2023年上海市金山區(qū)初三3月線下中考一模數(shù)學試卷含詳解

5上海市金山區(qū)2023屆初三一模數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分,共24分)

1.下列丫關(guān)于X的函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是()

2

A.y=2x+lB.y=-C?y=3χ2+1D.y=Jχ2+]

X

2,下列各組中四條線段成比例的是（）

A.Icm>2cm>3cm>4cmB.2cm、3cm、4cm、5cm

C.3cm、4cm、6cm、9cmD.2cm、3cm、4cm、6cm

3.在RtZvlBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,tanB=()

434

A.-B.-cD.

54?13

4.在AABC中，點D、E分別在邊AB、AC±,如果AD=2,BD=4,那么由下列條件能夠判斷DE〃BC的是

DEAEDEI

B.??D.

BC3AC3BC2

5.已知α,b-C是非零問量，下列條件中不能判定〃的是（）

CI

A.a"c，b"cB-a-3bC.∣α∣=∣〃∣D?〃='b=-2c

6.如圖，己知拋物線丁=0￥2+陵+?。。0）與工軸交于4、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸直線X=I與X軸交

于點。，若Q4v8,那么下列判斷正確的是（）

B.a-b+c>0C.2a+h+c<0D.9Q+3Z?+CVO

二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）

「」a4r`a-b

7已知一二一，則「一二__________.

b3b

8.己知/（x）=χ2-2x+3,那么/（2）=.

9.己知α是銳角，且CoSa=注，那么α=

2

10.將拋物線y=2（x+4>向右平移3個單位，得到新拋物線的表達式是.

11.拋物線y=6+2）f—3x—l有最高點，那么我取值范圍是.

12.如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部8的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一

個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且BP>AP,那么底部B到球體P之間的距離是米（結(jié)果保

留根號）

TA~F

p^468米

13.某商場營業(yè)廳自動扶梯的示意圖如圖所示，自動扶梯AB坡度i=l：G，自動扶梯AB的長度為12米，那么

大廳兩層之間的高度BC=米.

3

14.如圖，在RfAABC中，NACB=90°,CD±AB,IanZDCB=-,AC=12,則BC=—.

4

15.如圖，AB與CO相交于點E,AC//BD,聯(lián)結(jié)BC,若AE=2,8E=3,設(shè)AC=a，ED=b，那么BC

（用含。、匕的式子表示）

16.如圖，在平行四邊形ABCD中，尸是邊AO上的一點，射線CF■和54的延長線交于點E,如果

CAEAF'CZkCDF=1：2,那么S△以廣：S四邊形4CF=

E

17.我們把將一個三角形面積分為相等的兩個部分的直線稱為美麗線.如圖，在Rt4ABC中，NACB=90。，直線

DE是RtZ?A3C的一條美麗線，直線。石分別交邊A3、BC于點O、E.交AC延長線于點尸，當

r>E_LAB,BZ)=2A。時，那么CoSE的值為.

18.如圖，一ABC為等腰直角三角形，ZA=90o,AB=6,G為一ABC的重心，E為線段AB上任意一動點，以

CE為斜邊作等腰RtZ?CZ)E(點。在直線BC的上方)，G?為RtACDE的重心，設(shè)G、G?兩點的距離為"，那

么在點E運動過程中d的取值范圍是

三、解答題（本大題共7題，共10+10+10+10+12+12+14=78分）

4笆4sin245o-tan450.

1o9.計算：----------------+2cot30?sin60.

2cos60°

20.如圖，已知拋物線y=4(x-2)2-4(a≠0)與X軸交于原點O與點A,頂點為點8.

(1)求拋物線的表達式以及點A的坐標；

(2)已知點P(2,m)(加>0),若.√?5的面積為6,求點P的坐標.

21.如圖，已知在四邊形ABCZ)中，AT>〃8C,NA=90。,A。=2,BC=6,8。是對角線，BDlDC.

AD

(1)求證：ΛABD^ΛDCBi

(2)求C。的長.

22.如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點E處用高1.5m的測角儀OE測得頂部A的仰

角為31°,然后沿EB方向向前走3m到達點G處，在點G處用高1.5m的測角儀FG測得頂部4的仰角為

42°.求涼亭AB的高度(A8DEL5E,EGLBE,結(jié)果精確到().lm).

