人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納小結(jié)

小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十六章反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用知識(shí)構(gòu)架現(xiàn)實(shí)世界中的反比例關(guān)系

反比例函數(shù)歸納抽象

的圖象和性質(zhì)知識(shí)回顧1反比例函數(shù)的概念2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)雙曲線原點(diǎn)

(2)反比例函數(shù)的性質(zhì)(3)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x，y)具有兩坐標(biāo)之積(xy＝k)為常數(shù)這一特點(diǎn)，即過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為常數(shù)|k|.規(guī)律：過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，一條垂線與坐標(biāo)軸、原點(diǎn)所圍成的三角形的面積為常數(shù)

．求函數(shù)解析式的方法步驟利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)：①根據(jù)兩變量之間的反比例關(guān)系，設(shè)y＝；②代入圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即x、y的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，求出k的值；③寫出解析式.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的求法求直線y＝k1x＋b(k≠0)和雙曲線y＝的交點(diǎn)坐標(biāo)就是解這兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組3反比例函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)歸納反比例函數(shù)的概念一命題角度：1.反比例函數(shù)的概念；2.求反比例函數(shù)的解析式．B反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)二命題角度：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．D

解:方法一：分別把各點(diǎn)代入反比例函數(shù)求出y1，y2，y3的值，再比較出其大小即可．方法二：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較．

比較反比例函數(shù)值的大小，在同一個(gè)象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較，在不同象限內(nèi)，不能按其性質(zhì)比較，函數(shù)值的大小只能根據(jù)特征確定．歸納與反比例函數(shù)k有關(guān)的問題三命題角度：反比例函數(shù)中k的幾何意義．1

利用反比例函數(shù)中k的幾何意義時(shí)，要注意點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長之間的轉(zhuǎn)化，并且利用關(guān)系式和橫坐標(biāo)，求各點(diǎn)的縱坐標(biāo)是求面積的關(guān)鍵．歸納反比例函數(shù)的應(yīng)用四命題角度：1.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．2.反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用；

此類一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二元一次方程組，三角形面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，其關(guān)鍵是理清解題思路，在直角坐標(biāo)系中，求三角形或四邊形面積時(shí)，常常采用分割法，把所求的圖形分成幾個(gè)三角形或四邊形，分別求出面積后再相加．歸納例病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測(cè)得服藥后2小時(shí)，每毫升血液中的含藥量達(dá)到最大值為4毫克．已知服藥后，2小時(shí)前每毫升血液中的含藥量y(單位：毫克)與時(shí)間x(單位：小時(shí))成正比例；2小時(shí)后y與x成反比例(如圖)．根據(jù)以上信息解答下列問題：

(1)求當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y與x的函數(shù)解析式；

(2)求當(dāng)x>2時(shí)，y與x的函數(shù)解析式；(3)若每毫升血液中的含藥量不低于2毫克時(shí)治療有效，則

服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是多長？解：(1)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y與x成正比例函數(shù)關(guān)系．設(shè)y＝kx，由于點(diǎn)(2,4)在直線上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.(3)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，含藥量不低于2毫克，即2x≥2，x≥1.即服藥1小時(shí)后；當(dāng)x>2時(shí)，含藥量不低于2毫克，所以服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是1＋2＝3(小時(shí))．注意:不要忽略自變量的取值范圍．考題預(yù)測(cè)CC小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十七章相似相似圖形位似圖形相似多邊形相似三角形相似三角形的判定相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用知識(shí)構(gòu)架圖形的相似一1.形狀相同的圖形2.相似多邊形：①表象：大小不等，形狀相同.②實(shí)質(zhì)：各對(duì)應(yīng)角相等、各對(duì)應(yīng)邊成比例.要點(diǎn)歸納3.相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相似三角形的判定二通過定義平行于三角形一邊的直線三邊成比例兩邊成比例且夾角相等兩角分別相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例（三個(gè)角分別相等，三條邊成比例）相似三角形的性質(zhì)三對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比周長比等于相似比面積比等于相似比的平方相似三角形的應(yīng)用四（1）測(cè)高測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決.（2）測(cè)距位似五1.如果兩個(gè)圖形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.（這時(shí)的相似比也稱為位似比）2.性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比；對(duì)應(yīng)線段平行或者在一條直線上.DEFAOBCDEFAOBC3.位似性質(zhì)的應(yīng)用：能將一個(gè)圖形放大或縮小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P4.平面直角坐標(biāo)系中的位似當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k．1.△ABC的三邊長分別為5、12、13，與它相似的△DEF的最小邊長為15，求△DEF的其他兩條邊長．解：∵△ABC∽△DEF設(shè)△DEF另兩邊分別為x,y則，解得x=36，解得y=39當(dāng)堂練習(xí)∴△DEF的其他兩條邊長為36，39.2.根據(jù)下列圖中所注的條件，判斷圖中兩個(gè)三角形是否相似，并求出x和y的值FGHJI3568yx12∠1=∠2解：∵∠1=∠2，∠HGF=∠JIH=90°，∴△FGH∽△JIH，則有解得x=4；解得y=10.3.如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB，垂足為P，求證：PC2＝PA·PB.B·ACDOP證明：連接AC，BC∵AB是直徑∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB∴∠CPB＝90°∠PCB＋∠B＝90°又∠A＝∠CPB∴△APC∽△CPB∴∠A+∠B=90°4.如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△CED；(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長.（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．（2）作BM⊥AC于點(diǎn)M，AC＝AB＝6．∴AM＝CM＝3，∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.在Rt△BDM中，.由（1）△ABD∽△CED得，

