損但未擊毀的概率是i_0.3_0.2=0.5?

故選：C

4.B

【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.

【詳解】因為N為4G與耳A的交點，

____.1.1.1.1_.1_1_

所以D|N=—A4+—AG=-―AD+-AB=b+-a，

12112112222

^MN=IlN-iyM=IlN--Dl)=-]-b+-a-\--c\=-a--b+-c

111212212^222

故選：B.

答案第11頁，共22頁

5.D

【分析】利用空間向量基底的概念及共線定理計算即可.

【詳解】易知幾=(x+4)Q+(y-x)B+(_y+4)C，

因為浣//，所以存在實數(shù)％，使得［=4浣，

所以(x+4)a+(>-x)B+(-y+4)。=“(2"+33-c)

x+4=24A=2x+y=6

所以y-x=3A=<元=0,所以

_y+4=—4y=6

故選：D.

6.A

【分析】求出圓心和半徑，根據(jù)［0尸］胸=|℃|+「即可得答案.

【詳解】解：線段”N中點的坐標為(1,7),3,=之91=_2

—1—3

所以線段卬的中垂線的斜率為八;

所以線段的中垂線的方程為x-2y-3=0,

又圓心在直線3x+y+5=0上，

由[x-2y-3=0,解得]x=T,

[3x+y+5=0[y=-2

所以圓心為(-1，-2)/=7(3+1)2+(-5+2)2=5,.

答案第21頁，共22頁

所以|0尸|=|OC|+r=5+V5-

IImaxII

故選：A.

7.A

【分析】根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得.

【詳解】從盒中隨機取出1枚棋子，“是黑棋子”記為事件人，“是白棋子”記為事件5，

則尸.)=|，P⑻=；,

兩枚棋子恰好不同色包含：

第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，這兩個

事件是互斥事件.

第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互獨立，概率為尸(/8)=尸(/)?尸(8)=手

第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互獨立，概率為尸(血)=尸").尸(/)=/.

4

所以這兩枚棋子恰好不同色的概率是P(/B)+尸(9)=；

故選：A.

8.B

【分析】由題意可知直線/恒過點8(4,-8)，由此可知A到直線/的最遠距離為以刈，最短

答案第31頁，共22頁

距離為0,即可得答案.

【詳解】解：將直線方程(1-3切)％+(1-祖)y+4+4加=0變形為

(x+y+4)+(―3x—y+4)加=0'

由]x+y+4=0,解得"4,

[-3%-^+4=0[y=-8

由此可得直線/恒過點5(4,-8)，

所以A到直線/的最遠距離為1N可,此時直線/垂直于48,

A到直線/的最短距離為0,此時直線/經(jīng)過點A.

又|/司=J(2-4'+(-4+8)2=2M,

所以人到直線’的距離的取值范圍是10,20].

故選：B.

9.ACD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理分別判斷.

【詳解】由空間向量基本定理.可知只有當工不共面時.2才能作為基底,

才能得到云=J+yJ+Z元，故A錯誤：

答案第41頁，共22頁

若何可是空間的一個基底，則中不不共面.*3/也不共面，

所以卜T/齊及k-2i｝也是空間的一個基底，故B正確；

若7，尸7,則在不一定平行，故C錯誤；

若宗]左所在直線兩兩共面，則7J彳不一定共面，故D錯誤.

故選：ACD.

10.AC

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，從1,2,3,…，9中任取兩數(shù)，其中可能的情況有“兩個奇數(shù)”“兩

個偶數(shù)”“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”三種情況.依次分析所給的4個事件可得，①恰有一個

偶數(shù)和兩個都是奇數(shù)，不能同時發(fā)生，是互斥事件；

②至少有一個偶數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，與兩個都是偶

數(shù)不是互斥事件；

③至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，和“兩個都是

偶數(shù)”不能同時發(fā)生，是互斥事件；

④至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，至少有一個偶

數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，不是互斥事件.

故選:AC.

11.CD

【分析】利用直線的截距式，結(jié)合基本不等式可得解.

【詳解】由題意知直線/在x，y軸上的截距存在且大于0,

可設的方程為±+[=1(,),

ab

由直線,過點得L3=i,

ab

答案第51頁，共22頁

所以1」+八2巨，當且僅當即"2,8=6時，等號成立，

ab\ab"b

即“612,所以s=%26,

2

故選：CD.