(參考數(shù)據(jù)：sin31o=?0?52,∞s31o=?0.86,tan31o≈0.60,sin42o≈0.67,COS42o≈0.74,tan42o≈0.90)

23.如圖，已知菱形ABcD中，點E在邊CB延長線上，聯(lián)結(jié)。E交邊AB于點F，聯(lián)結(jié)AE,過點F作FG〃BE

交AE于點G.

(1)求證：FG=BF;

(2)聯(lián)結(jié)AC交OE于點O,聯(lián)結(jié)30,當NR9B=ND4O時，求證：DO2=ABGF.

24.己知拋物線y=OX?+法―3經(jīng)過點A(1,O),5(-2,-3),頂點為點P,與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的表達式以及頂點P的坐標；

(2)將拋物線向上平移，"(機＞0)個單位后，點A的對應(yīng)點為點M,若此時AC,求機的值；

(3)設(shè)點。在拋物線y=αχ2+bx-3上，且點。在直線JBC上方，當NO6C=N84C時，求點。的坐標.

25.已知平行四邊形ABC。中，AB=3J5,tanNABC=2,BC=5,點P是對角線5。上一動點，作

ZEPD=ZABC,射線PE交射線84于點E,聯(lián)結(jié)AP.

圖2瞽用圖

(1)如圖1,當點E與點A重合時，證明：AABPSBCD；

（2）如圖2,點E在區(qū)4的延長線上，當EP=AZ）時，求AE的長;

（3）當VAPE是以AP為底等腰三角形時，求AE的長.

5上海市金山區(qū)2023屆初三一模數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分）

1.下列丫關(guān)于X的函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

2____

A.y—2x+1B.y——C.y—3x?+]D.y-Jf+]

X

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷解答即可.

【詳解】?.?y=2χ+ι中X的指數(shù)是I,

.?.y=2x+l是一次函數(shù)，

.?.A選項不符合題意；

2

=一中X的指數(shù)是-1,

X

2

.?.y=一是反比例函數(shù)，

X

.?.B選項不符合題意；

?.?y=3f+l中X的指數(shù)是2,且3/+1是整式，

y=3f+i是二次函數(shù)，

??.C選項符合題意；

,?,y=Jχ2+l不是二次函數(shù),

.?.D選項不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義，從指數(shù)，表達式的整式性兩個角度思考是解題的關(guān)

鍵.

2.下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.ICm、2cm、3cm、4cmB.2cm、3cm、4cm、5cm

C.3cm、4cm、6cm、9cmD.2cm、3cm、4cm、6cm

【答案】D

【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案.

【詳解】解：AsVl×4≠2×3,

四條線段不成比例，不符合題意；

B、?.?2x5w3x4,

.?.四條線段不成比例，不符合題意；

C.V3×9≠4×6.

二四條線段成比例，不符合題意；

D、V2×6=3×4,

.?.四條線段成比例，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘,

另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷.

3.Rt"BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,tanB=()

4334

A.—B.—C.-D.一

5453

【答案】B

【分析】根據(jù)題意及三角函數(shù)直接進行求解即可.

【詳解】解：如圖，由題意得：

???tan5=處色

BC4

故選B.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握求一個角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

4.在AABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD=2,BD=4,那么由下列條件能夠判斷DE〃BC的是

)

DE?CAE1DE1

A.—^=一B.-----C.-----——D.——

AC2BC3AC3BC2

【答案】C

【分析】先求出比例式，再根據(jù)相似三角形的判定得出aADEs∕?ABC,根據(jù)相似推出∕ADE=∕B,根據(jù)平行線的

判定得出即可.

【詳解】只有選項C正確，理由:

如圖:

AE1

VAD=2,BD=4,—=-

AC3

.ADAEl

^,AB^AC^3'

VZDAE=ZBAC,

ΛΔADE<^ΔABC,

ΛZADE=ZB,

.?DE〃BC,

根據(jù)選項A、B、D的條件都不能推出DE〃BC,

故選C.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用定理進行推理是解

此題的關(guān)鍵.

5.己知力,b，e是非零問量，下列條件中不能判定口〃b的是（）

a//c>h//cB-a-2>bC.∣a∣=∣b?D.a=-c,b=-2c

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的定義與性質(zhì)逐一判斷即可得出答案.

【詳解】解:alIc,b//c<

alIb>

故A選項能判定alIb

67=3/7，

?'?aIIb>

故B選項能判定ɑ//；

?a?=?h?,不能判斷i與〃方向是否相同，

故C選項不能判定α///,；

1

α=5。，b=-2c，

1,

??6Z——b，

4

???///?>

故D選項能判定al/b

故正確答案為：C.

