人教A版高中數(shù)學選修1-2-2.2.2-反證法

人教A版選修1-2第二章推理與證明

2.2.2間接證明---反證法綜合法條件結論數(shù)學推理條件定理公理定義PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…由因導果復習分析法要證：

只要證：

只需證：

顯然成立上述各步均可逆所以結論成立格式復習QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件…執(zhí)果索因1.直接證明的方法:(1)比較法:作差比較法;作商比較法;(2)綜合法:(3)分析法:2.沒有特別要求的證明題:

用分析法尋找證明思路,用綜合法寫出證明過程!1.了解反證法是間接證明的一種基本方法；2.識別反證法所適用的數(shù)學問題；3.理解反證法的思考過程（反設，歸謬）；4.會用反證法解決數(shù)學問題.2.2.2反證法學習目標：思考：

將9個球分別染成紅色或白色，那么無論怎樣染，至少有5個球是同色的。你能證明這個結論嗎？1.間接證明（基本概念）間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法.反證法是一種常用的間接證明方法.新課講解2.假設原命題

(即在原命題的條件下，結論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明________，從而證明了

，這樣的證明方法叫做反證法.3.反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個矛盾可以是與

矛盾，或與假設矛盾，或與

矛盾等.不成立假設錯誤原命題成立已知條件定義、公理、定理、事實4.反證法解題的實質：否定結論，導出矛盾，從而證明原結論正確.5.反證法的思維方法：正難則反反證法定義:一、提出假設二、推理論證三、得出矛盾四、結論成立6.反證法的一般步驟類型一用反證法證明否定性命題例1：設{an}是公比為q的等比數(shù)列.設q≠1，證明：數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列.7.反證法所適用的證明問題

用反證法證明否定性命題的適用類型：結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法.4.已知，求證：方程沒有負數(shù)根2.求證:不可能是同一個等差數(shù)列中的三項.3.已知0<a,b,c<1,求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不能都大于1/4類型二用反證法證明“至多、至少”類問題1.已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點.2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實根.3.用反證法證明：關于x的方程x2＋4ax－4a

＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－

2a＝0，當a≤－

或a≥－1時，

至少有一個方程有實數(shù)根.類型三用反證法證明唯一性命題例3

求證：方程2x＝3有且只有一個根.用反證法證明唯一性命題的類型：以“有且只有”，“只有一個”，“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題。宜用反證法證明的題型

（1）以否定性判斷作為結論的命題.（2）某些定理的逆命題.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題.（4）關于“唯一性”結論的命題.（8）涉及各種“無限”結論的命題等.（7）有些基本定理或某一知識體系的初始階段.（6）一些不等量命題的證明.（5）解決整除性問題.原詞語否定詞原詞語否定詞等于任意的是至少有一個都是至多有一個大于至少有n個小于至多有n個對所有x,成立對任何x，不成立

準確地作出反設(即否定結論)是非常重要的，下面是一些常見的結論的否定形式.

不是不都是不大于大于或等于一個也沒有至少有兩個至多有（n-1)個至少有（n+1)個存在某x，不成立存在某x,成立不等于某個原詞語否定詞p或qp且q￢p且￢q￢p或￢q1.寫出下列各結論的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數(shù)；（4）a⊥ba<0b是0或負數(shù)a不垂直于ba不平行b練習2.用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角”時，應假設

____________.三角形中有兩個或三個角是直角3.否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設為（）A.a，b，c都是奇數(shù)B.a，b，c都是偶數(shù)C.a，b，c中至少有兩個偶數(shù)D.a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)D4.用反證法證明（填空）：在三角形的內角中，至少有一個角不小于60°已知：如圖，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的內角求證：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一個角不小于600.證明：假設所求證的結論不成立，即∠Ａ＿＿60°，∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜1800這于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假設＿＿＿＿＿＿，所以，所求證的結論成立．＜＜＜三角形三個內角的和等于180°不成立ＡＢＣ5.求證：在同一平面內,如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內,且l1∥l2,l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2

經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行這與“_________________________________________”矛盾.證明:假設____________,那么_________.因為已知_________,所以_________,即求證的命題正確.所以過直線l2外一點P,有兩條直線和l2平行,假設推理矛盾假設不成立命題成立例1、已知a≠0，證明：關于x的方程ax=b有且只有一個根.分析：由于a≠0，因此方程至少有一個根x=。從正面較難說清為什么只有這個根，我們采用反證法，即證明如果不只一個根則會導致矛盾。

典例剖析27例1：已知a≠0，證明：關于x的方程ax=b有且只有一個根。28練習：課本43頁練習用反證法證題時,應注意的事項

:

（1）周密考察原命題結論的否定事項，防止否定不當或有所遺漏；（2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真?zhèn)涡?；?）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結果是錯誤的。

全課總結1、知識小結：反證法證明的思路：假設命題的結論不成立→正確的推理,得出矛盾→否定假設，肯定待證明的命題2、重、難點提示:

反設是反證法的基礎；歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式。32例2:已知直線

和平面,如果且,求證:.b例3.已知：求證：（2）中至少有一個不小于.（1）作業(yè)：

課本44頁習題2.2A組第3題

再見20、不要為已消逝之年華嘆息，須正視欲匆匆溜走的時光。10、青春，自強，努力，拼搏，認真去實現(xiàn)自己的價值。2、我窮，但是我有尊嚴。我胖，但是我有目標。坦然面對一切。11、如果你準備結婚的話，告訴你一句非常重要的哲學名言，你一定要忍耐包容對方的缺點。1、生活是一面鏡子。你對它笑，它就對你笑;你對它哭，它也對你哭。1、讓生活的句號圈住的人，是無法前時半步的。14、沒有追求和付出，哪來的成功，誰說輝煌背后沒有痛苦，只要為了夢想不服輸，再苦也不停止腳步。7、許多人企求著生活的完美結局，殊不知美根本不在結局，而在于追求的過程。11、女生只有在自己喜歡的男生面前可以變成女生，其他時候必須像一個爺們去奮斗。13、作了好事受到職責而堅持下去，這才是奮斗的本色。8、被烏云遮蓋后的太陽，依然可以發(fā)光發(fā)亮。被石頭絆倒后的你，