2024屆五年高考數(shù)學(xué)（文課）真題分類訓(xùn)練：七 不等式

專題七不等式

考點(diǎn)19不等式的性質(zhì)與解法、基本不等式

題組

一、選擇題

1.［2021全國卷乙，5分］下列函數(shù)中最小值為4的是(C)

_4

2

A.y=%+2%+4B.y=Isinx\+-|-s-i-n-x-|-

C.y=2X+22TD.y=In%+—

/，Inx

［解析］對于選項(xiàng)A,因?yàn)閥=/+2%+4=(%+1)2+3,所以當(dāng)無=—1時(shí)，y

取得最小值，且%nin=3,所以選項(xiàng)A不符合題意.

對于選項(xiàng)B,令|sin久|=t，則0<t<1，由函數(shù)y=t+￡在(。,1］上單調(diào)遞減可

知y25,所以選項(xiàng)B不符合題意.

對于選項(xiàng)C,因?yàn)閥=2久+22T2272乂?22T=4,當(dāng)且僅當(dāng)乎=,即

X=2-X,即％=1時(shí)不等式取等號(hào)，所以%nin=4,所以選項(xiàng)C符合題意.對

于選項(xiàng)D,當(dāng)0<%<1時(shí)，ln%<0,y=Inx+<0,所以選項(xiàng)D不符合

題意.故選C.

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】利用基本不等式求最值時(shí)，必須關(guān)注其中的“等號(hào)”能否取到.

2.［2021浙江，4分］已知a,0,丫是互不相同的銳角，則在sinacos。，

sinpcosy,sinycosa三個(gè)值中，大于:的個(gè)數(shù)的最大值是(C)

A.0B.1C.2D.3

［解析］因?yàn)閍,/?，Y是互不相同的銳角，所以sina,cos?,sin?,

cosy,siny,cosa均為正數(shù).由基本不等式可知sinacos夕W---------,

sin0cosy<sm丫,sinycosa<,也比.三式相力口可得$也acos6+

sin8cosy+sinycosa:<-,當(dāng)且僅當(dāng)sina=cos/?,sin/?=cosy,siny=

cosa,即a=￡=y=:時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閍,0,y是互不相同的銳角，所以

sinacos0+sin8cosy+sinycosa<|,所以這三個(gè)值不會(huì)都大于［.若取a=

ITITIt.ITTiV3V2福、2

則s嗎c嗎=|x］sin-cos-=—X一—>―

6=時(shí)=142342244

3sin9cosm==所以這三個(gè)值中大于；的個(gè)數(shù)的最大值為2.

24622422

故選C.

3.［2020北京，4分］已知函數(shù)/(%)=2x-x-l,則不等式/(久)>0的解集是

(D)

A.(-1,1)B.(―8,—1)u(1,+8)C.(0,1)D.

(—00,o)U(1,4-00)

［解析］函數(shù)/(%)=2乂—%—1,則不等式/(%)>0的解集即2支>%+1的解

集，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2丫,y=%+1的圖象(圖略)，結(jié)

合圖象易得乃>x+l的解集為(―*0)U(1,+8),故選D.

二、填空題

4.［2021天津，5分］若a>0,5>0,則工+9+5的最小值為2Vs.

a

____A=烏

［解析F+S+2］^+5=：+匕22位,當(dāng)且僅當(dāng)］:一》'即。=/)=/

ab27ab2匕

時(shí)取等號(hào)，所以W+b的最小值為2夜.

abz

5.［2020天津，5分］已知a>0,b>0,且ab=1,則工+々的最小值

2a2ba+b

為4.

a+b,8a+b,8、。a+b8.

［解析］依題意得;+。+=------1------=-------1------>Z——x——=4,當(dāng)且

2a2ba+b2aba+b2a+b2a+b

'G>0,

僅當(dāng)lajJ'l即產(chǎn):1'”時(shí)取等號(hào).因此，；+5+三的最小值為4.

山?1(2+D=42a2ba+b

a+b_8

<2a+b'

6.［2020江蘇，5分］已知5%2y2+y4=i(%,yeR),則/+/的最小值是

［解析］解法一由5x2y2+y4=1得%2=9,則為2+了2=已+z

23號(hào)=：,當(dāng)且僅當(dāng)之=華，即產(chǎn)=/時(shí)取等號(hào)，則/+/的最小值是

75yz555yz52

4

5,

解法二4=(5%2+y2).4y2<[(5x+[)+4y]2_m(%2+、2)2,則%2_1.y2>

I，當(dāng)且僅當(dāng)5/+y2=4y2=2,即％2鏟=1時(shí)取等號(hào)，則/+/的

最小值是，

7.［2019天津，5分］設(shè)％>0,y>0,久+2y=4，則竺且空B的最小值為:.

xy2

[解析]解法一由題意知％=4—2y,代入得(4-?+；)y+1)=-4常?+5=2+

(4-2y)y-2y2+4y

而I再，當(dāng)y=l時(shí)，-2y2+4y取得最大值2,此時(shí)原式取得最小值，所以

(%+l)(2y+l)..59

-------->Z9+-=-

xy22

解法二由題意知y=2,代入得空罷尹=筌薩-2X2+8%+10

-%2+4%

-F-,當(dāng)％=2時(shí)，-/+4%取得最大值4,此時(shí)原式取得最小值，所以

-(x-+-l-)(-2-y-+-l)>_Z?+,-5--9

xy22

解法三由題意知殳3為二①把"=空小=2+三，因?yàn)椋?gt;O,y>

xyxyxyxy

0,所以4-x+2y>2j2xy,即%y<2,當(dāng)且僅當(dāng)％=2y=2時(shí)取"=",

所以史但

xy22

8.［2019北京，5分］李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草

莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為

增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就

少付％元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)％=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付130元:

［解析］顧客一次購買草莓和西瓜各1盒共需60+80=140（元），總價(jià)達(dá)到

120元，又％=10,即顧客少付10元，所以需要支付130元.