12.ABC

【分析】連接80,利用中位線、正四棱錐的性質(zhì)判斷A；過c作CG//8ZT交43延長線

于G，若F為CG中點，連接〃F,4F，先證MNCF為平行四邊形，由異面直線定義確定

直線和CN所成角的平面角，再求其余弦值判斷B;A/BN中求各邊長，余弦定理求

cosZBAN，進而求點8到直線4N的距離判斷C；證面/EC,等體積法有

囁…c=九一皿+右一皿求點面距離判斷口―

【詳解】A：連接30,M,N分別為PB,PZ）的中點，即為中位線，則KV//8。，

由尸-/BCD為正四棱錐，故/BCD為正方形，則m_L/L所以對；

B：過C作CG//3D,交48延長線于G，若尸為CG中點，連接及4,4F，

又CD〃AB,艮產(chǎn)〃叱則8G。為平行四邊形，故皿CF//BD,

22

EMNIIBD口…..MN//CFMN=CF刖MNCF過

而且MN=-BD,故且n，即為平行四邊形，

2

所以CNI〔MF且CN=MF1故直線％"和CN所成角，即為44斯或其補角，

4=45=2行及正四棱錐的性質(zhì)知：側(cè)面為等邊三角形，底面為正方形，且棱長均為2亞，

答案第61頁，共22頁

所以3=CN="尸=&，414c2+貨=，2加+”=2生，

方從聲弋故直線%3所成角的余弦值4對;

2

c："BN中AN=瓜AB=2也，又pDrBTBWD，貝/a+9=5,

2

所以PD_LP8，則BN=，尸2?+PN。=M'

所以cos㈤N=8+.10立,故sin?N=叵，

2x2j2xj666

所以點B到直線的距離是N8sin4NN=巫，對；

3

D：由上分析知：MN=-BD=2,若。為底面中心，則。為'。中點，PD=PB,

2

連接P0，交MV為E，則P0_L8D，則PO_LMV，

又MN1AC,尸。n/C=O，PO,/Cu面尸ZC，

所以面尸，即腦。面易知：

W4C/EC,VM_ANC=VU_AEC+VN_AEC^

令M到平面ACN的距離為h，貝H〃1-S“NC'J1W-S“EC，

3AZ17W3△/IJCV

答案第71頁，共22頁

由/N=NC=V^,/C=4，貝1JA/NC中/C上的高為血，故S/NC=2加，

由"E=EC,OE=LPO=4PB2-OB2=1,貝!|S"c=2,

22

所以〃=也，錯，

故選：ABC

13.-/2-

33

【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，解方程即可.

【詳解】因為直線（3-??）x+y+l=0與直線2x-（/M-2）y+3=0垂直，

所以2（3-加）-（加-2）=0,解得以=|,

故答案為：

14.I/0-5

2

【分析】根據(jù)題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】在20組數(shù)中，6830,7840,7834,5346,0952,5734,4725,5924,6051,9138

滿足要求，共10個，由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為g.

故答案為：!

6V33

【分析】由題意先將兩分解成五彳，加，刀的線性組合，結(jié)合已知條件以及模長公式即可

答案第81頁，共22頁

求解.

【詳解】如圖所示:

由題意知西=西一方=怒+而一方，

所以

------?2/------?------?-----?\-2

BD、=^AA{+AD-ABJ

-------?2?2?2??????

=AA1+AD+AB+2AA、?AD—2AD?AB—2AA、?AB

=52+22+22+2x2x5xl-2x2x5x-=33，

22

所以I的卜屈，即明的長為回

故答案為：^^33,

1311

16.

【分析】結(jié)合兩點間線段最短，只需求其中一個點關于直線的對稱點，再求對稱點與另一

點的距離即可.

【詳解】

答案第91頁，共22頁

由題可知48在x+y—3=o的同側(cè),

設點B關于直線x+y-3=0的對稱點為B'(a,b),

工互3=0a=l,B'(l,-3)

b.,即

則,：、2，解得

【a-6''

將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為/"，又4(2,4)，

所以直線/夕的方程為7x-y-10=0，

設將軍在河邊飲馬的地點為

Z7

貝即為7x—y—10=0與x+>—3=0的交點，

(lx-y-W=013

h+y-3=o,解得<x=一

8

11

y=—

1311

所以以

1311

故答案為:

17.(1)3

2

⑵§

【分析】(1)由兩條直線平行的條件求解即可;

(2)先由兩條確定的直線求出交點坐標，然后帶入含參直線求解即可.

答案第101頁，共22頁

【詳解]（1）因為+1]=0，/3：（2m—3）x—（m+l）y—2m+3=0///3,

所以3x[_（加+1）]=-4x（2冽-3）解得加=3.經(jīng)檢驗,冽=3時,IJH3-

（2）由產(chǎn)-勺+11=0,解得尸=-1即4與，2的交點為M21,

[x+2y-3=01）=2

因為三條直線相交于一點，所以點削2。在％上，

所以（2"-3）（-1）-（m+1）2-2優(yōu)+3=0,解得/」

3

1

18.（1）2

（2）|

【分析】（1）根據(jù)等可能事件概率計算公式求解即可；（2）取的5名學生中成績?yōu)?2

等級的人數(shù)分別為1,4,從這5名學生中選取2人，列舉出所有結(jié)果，根據(jù)古典概型概率

計算公式計算即可.

