《28.2.1 解直角三角形》教案、導(dǎo)學(xué)案

28．2．1解直角三角形【教學(xué)目標(biāo)】1．理解解直角三角形的意義和條件；(重點)2．根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，求出所有未知元素．(難點)【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜．設(shè)塔頂中心點為B,塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)．在上述的Rt△ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？二、合作探究探究點一：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，按下列條件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長；(2)若a＝6eq\r(2)，b＝6eq\r(6)，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長．解析：(1)已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝eq\f(a,c)，即c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(36,\f(\r(3),2))＝24eq\r(3)，∴b＝sinB·c＝eq\f(1,2)×24eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6eq\r(2)，b＝6eq\r(6)，∴tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12eq\r(2).方法總結(jié)：解直角三角形時應(yīng)求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與兩個已知元素的關(guān)系式求解．【類型二】構(gòu)造直角三角形解決長度問題一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長．解析：過點B作BM⊥FD于點M，求出BM與CM的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進行解答．【類型三】運用解直角三角形解決面積問題如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,7)，D為邊AC上一點，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面積．解析：首先利用正弦的定義設(shè)BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，從而求得AB的長，然后利用勾股定理求得AC的長，再進一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,7)，設(shè)BC＝3k，則AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(142－62)＝4eq\r(10)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×4eq\r(10)×6＝12eq\r(10).所以△ABC的面積是12eq\r(10).方法總結(jié)：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個輔助未知數(shù)，列方程解答．探究點二：解直角三角形的綜合【類型一】解直角三角形與等腰三角形的綜合已知等腰三角形的底邊長為eq\r(2)，周長為2＋eq\r(2)，求底角的度數(shù)．解析：先求腰長，作底邊上的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，求得底角的余弦，即可求得底角的度數(shù)．解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝eq\r(2)，∵周長為2＋eq\r(2)，∴AB＝AC＝1.過A作AD⊥BC于點D，則BD＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABD＝45°，即等腰三角形的底角為45°.方法總結(jié)：求角的度數(shù)時，可考慮利用特殊角的三角函數(shù)值．【類型二】解直角三角形與圓的綜合已知：如圖，Rt△AOB中，∠O＝90°，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O于點C，連接AC交OB于點P.(1)求證：BP＝BC；(2)若sin∠PAO＝eq\f(1,3)，且PC＝7，求⊙O的半徑．解析：(1)連接OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求證的結(jié)論；(2)延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答．解：(1)連接OC，∵BC是⊙O的切線，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；(2)延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝eq\f(1,3)，設(shè)OP＝x，AP＝3x，∴AO＝2eq\r(2)x.∵AO＝OE，∴OE＝2eq\r(2)x，∴AE＝4eq\r(2)x.∵sin∠PAO＝eq\f(1,3)，∴在Rt△ACE中eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(3x＋7,4\r(2)x)＝eq\f(2\r(2),3)，解得x＝3，∴AO＝2eq\r(2)x＝6eq\r(2)，即⊙O的半徑為6eq\r(2).方法總結(jié)：本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理列出方程．三、板書設(shè)計1．解直角三角形的基本類型及其解法；2．解直角三角形的綜合．【教學(xué)反思】本節(jié)課的設(shè)計，力求體現(xiàn)新課程理念．給學(xué)生自主探索的時間和寬松和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新精神和合作精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性.28．2．1解直角三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】⑴使學(xué)生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形⑵通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．⑶滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．【學(xué)習(xí)重點】直角三角形的解法．【學(xué)習(xí)難點】三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用【導(dǎo)學(xué)過程】一、自學(xué)提綱：1．在三角形中共有幾個元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢？(1)邊角之間關(guān)系如果用表示直角三角形的一個銳角，那上述式子就可以寫成.(2)三邊之間關(guān)系

(3)銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．a(chǎn)2+b2=c2(勾股定理)

以上三點正是解直角三角形的依據(jù)．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端.梯子與地面所成的角一般要滿足，(如圖).現(xiàn)有一個長6m的梯子，問:(1)使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角等于多少(精確到1o)

這時人是否能夠安全使用這個梯子三、教師點撥：例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個三角形．例2在Rt△ABC中，∠B=35o，b=20，解這個三角形．四、學(xué)生展示：完成課本74頁練習(xí)補充題1．根據(jù)直角三角形的__________元素（至少有一個邊），求出________其它所有元素的過程，即解直角三角形．2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解這個三角形．3、

在△ABC中，∠C為直角，AC=6，的平分線AD=4，解此直角三角形。4、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____