蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2-1.1.1平均變化率

1.1.1平均變化率蘇教版選修2-2數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》第1課時(shí)

只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅僅表明狀態(tài)，而且也表明過(guò)程：運(yùn)動(dòng)——恩格斯牛頓萊布尼茨

微積分的創(chuàng)始人，本章我們將要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一.世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺(jué)，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼！

甲乙兩人投入相同資金經(jīng)營(yíng)同一種商品，甲用5年時(shí)間掙到10萬(wàn)元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬(wàn)元．你能比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果嗎？為什么？

甲乙兩人投入相同資金經(jīng)營(yíng)同一種商品，甲掙到10萬(wàn)元，乙掙到2萬(wàn)元，你能比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果嗎？為什么？結(jié)論：僅考慮一個(gè)量的變化是不行的，要考慮一個(gè)量相對(duì)于另一個(gè)量改變了多少。情境12019.5.10上證指數(shù)分時(shí)圖D（13:00,2894）E（13：04,2838）A(9:30,2878)問(wèn)題：如何從數(shù)學(xué)角度刻畫股指“跳水”？情境2B(10:03,,2925)C(11:10,2884)結(jié)論：股指差不能反映股指變化的快慢程度情境3某市2004年3月18日至4月20日每天最高氣溫?cái)?shù)據(jù)記錄表序號(hào)日期最高溫度13月18日3.523月19日4.533月20日543月21日5.353月22日5.663月23日5.773月24日683月25日6.493月26日6.9103月27日7113月28日7.2123月29日7.3133月30日7.5143月31日7.6154月1日7.7164月2日7.8174月3日8184月4日8.8194月5日9204月6日9.3214月7日9.5224月8日10.1234月9日11244月10日11.5254月11日12264月12日12.7274月13日13.2284月14日14294月15日14.6304月16日15.9314月17日17.1324月18日18.6334月19日24.4344月20日33.43月18日4月18日4月20日4月20日那天人們會(huì)驚呼“天氣熱得太快了”！溫差15.1℃溫差14.8℃結(jié)論：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度問(wèn)題：如何從數(shù)學(xué)角度刻畫氣溫“陡升”？情境3某市2004年3月和4月某天日最高氣溫記載:2030342102030A(1,3.5)

B(32,18.6)0

C(34,33.4)210T(℃)

t(d)溫差14.8℃溫差15.1℃

比值反映了在某一時(shí)間段內(nèi)氣溫、股指變化的快慢程度．2天31天

問(wèn)題：用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化的快慢程度？比值稱為函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率．xoyf(x2)－f(x1)x2－x1f(x2)－f(x1)x2－x1一般地，函數(shù)在區(qū)間

上的平均變化率為以直代曲曲線越“平緩”，說(shuō)明變量變化越

曲線越“陡峭”，說(shuō)明變量變化越快慢用平均變化率來(lái)近似地量化曲線在某區(qū)間上的陡峭程度平均變化率概念建構(gòu)k=7.4平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺(jué)化”．

平均變化率的幾何意義就是函數(shù)f(x)圖象上兩點(diǎn)(x1,f(x1))、(x2,f(x2))所在直線的斜率.2030342102030A(1,3.5)

B(32,18.6)0

C(34,33.4)210xy概念建構(gòu)某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試比較從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重變化的快慢情況．例1解：從出生到第3個(gè)月，嬰兒體重的平均變化率為從第6個(gè)月到第12個(gè)月，嬰兒體重的平均變化率為t/月W/kg639123.56.58.611O該嬰兒從出生到第3個(gè)月體重增加的速度比第6個(gè)月到第12個(gè)月體重增加的速度要快.這兩種不同的變化率的實(shí)際意義是什么？數(shù)學(xué)應(yīng)用甲乙水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙(如圖)，t秒鐘后容器甲中水的體積為V(t)=5e

0.1t(單位cm3)，計(jì)算第一個(gè)10秒內(nèi)V的平均變化率．這種變化的實(shí)際意義是什么？

平均變化率的絕對(duì)值較大，則變化較快解答：負(fù)號(hào)表示容器甲中的水在減少例2

已知函數(shù),分別計(jì)算函數(shù)及在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上的平均變化率.

