學(xué)考專題06 函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)模型（解析版）

學(xué)考專題06函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)模型考點(diǎn)歸納考點(diǎn)歸納函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根和圖象與軸交點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程的實(shí)數(shù)解函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也是方程的解真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭沁B續(xù)的減函數(shù)，，，，，有，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為．故選：C2．（2022秋·廣東·高三校考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用零點(diǎn)存在定理判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，.而，，因?yàn)榈膱D象不間斷，由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的位置，注意根據(jù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷，在應(yīng)用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的位置時(shí)，需函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷，本題屬于基礎(chǔ)題.3．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）方程的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，因?yàn)?，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.4．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判斷各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷得到結(jié)果.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?且在定義域上為增函數(shù),故至多一個(gè)零點(diǎn),；；

零點(diǎn)所在區(qū)間為故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間．A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由零點(diǎn)存在定理直接跑到即可.詳解：∵，，∴函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間．故選．點(diǎn)睛：本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題6．（廣東廣州·高二學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上,則的值為.【答案】1【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解作答.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，而，則函數(shù)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，所以.故答案為：17．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)，定價(jià)為40元.若一次性購(gòu)買超過(guò)9本，則每本優(yōu)惠5元，并且贈(zèng)送10元代金券；若一次性購(gòu)買超過(guò)19本，則每本優(yōu)惠10元，并且贈(zèng)送20元代金券.某班購(gòu)買x(x∈N*，x≤40)本，則總費(fèi)用與x的函數(shù)關(guān)系式為(代金券相當(dāng)于等價(jià)金額).【答案】，【分析】由題意，將購(gòu)買x本書，按0＜x＜10、10≤x＜20、20≤x≤40有三種不同的購(gòu)書方案寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，最后將它們整合為分段函數(shù)的形式即可【詳解】當(dāng)0＜x＜10時(shí)，＝40x當(dāng)10≤x＜20時(shí)，＝35x－10當(dāng)20≤x≤40時(shí)，＝30x－20綜上，有，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題由不同的購(gòu)買方案得到不同的函數(shù)模型，最后整合為分段函數(shù)形式8．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】【解析】由題意可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)在上有零點(diǎn)，可得，由此求得a的范圍．【詳解】函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)在上有零點(diǎn)，可得，解得?2<a<0.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要求函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題9．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)的部分3元超過(guò)的部分但不超過(guò)的部分6元超過(guò)的部分9元(1)甲用戶某月的用水量為，求甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)；(2)乙用戶某月繳納的水費(fèi)為54元，求乙用戶該月的用水量．【答案】(1)30元(2).【分析】(1)直接根據(jù)圖表數(shù)據(jù)求解;(2)建立分段函數(shù)模型可求解.【詳解】（1）甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)：元.（2）設(shè)用水量為，需要繳納的水費(fèi)為，由題可知，整理得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得，因此乙用戶該月的用水量為.10．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司為獎(jiǎng)勵(lì)員工實(shí)施了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，方案一：每賣出一件產(chǎn)品獎(jiǎng)勵(lì)4.5元；方案二：賣出30件以內(nèi)（含30件）的部分每賣出一件產(chǎn)品獎(jiǎng)勵(lì)4元，超出30件的部分每賣出一件產(chǎn)品獎(jiǎng)勵(lì)7元．（1）記利用方案二員工甲獲得的日獎(jiǎng)勵(lì)為Y（單位：元），日賣出產(chǎn)品數(shù)為．求日獎(jiǎng)勵(lì)Y關(guān)于日賣出產(chǎn)品數(shù)n的函數(shù)解析式；（2）員工甲在前10天內(nèi)賣出的產(chǎn)品數(shù)依次為22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若將頻率視為概率，如果僅從日平均獎(jiǎng)勵(lì)的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為員工甲選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）選擇方案一，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意可得分和兩種情況求解函數(shù)解析式；（2）先求出員工甲日平均賣出的產(chǎn)品件數(shù)，然后分別求兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案中的獎(jiǎng)勵(lì)大小，再比較可得答案【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上可知：（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，可估算員工甲日平均賣出的產(chǎn)品件數(shù)為．