M5.如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長是多少？ABCDEFGHABCDEFGH解：設(shè)正方形EFHG為加工成的正方形零件，邊GH在BC上，頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，△ABC的高AD與邊EF相交于點(diǎn)M，設(shè)正方形的邊長為xmm∵EF//BC∴△AEF∽△ABCAM＝AD－MD＝80－x解得x=48M即這個(gè)正方形零件的邊長是

48mm.6.如圖，王芳同學(xué)跳起來把一個(gè)排球打在離地2m遠(yuǎn)的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時(shí)的高度是1.8m，排球落地點(diǎn)離墻的距離是6m，假設(shè)球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，球能碰到墻面離地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴CD=5.4m.答：球能碰到墻面離地5.4m高的地方．7.如圖，△ABC在方格紙中(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使A(2,3),C(6,2),并求出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A′B′C′;(3)計(jì)算△A′B′C′的面積S.【解析】(1)畫出原點(diǎn)O，x軸、y軸如圖.B（2，1）.(2)畫出圖形△A′B′C′.小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十八章銳角三角函數(shù)(2)∠A的余弦：cosA＝

＝

；(3)∠A的正切：tanA＝

＝

.要點(diǎn)梳理一、銳角三角函數(shù)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．二、特殊角的三角函數(shù)1

30°，45°，60°角的三角函數(shù)值sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；tan30°＝

，tan45°＝

，tan60°＝

.合作探究1.解直角三角形的依據(jù)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B,∠C的對(duì)邊．三邊關(guān)系：

；三角關(guān)系：

；邊角關(guān)系：sinA＝cosB＝

，cosA＝sinB＝，tanA＝

，tanB＝

.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

三、解直角三角形(2)直角三角形可解的條件和解法條件：解直角三角形時(shí)知道其中的2個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可以求出其余的3個(gè)未知元素．解法：①一邊一銳角，先由兩銳角互余關(guān)系求出另一銳角；知斜邊，再用正弦(或余弦)求另兩邊；知直角邊用正切求另一直角邊，再用正弦或勾股定理求斜邊；②知兩邊：先用勾股定理求另一邊，再用邊角關(guān)系求銳角；③斜三角形問題可通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．(3)互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系1.利用計(jì)算器求三角函數(shù)值．第二步：輸入角度值，屏幕顯示結(jié)果.（也有的計(jì)算器是先輸入角度再按函數(shù)名稱鍵）第一步：按計(jì)算器、、鍵，sintancos四、借助計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值及銳角2.利用計(jì)算器求銳角的度數(shù)．還可以利用鍵，進(jìn)一步得到角的度數(shù).第二步：然后輸入函數(shù)值屏幕顯示答案（按實(shí)際需要進(jìn)行精確）第一種方法：°＇″2ndF第一步：按計(jì)算器、、鍵，2ndFsincostan第一步：按計(jì)算器鍵，°＇″2ndF第二種方法：第二步：輸入銳角函數(shù)值屏幕顯示答案（按實(shí)際需要選取精確值）.1.仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.五、三角函數(shù)的應(yīng)用以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于900的角,叫做方位角.如圖所示：30°45°BOA東西北南2.方位角45°45°西南O東北東西北南西北東南坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝

=tan

α顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如圖:坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度.記作i,即i=3.坡度,坡角坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.4.利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實(shí)際問題的答案．ACMN(1)在測(cè)點(diǎn)A安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α；E(2)量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l；(3)量出測(cè)傾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+aα1.

測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度步驟：六、利用三角函數(shù)測(cè)高2.測(cè)量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？(1)在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα(2)在測(cè)點(diǎn)A與物體之間的B處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MDE=β；β(3)量出測(cè)傾器的高度AC=BD=a，以及測(cè)點(diǎn)A,B之間的距離AB=b.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù),可求出物體MN的高度.考點(diǎn)一求三角函數(shù)的值考點(diǎn)講練例1

在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB＝()A.B.C.D.【解析】根據(jù)sinA＝，可設(shè)三角形的兩邊長分別為4k,5k，則第三邊長為3k，所以tanB＝B