【點睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，已知拋物線y=0r2+bx+c（α≠O）與X軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,對稱軸直線x=l與X軸交

于點。，若。4<8,那么下列判斷正確的是（）

Jv

A.a+b+c<QB.a-b+c>OC.2a+b+c<0D.9a+3b+c<0

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、由圖可知：當x=l時，y=a+b+c>O,選項錯誤，不符合題意；

B、由圖可知：OD=I,

'：OA<OD,

：.OA<1,

???點A的橫坐標大于-I,

?.?χ<ι時，y隨X的增大而增大，

...當尤=一1時的函數(shù)值小于點A的縱坐標O,

即：a-b+c<O,選項錯誤，不符合題意；

b

c、?.?拋物線的對稱軸為X=-——=1,

2a

h=-2a,即：2a+b=0,

由圖可知，當無=O時，y=c>0,

2a+b+c=c>Q<選項錯誤，不符合題意；

D、?.?0<OA<1,00=1,

.,.1<AD<2,

?.?AB關(guān)于對稱軸對稱，

???l<BD<2,即8點的橫坐標在x=2和x=3之間，

?.?χ>ι時，y隨X的增大而減小，

.?.當X=3時的函數(shù)值小于點5的縱坐標0,

即：9a+3b+c<0,選項正確，符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象，判斷式子的符號.熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）

,.a4,a-h

7.已δ知:=4，則rl-^=_________.

b3b

【答案M

3

【分析】將學變形為代入條件即可求值.

bbb

a—b_a?_4?

【詳解】

~b~~~b~b~3~

3

故答案為：一

3

【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)式子的特征適當?shù)淖冃?，再采用整體代入是解題的關(guān)鍵.

8.己知/(x)=χ2-2χ+3,那么/(2)=.

【答案】3

【分析】根據(jù)把自變量的值代入函數(shù)解析式，可得相應(yīng)的函數(shù)值.

【詳解】解：/(2)=22-2x2+3=4-4+3=3.

故答案為：3

【點睛】本題考查了函數(shù)值，把自變量的值代入函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

9.己知。銳角，且COSa=注，那么α=.

2

【答案】45°##45度

【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可.

【詳解】=Cosa=也，

2

Λα=45o.

故答案為：45°.

【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

10.將拋物線y=2(x+4)2向右平移3個單位，得到新拋物線的表達式是.

【答案】y=2(x+l>

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答.

【詳解】解：二次函數(shù)y=2(x+4>的圖象向右平移3個單位，

得：y=2(x+4-3>=2(X+1)2,

故答案為：y=2(x+l>.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)

解析式.

11.拋物線y=∕+2)f-3x-l有最高點，那么左的取值范圍是.

【答案】k<-2

【分析】根據(jù)題意可知女+2<0,解不等式即可求解.

【詳解】解：Y拋物線y=(女+2)/一3x—l有最高點，

k+2<O,

解得：k<-2,

故答案為：k<-2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖4到地面底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一

個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且BP>AP,那么底部3到球體P之間的距離是米（結(jié)果保

留根號）

B

【答案】(234√5-234)

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣

的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比.

【詳解】解：：點P是線段AB上的一個黃金分割點，且AB=468米，BP>AP,

.?.BP??JL∑1×468?(234√5-234)X.

2

故答案為:(234√5-234).

【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

13.某商場營業(yè)廳自動扶梯的示意圖如圖所示，自動扶梯AB坡度i=l:JJ，自動扶梯AB的長度為12米，那么

大廳兩層之間的高度BC=米.

【答案】6

【分析】如圖，由坡度易得BC與AC的比為1：百，設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，利用勾股定理可得BC的長度.

【詳解】解：設(shè)大廳兩層之間的高度BC為X米，

如圖，在RtZXABC中，NC=90°,坡度：i=l：G，AB=?2,

：.BC與AC的比為1：百，

BC=X,Ae=百尤，

BC2+AC2=AB2,

ΛX2+（√3X）2=122,

解得：x∣=6,x2=-6（負值不符合題意，舍去）,

.?.大廳兩層之間的高度BC為6米.

故答案為：6.

【點睛】本題考查解直角三角形及勾股定理.理解坡度意義是解題的關(guān)鍵.

3

14.如圖，在RfAABC中，ZACB=90o,CD上AB,IanZDCB=-,AC=12,則BC=.