員工甲根據(jù)方案一的日平均獎(jiǎng)勵(lì)為（元），

員工甲根據(jù)方案二的日平均獎(jiǎng)勵(lì)為，

因?yàn)椋越ㄗh員工甲選擇方案一．11．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）某移動(dòng)公司推出兩種不同的通話套餐類型供客戶選擇：套餐一：零月租，按照0.4元/分鐘計(jì)算話費(fèi)；套餐二：月租為40元，包含通話100分鐘，若通話時(shí)長(zhǎng)超過(guò)100分鐘，則按照0.2元/分鐘計(jì)算話費(fèi).(1)寫出兩種套餐對(duì)應(yīng)的話費(fèi)與月通話時(shí)長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系.(2)如果某用戶月通話時(shí)長(zhǎng)為200分鐘，則他選擇哪個(gè)套餐會(huì)更劃算？【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)他選擇套餐二會(huì)更劃算【分析】（1）根據(jù)題意直接進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】（1）設(shè)通話時(shí)長(zhǎng)為（分）設(shè)套餐一話費(fèi)與月通話時(shí)長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系，由題意可知：；設(shè)套餐二話費(fèi)與月通話時(shí)長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系，由題意可知：；（2）如果某用戶用套餐一，當(dāng)用戶月通話時(shí)長(zhǎng)為200分鐘，他的話費(fèi)為元；如果某用戶用套餐二，當(dāng)用戶月通話時(shí)長(zhǎng)為200分鐘，他的話費(fèi)為元，顯然，因此他選擇套餐二會(huì)更劃算.12．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）某市出租車的票價(jià)按以下規(guī)則制定：起步公里為2.6公里，收費(fèi)10元；若超過(guò)2.6公里的，每公里按2.4元收費(fèi).(1)設(shè)A地到B地的路程為4.1公里，若搭乘出租車從A地到B地，需要付費(fèi)多少？(2)若某乘客搭乘出租車共付費(fèi)16元，則該出租車共行駛了多少公里？【答案】(1)元(2)公里【分析】（1）設(shè)出租車行駛公里，根據(jù)題設(shè)寫出付費(fèi)額的分段函數(shù)形式，進(jìn)而求從A地到B地需要的付費(fèi)；（2）由題意出租車行駛公里數(shù)，結(jié)合解析式列方程求該出租車共行駛的公里數(shù).【詳解】（1）設(shè)出租車行駛公里，則付費(fèi)額，所以元.（2）由題意，出租車行駛公里數(shù)，令，則公里.13．（廣東廣州·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0），（1）若a=﹣1，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，1]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1；（2）﹣1≤a≤0或a≤﹣2.【分析】（1）令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，求解即可；（2）討論當(dāng)a=0時(shí)和當(dāng)a＜0時(shí)二次函數(shù)在區(qū)間（0，1]的零點(diǎn)分別求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=﹣x2+2x﹣1，令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1，∴當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1．（2）①當(dāng)a=0時(shí)，2x﹣2=0得x=1，符合題意．②當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=a（x﹣1）（x+），則x1=1，x2=﹣，由于函數(shù)在區(qū)間（0，1]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則﹣或﹣≤0，解得或a≤﹣2，綜上可得，a的取值范圍為﹣1≤a≤0或a≤﹣2．【點(diǎn)睛】解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究：一是，開(kāi)口；二是，對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；四是，區(qū)間端點(diǎn)值.四、應(yīng)用題14．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）為落實(shí)中央“精準(zhǔn)扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2020年在其扶貧基地投入300萬(wàn)元研發(fā)資金用于蔬菜的開(kāi)發(fā)與種植，并計(jì)劃今后10年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金數(shù)比上一年增長(zhǎng).（1）以2021年為第1年，分別計(jì)算該企業(yè)第1年、第2年投入的研發(fā)資金數(shù)，并寫出第年該企業(yè)投入的研發(fā)資金數(shù)（萬(wàn)元）與的函數(shù)關(guān)系式以及函數(shù)的定義域；（2）該企業(yè)從哪年開(kāi)始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過(guò)600萬(wàn)元？【答案】（1），；（2）從年開(kāi)始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過(guò)600萬(wàn)元.【分析】（1）由題設(shè)，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型，寫出前2年的研發(fā)資金，進(jìn)而確定函數(shù)解析式及定義域；（2）由（1）得，利用指數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解集，進(jìn)而判斷從哪年開(kāi)始研發(fā)資金數(shù)將超過(guò)600萬(wàn)元即可.