【詳解】（1）由題知，任意抽取1人，抽到的學生成績等級為0或。的概率為端苫=；.

（2）由題知，抽取的5名學生中成績?yōu)?5等級的人數(shù)分別為1,4,

記這5人分別為A,與，鳥，鳥,以，從中抽取2人的樣本空間為

｛（4片）,（482），（4層），（454）,（4，鳥）,（烏，團,（綜為），但，員），（82,8）（居應）｝，

共10個樣本點，其中有A等級的樣本點有（/心）,（4修）,（44）,（44），共4個，

答案第111頁，共22頁

所以這2人中有A等級的概率為2=2

19.⑴3亞

（2）x2+v2-4x-2j-4=0

【分析】（1）利用直線的兩點式求得直線8C的方程為》->-4=0,由點到直線距離公式

即可求出結(jié)果；

（2）設△48c的外接圓的方程為/+/+DX+/+尸=o,代入坐標聯(lián)立解方程組即可求得

結(jié)果.

【詳解】⑴直線的方程為=

1-(-2)5-2

化簡可得x-y-4=0，

所以點人到直線的距離"=廿旦=_鼠=3及?

#+(-1)2亞

(2)設48C的外接圓的方程為—+y2+Dx+Ey+F=0>

將4及C的坐標代入，得

’(-以+儼一。+E+尸=0,f-D+E+F^-2

-22+(-2)2+2D-2E+F=0,即<2D-2E+P=-8

52+l2+5￡>+￡1+F=0[5D+E+F=-26

D=-4

解得<E=_2；

故所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-4=0-

答案第121頁，共22頁

20.(1)證明見解析

(2)由1

11

【分析】(1)取ZC的中點G,連接尸G,GG，利用線線平行證明線面平行;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求線面夾角正弦值.

【詳解】(1)證明：取NC的中點G，連接尸G,GCj

因為尸，G分別為/B，/c的中點，

所以FG〃BC,FG，BC,

2

又￡為BtC,的中點，BCHB\C\，BC=Bg，

所以FG〃EG，F(xiàn)G=EC,>

所以四邊形EFGG是平行四邊形，

所以EF//GG，

又EFB平面ACC,A,>GC,<=平面ACQA,>

所以廝//平面NCG4-

(2)

答案第131頁，共22頁

解：在直三棱柱ABC由14。1中，3311,平面ABC，

又A4u平面/2C，8Cu平面4BC，

所以BB}1BC<又BALBC，

故以8為原點，BA,BC，8與所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,

則。（0,2,0），￡＞（2,0,1）-￡（0,1,2）'產(chǎn)（1,0,0），

所以厚=（一1,1,2），麗=0,0,1），CE=（O,-l,2）'

設平面DM的法向量為蔡=（x,y,z），

m-FE=-x+y+2z^0X=1>=3z=-l

則m-Fl5=x+z=0令得

所以平面DE1廠的一個法向量為京=0,3,_1），

CEDEF6____\^.CE\|_5|屈

設直線與平面所成的角為，則sin8=1cos（加,CE）=一|昌二得―=

、71\m\\CE\VHxV5H

即直線C"與平面"跖所成的角的正弦值為運.

11

21.（1）;7=-；

3

（2）1；

6

1

答案第141頁，共22頁

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的概率公式計算得解.

(2)利用對立事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.

(3)利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.

【詳解】(1)記小紅使用解法一、二、三、四答對分別為事件D,E,F,G，則

P(D)=P(E)=P,P(F)=：,P(G)=；,

因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為

于是P(DEFG)=P(D)P(E)P(F)P(G)=gp2=g，解得,

o/2J

所以p=;.

(2)若小紅不能正確解答本題，則說明小紅任何方法都不會，

所以小紅不能正確解答本題的概率是“--￡|x1i-￡|=g

(3)記事件"為小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對，

則尸(H)=P^DEFG^+P^DEFG^+P^DEFG^+P@EFG)

所以小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率為:.

22.⑴證明見解析

1

⑵7

答案第151頁，共22頁

【分析】（1）先分別證明CC|_LN8、CDAB,由此即可證明N8/平面DCQ，從而由

面面垂直的判定定理即可得證.

（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，設面=/函（％e（0,1）分別求出求平面/BE與平面

ACEA

?l，n

的法向量2（含有參數(shù)），由公式即可表示出cosO=|cos5i，%

可以看成是關于2的函數(shù)），從而將問題轉(zhuǎn)換為了求函數(shù)的最小值，從而即可求解.

【詳解】（1）因為一8C是等邊三角形，點。是棱的中點，

所以，

又Cq_L平面/8C，43u平面48C，

所以CC]_