例3解:函數(shù)在[-3，-1]上的平均變化率為

函數(shù)在[0，5]上的平均變化率為

函數(shù)在[-3，-1]上的平均變化率為

函數(shù)在[0，5]上的平均變化率為[m,n](m<n)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n](m<n)上的平均變化率與區(qū)間的長(zhǎng)度和位置無(wú)關(guān)，恒為直線y=kx+b的斜率k.ABOxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)△y△x例4

已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率：(5)[1，1.001](4)[1，1.01];(3)[1，1.1]；(2)[1，2]；(1)[1，3]；(5)[0.99，1];(4)[0.9，1];(3)[0，1]；(2)[-1，1]；(1)[-2，1]；(6)[0.999，1]32.12.0012.014011.991.9-1越來(lái)越趨近于21.999A組B組越來(lái)越趨近于2用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x2—x1很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。由以上例題你對(duì)平均變化率有怎樣的認(rèn)識(shí)？平均變化率體現(xiàn)變化的結(jié)果，并沒(méi)有體現(xiàn)變化的過(guò)程●用“平均變化率”來(lái)表示變化的快慢●平均變化率刻畫了曲線的陡峭程度●函數(shù)的平均變化率在數(shù)值上等于指定區(qū)間兩端點(diǎn)連線的斜率，

平均變化率的值可正、可負(fù)、也可以為零

●函數(shù)的平均變化率反映變化的結(jié)果，不能體現(xiàn)函數(shù)值較細(xì)微的變化解題感悟變量變化快慢問(wèn)題生活化數(shù)學(xué)化平均變化率曲線的陡峭程度視覺(jué)化數(shù)量化形的角度數(shù)的角度概念幾何意義曲線越陡峭，變化越快曲線越平緩，變化越慢課堂總結(jié)

如何精確刻畫變化？1.我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來(lái)越慢。從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢?2.一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移S與時(shí)間t滿足S(t)=t2,如何刻畫t=1這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的快慢程度呢？(位移單位為m,時(shí)間單位為s)。課后思考謝謝，祝好！11、有時(shí)候輸了起點(diǎn)，但至少我們還有拐點(diǎn)，所以，無(wú)論如何，都不要放棄，相信自己，你可以。17、許多人缺少的不是美，而是自信的氣質(zhì)，記住：自信本身就是一種美。有了積極的心態(tài)就容易成功。8、不論你覺(jué)得自個(gè)多么的意外，持久有人比你更加意外。9、做你沒(méi)做過(guò)的事情叫成長(zhǎng)，做你不愿意做的事情叫改變，做你不敢做的事情叫突破。1、順境為成功者鋪設(shè)軌道，逆境為杰出者打造天梯。1、受挫一次，對(duì)工作和生活的理解加深一層。11、如果你準(zhǔn)備結(jié)婚的話，告訴你一句非常重要的哲學(xué)名言，你一定要忍耐包容對(duì)方的缺點(diǎn)。17、最值得欣賞的風(fēng)景，是自己奮斗的足跡。9、抱最大的希望，為最大的努力，做最壞的打算。19、只有堅(jiān)持不斷努力，才能進(jìn)步，才能長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。13、只有愚蠢的人會(huì)哭著乞求被信任。15、有人感激過(guò)你的善良嗎，貌似他們只會(huì)得寸進(jìn)尺。8、青春不止，創(chuàng)業(yè)不息、相信自己，永不放棄。17、我常常告訴自己，受委屈時(shí)淚水要往肚子里咽，淚水是流給自己的，不是流給別人看的。6、給自己一個(gè)微笑，說(shuō)自己很好!你就是自己的神!20、我要你靜心學(xué)習(xí)那份等待時(shí)