【答案】9

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等得到/BCD=/A,根據(jù)正切的定義計算即可

【詳解】解：：NAC8=90。，

ZA+ZB=90o,

?：CDlAB,

：.ZBCD+ZB=90o,

ΛZBCD=ZA,

在MZ?ACB中，

3BC

??tanA=tanZBCD=-=——，

4AC

33

...BC=-AC=-XI2=9.

44

故答案為：9.

【點睛】本題考查了解直角三角形：掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，AB與CO相交于點區(qū)AC//BD,聯(lián)結(jié)BC,若AE=2,8E=3,設(shè)AC=a，ED=b，那么BC=

（用含〃、匕的式子表示）

23

【分析】由平行線截線段成比例和平面向量的角形法則解答，先求出。E、EC，然后表示出。C，再求出80,然

后根據(jù)BC=BD+DC即可求解.

【詳解】解：???ac"8r>,

.ECACAE_2

"~ED~~BD~~EB^1>

?：ED=b'AC^d

2?3

.?.EC=——b,BD=--a

32

25

.?.DC=DE+EC=-b——b^--b

33

35

.?.BC=BD+DC=--a--b

23

3-5?

故答案為：—a—b

23

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和平面向量，需要掌握平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則.

16.如圖，在平行四邊形ABCO中，F(xiàn)是邊AO上的一點，射線C/和84的延長線交于點E,如果

：

CFC&CDF=1：2，那么SdEAF.MIl邊形ABCF------------.

CFAF1AF1

【分析】在平行四邊形ABCO中，根據(jù)A8〃8,得出E4ES..CD尸，根據(jù)尸_=彳，得出=

CCDF，Dk2

Sfλf11

證明EAFs.EBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到廠城=G即可得到S:S=-.

3EBCVΛEAFMABCF8

【詳解】解：?；四邊形ABC。是平行四邊形,

ΛAD=BC,AF//BC,AE//CD,

.?..EAFsCDF,

??C.EAF=I

f

?JC.CDF~J2

AF1

?■?-=,

DF2

AFl

???=一,

BC3

：AF//BC,

.?.,EAF'sEBC,

.f1Tj

,

SEBC[BC)l?j9

??SAEAF:^WiJlHfABCF=?，

故答案為：

8

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

17.我們把將一個三角形面積分為相等的兩個部分的直線稱為美麗線.如圖，在RtZ?A8C中，NAC8=90。，直線

DE是RtZXABC的一條美麗線，直線。E分別交邊AB、BC于點、D、E.交AC延長線于點F，當

DE±AB,BD=2AD時，那么CoSF的值為.

【答案】述

3

【分析】連接AE,根據(jù)新定義得出SACE=7SABE，設(shè)。石=原則跖=3c,根據(jù)CoSB=H=-?得出

ACE3abeBEAB

CT=2d2＞繼而得出g=0,即可求得CoSB="=迪，進而根據(jù)等角的余角相等，得出々=々，即可

d3d3

求解.

【詳解】解：連接AE,

B.

A

依題意，在RtA4BC中，ZACB=90°,直線OE是RtZ?ABC的一條美麗線,

?*?SBDE=S四邊形ACEO

；DE1AB,BD=2AD

.?-AD×DE+-×AC×CE=-DE×BD

222

設(shè)Ao=α,DE=b,則3O=24,.

-×2a×b=-ab+SACE

22

?q

??DACE--ab-Sade,

=§SABQ

,?SACE

設(shè)CE=d,則BE=3d,

.*.BC=4t∕,

..BDBC

?cosnB=----=-----

BEAB

2aAd

即——二

3d

?a2=2d2，

'.'a>0,d>O

巴=母

d

.?s5=朋=逑

3d3

VZACB=90o,DE±AB,

：.ZB+NBAC=ZF+ZFAD=90°

；?ZB=ZF,

二CosF=CosB=迪

3

2√2

故答案為:

3

【點睛】本題考查了余弦的定義，根據(jù)新定義得出SACE=gs

是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，-45C為等腰直角三角形，ZA=90o,AB=6,G為一ABC的重心，E為線段AB上任意一動點，以

CE為斜邊作等腰Rt（點。在直線BC的上方），5為RtACDE的重心，設(shè)G2兩點的距離為“，那

么在點E運動過程中d的取值范圍是.