求三角函數(shù)值方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據(jù)已知條件采取靈活的計(jì)算方法，常用的方法主要有：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求值；(2)直接運(yùn)用三角函數(shù)的定義求值；(3)借助邊的數(shù)量關(guān)系求值；(4)借助等角求值；(5)根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值；(6)構(gòu)造直角三角形求值．方法總結(jié)1.在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是________三角形．針對(duì)訓(xùn)練直角2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是_________.考點(diǎn)二特殊角的三角函數(shù)值【解析】本題考查數(shù)的0次冪、分母有理化和特殊角的三角函數(shù)值．解：原式＝例2

計(jì)算：針對(duì)訓(xùn)練(1)tan30°＋cos45°＋tan60°(2)tan30°·tan60°＋cos230°3.計(jì)算：解：原式原式考點(diǎn)三

解直角三角形例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：（1）DC的長；（2）sinB的值．【分析】題中給出了兩個(gè)直角三角形，DC和sinB可分別在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，圖中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6；ABCD解：（1）設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=,(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中方法總結(jié)

本考點(diǎn)主要考查已知三角形中的邊與角求其他的邊與角.解決這類問題一般是結(jié)合方程思想與勾股定理，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解.4.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周長(結(jié)果保留根號(hào)).針對(duì)訓(xùn)練解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周長為AB＋BC＋AC考點(diǎn)四

三角函數(shù)的應(yīng)用例4如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，要求測(cè)教學(xué)樓AB的高度．小剛在D處用高1.5m的測(cè)角儀CD，測(cè)得教學(xué)樓頂端A的仰角為30°，然后向教學(xué)樓前進(jìn)40m到達(dá)EF，又測(cè)得教學(xué)樓頂端A的仰角為60°.求這幢教學(xué)樓AB的高度．

【分析】設(shè)CF與AB交于點(diǎn)G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根據(jù)CG－FG＝40，可求AG.答：這幢教學(xué)樓AB的高度為解：設(shè)CF與AB交于點(diǎn)G，在Rt△AFG中，在Rt△ACG中，又∵CG－FG＝40m，方法總結(jié)

在生活實(shí)際中，特別在勘探、測(cè)量工作中，常需了解或確定某種大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的兩地之間的距離等，而這些問題一般都要通過嚴(yán)密的計(jì)算才可能得到答案，并且需要先想方設(shè)法利用一些簡(jiǎn)單的測(cè)量工具，如：皮尺，測(cè)角儀，木尺等測(cè)量出一些重要的數(shù)據(jù)，方可計(jì)算得到．有關(guān)設(shè)計(jì)的原理就是來源于太陽光或燈光與影子的關(guān)系和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．5.如圖某人站在樓頂觀測(cè)對(duì)面的筆直的旗桿AB，已知觀測(cè)點(diǎn)C到旗桿的距離（即CE的長）為8米，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋恰螮CA為30°旗桿底部的俯角∠ECB為45°則旗桿AB的高度是多少米?CABDE解：如圖在Rt△ACE和Rt△BCE中∠ACE=30°，EC=8米∴tan∠ACE=,tan∠ECB=即：AE=8tan30°=（米）EB=8tan45°=8（米）∴AE+EB=(8+)米針對(duì)訓(xùn)練銳角三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù)解直角三角形簡(jiǎn)單實(shí)際問題cabABC課堂小結(jié)正弦：銳角三角函數(shù)余弦：正切：30°，45°，60°角的三角函數(shù)值三邊關(guān)系三角關(guān)系邊角關(guān)系仰俯角問題方位角問題坡度問題小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十九章投影與視圖物體（立體圖形）投影中心投影平行投影正投影（視圖）主視圖俯視圖左視圖三視圖想象光照點(diǎn)光源平行光線光線垂直投影面由前向后看由上向下看由左向右看知識(shí)架構(gòu)要點(diǎn)歸納投影、平行投影、中心投影一1.投影：物體在光線的照射下，會(huì)在某個(gè)平面（地面或墻壁）上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.如下圖：2.平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影，稱為平行投影，如下圖：3.中心投影：手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影，如下圖：4.平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別聯(lián)系平行投影投影線互相平行，形成平行投影都是物體在光線的照射下，在某個(gè)平面內(nèi)形成的影子.（即都是投影）中心投影投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影正投影二1.概念：投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．2.性質(zhì)：當(dāng)物體的某個(gè)面平行于投影面時(shí)，這個(gè)面的正投影與這個(gè)面的形狀、大小完全相同．ABCDA'B'C'D'ABCDA'B'C'D'EFGF'G'H主視圖主視圖俯視圖左視圖從上面看從正面看從左面看高長寬寬1.三視圖的概念俯視圖左視圖將三個(gè)投影面展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到這個(gè)物體的一張三視圖.三視圖三（3）在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”．（1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；（2）

在主視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對(duì)正”；2.三視圖的畫法：主視圖俯視圖左視圖高長寬寬幾何體主視圖左視圖俯視圖3.常見幾何體的三視圖：4.由三視圖確定幾何體