《28.1 特殊角的三角函數(shù)值》教案、導(dǎo)學(xué)案

28．1銳角三角函數(shù)第3課時(shí)特殊角的三角函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1．經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義；(重點(diǎn))2．能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算；(重點(diǎn))3．能夠結(jié)合30°、45°、60°的三角函數(shù)值解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))【教學(xué)過(guò)程】一、情境導(dǎo)入問(wèn)題1：一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？問(wèn)題2：兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角？各是多少度？設(shè)每個(gè)三角尺較短的邊長(zhǎng)為1，分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究點(diǎn)一：特殊角的三角函數(shù)值【類型一】利用特殊的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(1)2cos60°·sin30°－eq\r(6)sin45°·sin60°；(2)eq\f(sin30°－sin45°,cos60°＋cos45°).解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq\r(2)－3.方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍若cosα＝eq\f(2,3)，則銳角α的大致范圍是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)＜eq\f(\r(2),2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴銳角α的范圍是45°＜α＜60°.故選C.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．【類型三】根據(jù)三角函數(shù)值求角度若eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，則銳角α的度數(shù)是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝eq\f(\r(3),3).∵tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故選A.方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用【類型一】利用三角形的邊角關(guān)系求線段的長(zhǎng)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是邊AB上一點(diǎn)，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的長(zhǎng)．解析：由題意可知△BCD為等腰直角三角形，則BD＝BC，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)即可．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝eq\f(BC,AB)，即eq\f(BC,BC＋4)＝eq\f(\r(3),3)，解得BC＝2(eq\r(3)＋1)．方法總結(jié)：在直角三角形中求線段的長(zhǎng)，如果有特殊角，可考慮利用三角函數(shù)的定義列出式子，求出三角函數(shù)值，進(jìn)而求出答案．【類型二】判斷三角形的形狀已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，試判斷△ABC的形狀．解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是銳角三角形．方法總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問(wèn)題要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么BC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).在此圖的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15°與tan75°的值．解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan15°＝eq\f(CD,BC)，tan75°＝eq\f(BC,CD)求出即可．解：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.設(shè)CD＝x，則AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq\r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq\r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq\r(3)－3，∴tan15°＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，tan75°＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75°的三角函數(shù)值．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．特殊角的三角函數(shù)值：30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)2.應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題．【教學(xué)反思】課程設(shè)計(jì)中引入非常直接，由三角尺引入，直擊課題，同時(shí)也對(duì)前兩節(jié)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行了整體的復(fù)習(xí)，效果很好．在講解特殊角的三角函數(shù)值時(shí)講解的也很細(xì)，可以說(shuō)前面部分的教學(xué)很成功，學(xué)生理解的很好.28．1銳角三角函數(shù)第3課時(shí)特殊角的三角函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】⑴:能推導(dǎo)并熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)銳角度數(shù)。⑵:能熟練計(jì)算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的運(yùn)算式【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，能熟練計(jì)算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的運(yùn)算式【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】一、自學(xué)提綱：一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角正弦是怎么定義的？一個(gè)銳角余弦是怎么定義的？一個(gè)銳角正切是怎么定義的？二、合作交流：思考：兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角？是多少度？你能分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值碼？．三、教師點(diǎn)撥：歸納結(jié)果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）-tan45°．例4：（1）如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度數(shù)．（2）如圖（2），已知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的倍，求a．四、學(xué)生展示：一、課本67頁(yè)第1題課本67頁(yè)第2題二、選擇題．1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=eq\f(3,5)，AB=15，則AC的長(zhǎng)是（）．A．3B．6C．9D．122．下列各式中不正確的是（）．A．sin260°+cos260°=1B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．計(jì)算2sin30°-2cos60°+tan45°的結(jié)果是（）．A．2B．C．D．14．已知∠A為銳角，且cosA≤eq\f(1,2)，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=eq\f(1,2)，cosB=eq\f(eq\r(3),2)，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定6．如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，設(shè)∠BCD=a，則tana的值為（）．A．B．C．D．7．當(dāng)銳角a>60°時(shí)，cosa的值（）．A．小于eq\f(1,2)B．大于eq\f(1,2)C．大于eq\f(eq\r(3),2)D．大于18．在△ABC中，三邊之比為a：b：c=1：：2，則sinA+tanA等于（）．A．9．已知梯形ABCD中，腰BC長(zhǎng)為2，梯形對(duì)角線BD垂直平分AC，若梯形的高是，則∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不對(duì)10．sin272°+sin218°的值是（）．A．1B．0C．eq\f(1,2)D．eq\f(eq\r(3),2)11．若（eq\r(3)tanA-3）2+│2cosB-eq\r(3)│=0，則△ABC（）．A．是直角三角形B．是等邊三角形C．是含有60°的任意三角形D．是頂角為鈍角的等腰三角形三、填空題．12．設(shè)α、β均為銳角，且sinα-cosβ=0，則α+β=_______．13．的值