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則

x的最大值為15.

［解析］設(shè)顧客買水果的總價(jià)為a元，當(dāng)0Wa<120時(shí)，顧客支付a元，李明得

到0.8a元，且0.8a20.7a,顯然符合題意，此時(shí)％=0；當(dāng)a2120時(shí)，則

0.8(a—x)20,7a恒成立，即％工二a恒成立，x<(-a］，又aA120,所

8

187min

以=15,所以％415.綜上可知，04%415,所以％的最大值為15.

'8/min

考點(diǎn)20二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問

題

題組

一、選擇題

rx+y>2,

1.［2022全國卷乙，5分］若％,y滿足約束條件,+2yW4,貝ijz=2%—y的最

(y>o,

大值是(c)

A.-2B.4C.8D.12

［解析］作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分，作出直線y=2%,平移該

直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(4,0)時(shí)，z最大，此時(shí)z=2x4—0=8,故選C.

X—2>0,

2.[2022浙江，4分]若實(shí)數(shù)％,y滿足約束條件2久+y—7W0,則z=3久+4y

.x-y-2<0,

的最大值是(B)

A.20B.18C.13D.6

第2題圖

作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，平移直線3%+4y=0,由圖知，當(dāng)直

線經(jīng)過點(diǎn)2(2,3)時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=3%+4y取得最大值，即Zmax=3x2+4x3=

18,故選B.

'x+y>4,

3.［2021全國卷乙，5分］若％,y滿足約束條件卜—yW2,則z=3x+y的最小

V<3,

值為(c)

A.18B.10C.6D.4

［解析］作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y=—3%，并平移，數(shù)形結(jié)合

可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)2時(shí)，直線y=-3%+z在y軸上的截距最小，即

z最小.解方程組K=4,得即點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,3).從而z=3%+y的

最小值為3x1+3=6.故選C.

【方法技巧】一般地，求目標(biāo)函數(shù)z=a%+by+c的最值時(shí)，要注意兩個(gè)問

題：①準(zhǔn)確判斷直線20：a%+by=0與可行域的邊界所在直線的相對位置；②

當(dāng)匕>0時(shí)，10向上平移z增大，I。向下平移z減小，當(dāng)5<0時(shí)，10向上平移z

減小，2。向下平移z增大.常見的目標(biāo)函數(shù)還有：距離型一一形如z=

(%-a)2+(y-b)2；斜率型一一形如z=當(dāng).具體解題時(shí)，必須注意轉(zhuǎn)化的等

價(jià)性及幾何意義.

%+120,

4.[2021浙江，4分]若實(shí)數(shù)％,y滿足約束條件％—yW0,則z=%—[y

.2%+3y-1<0,

的最小值是(B)

311

A.-2B.--C.--D.-

2210

[解析]作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y=2%并平移，數(shù)形結(jié)合可

知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)Z取得最小值.由心工?;1=。'得z[1'

的邊界交點(diǎn)處取得.

5.[2020浙江，4分]若實(shí)數(shù)為,y滿足約束條件二瑟。'則z=%+2y的

取值范圍是(B)

A.(—00,4]B.[4,+oo)C.[5,+oo)D.(-oo,+oo)

［解析］畫出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線“+2y=0,平移該直線，

易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)2(2,1)時(shí)，z取得最小值，Zmin=2+2X1=4,再數(shù)形結(jié)

合可得z-x+2y的取值范圍是［4,4-00).

/%+y-2<0,

6.［2019天津，5分］設(shè)變量久,y滿足約束條件］：］匕;？2°，則目標(biāo)函數(shù)z=

ly>-1,

-4x+y的最大值為(C)

A.2B.3C.5D.6

［解析］作出可行域如圖中陰影部分所示.由z=-4x+y得y=4x+z,結(jié)合圖形

可知當(dāng)直線y=4%+z過點(diǎn)2時(shí)，z最大，由匕;2=0,得義―I#,故

zmax=-4x(—1)+1=5.故選C.

二、填空題

3%—2y<3,

7.［2023全國卷甲，5分］若％,y滿足約束條件卜2%+3y<3,則z=3久+2y

.X+y>1,

的最大值為15.

［解析］根據(jù)不等式組作出可行域如圖所示，作出直線3久+2y=0并平移，由圖

可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)2時(shí)，z取得最大值.根據(jù)得

｛；13所以Zmax=3x34-2x3=15.

最大值為8.

［解析］如圖，作出可行域，為一封閉三角形區(qū)域(包含邊界).作出直線y=2%

并平移，當(dāng)直線y=