【詳解】（1）由題設(shè)，第1年研發(fā)資金為：萬(wàn)元；第2年研發(fā)資金為：萬(wàn)元；∴第年研發(fā)資金：且定義域?yàn)?；?）由（1）知：，即，∴，故從第8年即年開(kāi)始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過(guò)600萬(wàn)元.15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x（單位：）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與x成正比；若在距離車站處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。坎⑶蟪鲈撝担敬鸢浮?km；最小費(fèi)用為8萬(wàn)元【分析】先設(shè)出，代入自變量及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求出，從而得到兩項(xiàng)費(fèi)用之和，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴兩項(xiàng)費(fèi)用之和為．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即應(yīng)將這家倉(cāng)庫(kù)建在距離車站處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為8萬(wàn)元．16．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某商店試銷一種成本單價(jià)為40元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于80元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量（件）與銷售單價(jià)（元/件）可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系．設(shè)商店獲得的利潤(rùn)（利潤(rùn)銷售總收入總成本）為元．（1）試用銷售單價(jià)表示利潤(rùn)；（2）試問(wèn)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該商店可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？此時(shí)的銷售量是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為70元/件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)900元，此時(shí)銷售量是30件．【分析】（1）由利潤(rùn)銷售總收入總成本可得答案；（2）對(duì)于配方法即可求得最大值．【詳解】（1）.（2），∴當(dāng)銷售單價(jià)為70元/件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)900元，此時(shí)銷售量是30件．17．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某企業(yè)十年內(nèi)投資一個(gè)項(xiàng)目，2022年投資200萬(wàn)，之后每一年的投資額比前一年增長(zhǎng)10%.(1)求該企業(yè)在2024年該項(xiàng)目的頭投資金額；(2)該企業(yè)在哪一年的投資金額將達(dá)到400萬(wàn)元?（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)242萬(wàn)元；(2)2030年．【分析】（1）根據(jù)增長(zhǎng)率的定義求解；（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)模型列方程求解．【詳解】（1）由題意2023年投資額為，2024年投資額為（萬(wàn)元）；（2）設(shè)第年投資金額將達(dá)到400萬(wàn)元，即，，，，因此在第9年即2030年投資金額將達(dá)到400萬(wàn)元．18．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）吉祥物“冰墩墩”在北京年冬奧會(huì)強(qiáng)勢(shì)出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為萬(wàn)元.每生產(chǎn)萬(wàn)盒，需投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量小于等于萬(wàn)盒時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量大于萬(wàn)盒時(shí)，，若每盒玩具手辦售價(jià)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤(rùn)＝售價(jià)－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）.(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（萬(wàn)盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？【答案】(1)(2)萬(wàn)盒【分析】（1）根據(jù)題設(shè)公式，討論產(chǎn)量小于等于萬(wàn)盒和產(chǎn)量大于萬(wàn)盒兩種情況，從而寫出所求函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)分段函數(shù)中一次與二次函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于等于萬(wàn)盒時(shí)，,當(dāng)產(chǎn)量大于50萬(wàn)盒時(shí)，故銷售利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（萬(wàn)盒）的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)產(chǎn)量為萬(wàn)盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大.19．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某工廠生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知總收入（單位：元）關(guān)于產(chǎn)量