【答案】o<d<√Γδ

【分析】當點E與點B重合時，d=0,當點E與點A重合時，d的值最大，利用重心的性質(zhì)以及勾股定理求得

CG1=2√5,CG2=√K）,證明ACGQZSABCA,推出ACG02是等腰直角三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：當點E與點8重合時，d=0,

當點E與點A重合時,d的值最大，如圖，點FH分別為3C、AC的中點，

：ABC為等腰直角三角形，NA=90。，AB=6,G為-ABC重心，

二AF=BF=FC=LBC=L=3亞,

22

22

ΛGlF=∣AF=√2,CG1=y]CF+G1F=2√5,

同理OH=A"=HC=LAC=LAB=3,

22

22

：.G2H=^DH=?,CG2=y∣CH+G2H=√10,

AC6√2CG2_√10√2CG,AC

NBAC=NGCG2=45°-即瓦=法

5C^6√2^V'CG12√5^2

.?.ΛCGiG2^ΛBCA,

:.ACaGz是等腰直角三角形，

AG1G2=CG2=TlO,

???0<J≤√10.

故答案為：o≤d≤√IU.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

三、解答題(本大題共7題，共10+10+10+10+12+12+14=78分)

、」E4sin245o-tan45oCCCo..

19.計算：------------------+2cot30o?sιn6z0λ°o.

2cos60°

【答案】4

【分析】先將特殊角的三角函數(shù)值代入，再進行二次根式的計算即可.

4?in245o-tan45o

【詳解】-Sm、_+2Cot30。?sin60。

2cos60°

2

4×-1

?n+2x^xτ

2

4×?-l

-?÷3

1

=1+3

=4.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及二次根式的混合運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知拋物線y=α(x-2)2-4(α≠0)與X軸交于原點。與點A,頂點為點艮

(1)求拋物線的表達式以及點A的坐標;

(2)已知點P(2,m)(〃?>0),若,/AB的面積為6,求點P的坐標.

【答案】(1)y=x2-4x,A(4,())

(2)P(2,2)

【分析】(1)將原點代入解析式求出”即可求出表達式，并令N=O求出點A坐標;

(2)先求出頂點B的坐標，表示出3P，根據(jù)三角形面積公式列出等式，解得m即可.

【小問1詳解】

解：：拋物線經(jīng)過坐標原點。，代入得4。-4=0,

解得Q=I,

二拋物線解析式為>=Y-4x,

???拋物線與X軸正半軸交于點A,

?3-4x=0,

解得占=0(舍去)，々=4,

.?.點44,0）；

【小問2詳解】

設(shè)依與。4交于點”,

.?.頂點8（2,-4）,

?.?P（2,m）,

BP=4+AH=2,

SAPAB=6,

即,?（4+m）?2=6,

2

解得M=2,

.?.點P（2,2）.

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì).

21.如圖，已知在四邊形ABC。中，A0〃BC,NA=9O°,AO=2,3C=6,8。是對角線，BDlDC.

（1）求證：AABDSADCB;

（2）求Co的長.

【答案】（1）見解析（2）2指

【分析】（1）由題意易知NA=NBDC=90°,由AT>/3C,可知NAQB=NOBC,即可證明結(jié)論；

（2）由AABD^ADCB,可列比例式器=筆，即BO?=BC?AD,進而求得BD=2超,再由勾股定理即

可C。的長度.

【小問1詳解】

解：VBD±DC,ZA=90o,

ZA=NBDC=90°,

'：AD∕/BC,

：.ZADB=/DBC,

...ΛAB*4DCB:

【小問2詳解】

,.?ΛABD^ΛDCB

.BCBD

/.---=----，

BDAD

即必=BCAD,

VAD=2,BC=6,

.?.BD=2√3(負值舍去)，

在RIBCD中,^BDC=90o.

.??BD2+CD2=BC2,

CD=2√6.

【點睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，掌握證明兩個三角形相似的方法是解決問題的關(guān)鍵.

22.如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點E處用高1.5m的測角儀。石測得頂部4的仰

角為31°,然后沿EB方向向前走3m到達點G處，在點G處用高1.5m的測角儀FG測得頂部A的仰角為

42°.求涼亭AB的高度(ABLBgDELBgEGLBE,結(jié)果精確到0.1m).

(參考數(shù)據(jù)：sin31o≈0.52,∞s31o≈0.86,tan31o≈0.60,si∏42o≈0.67,cos42o≈0.74,taπ42o≈0.90)

【答案】6.9m

【分析】設(shè)CE=Xm,在RtAw中，根據(jù)正切三角函數(shù)關(guān)系得到AC=CR?tan42?！?.9x(m),在

0Qr

RtAsACD中，根據(jù)正切三角函數(shù)關(guān)系列方程一≈0.6,然后解方程求出。尸，最后利用AB=AC+BC關(guān)系

x+3

即可得解.

【詳解】解：聯(lián)結(jié)OE并延長，交AB于點C,由題意得：

DCBE,BC=FG=DE=1.5m,DF=GE=3m,ZACF=90°,

設(shè)C77=Λτn,則CO=C77+OF=(x+3)m,

?(^?

在Rt.Ab中，tanZAFC=—=tan42o≈0.9,

CF

AC=CF-tan42o≈0.9x(m),

在RtAACZ)中，tanZADC=----=tan31o≈0.6,

CD

—≈0.6,

x+3

解得x=6,經(jīng)檢驗：X=6是原方程的根,

.?.AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m)

答：涼亭AJB的高約為6.9m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知菱形ABcD中，點E在邊CB延長線上，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點凡聯(lián)結(jié)AE,過點F作

交AE于點G.

(1)求證：FG=BF；

(2)聯(lián)結(jié)AC交Z)E于點0,聯(lián)結(jié)8。，當ZFoB=NzMO時，求證：DO1=ABGF.

【答案】(1)見解析(2)見解析

GFBF

【分析】(1)首先證明G尸〃AD,再證明——=—即可解決問題.

ADCD

(2)證明一OEBS-Ao3,可得毀=",即可解決問題.

ABBO

【小問I詳解】

；四邊形ABeQ是菱形

.?.ADHBC,ABIlCD,AD=CD

'：GF//BE

：.GF//AD

.?.空=空，同理"=空

ADEDCDED

.GFBF

''~AD~~CD

?.?AD=CD

,'.GF=BF

【小問2詳解】

：四邊形ABCo是菱形

??.AC垂直平分8。

，Bo=DO

?.?四邊形ABCD是菱形

：.AFAO=ADAO

'：ZFOB=ZDAO

：.AFAO=AFOB

?：/FBO=ZABO

：.OFBS.AOB

BOBF,

—=—BπPπBO2=ABBF

ABBO

VBO=DO,GF=BF

??.DO2=ABGF

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識屬于中

考?？碱}型.

24.已知拋物線、=辦2+區(qū)一3經(jīng)過點4(1,0),B(-2,-3),頂點為點P,與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的表達式以及頂點P的坐標;

(2)將拋物線向上平移加m>0)個單位后，點A的對應(yīng)點為點M,若此時AC,求機的值;

(3)設(shè)點Z)在拋物線y=0√+?r-3上，且點。在直線BC上方，當ZaBC=N84C時，求點。的坐標.

【答案】⑴y=x2+2x-3,P(TT)

(2)/77=6

?_7

(3)D

2,~4

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解;

(2)由題意可得C(O,-3),由此可求得直線AC的解析式為y=3x-3,由MBAC,可設(shè)直線解析式為

y=3x+/,進而求得其解析式為y=3x+3,由AIr=I,代入直線的表達式求得M(1,6),即可求得相的值;

(3)由點A(1,O),5(-2,-3),C(0,-3),易知AB=3&，NΛBC=45°,作直線BC于H,作CKLAB

于K,在RABCK中,SinNABC=生=Z進而可求得CK=BK=五，AK=2叵，可得tan∕C4K='

BC22

由NDBC=NBAC,WtanZDBC=-,在RJDBH中,可設(shè)DH=k,則BH=2h可知。(2左一2,3),

將其代入y=d+2x-3,求出％即可得點D坐標.

【小問1詳解】

cι^?^h—3=0a-1

；拋物線經(jīng)過A、B,代入得〈,c,cc，解得《

4。一2人一3=-3b=2

，拋物線解析式為y=x2+2x-3,

.?.頂點P(T,-4);

【小問2詳解】

令X=0,則y=-3,即C(O,-3)

?.?直線AC經(jīng)過點A、C,設(shè)其解析式為y=匕x+4,

?k.+b.=0K=3

則《,',解得《

也=一34=-3

直線AC:y=3x-3,

:MBAC,且直線Affi經(jīng)過點3(—2,—3),設(shè)解析式為y=3x+4，

則—3=3x(—2)+4,解得4=3,

直線=3x+3,

：點