2023-2024學(xué)年青島市58中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期初檢測卷附答案解析

-2024學(xué)年青島市58中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期初檢測卷2024.2注意事項：1.本試卷分第I卷和第II卷兩部分.第I卷為選擇題，共58分；第II卷為非選擇題，共92分，滿分150分，考試時間為120分鐘.2.第I卷共2頁，請將選出的答案標(biāo)號（A?B?C?D）涂在答題卡上.第II卷共2頁，將答案用黑色簽字筆（0.5mm）寫在答題紙上.第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．直線和直線垂直，則的值為（

）A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-12．雙曲線的焦距長為8，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A．B．C． D．3．若數(shù)列滿足，且，，則（

）A． B． C． D．4．已知非零向量不共線，如果，則四點（

）A．共線 B．恰是空間四邊形的四個頂點 C．共面 D．不共面5．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

6．在四棱錐中，底面，底面是正方形，且，為的重心，則與底面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．正方體的棱長為2，MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個點之間的線段成為球的弦），P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦MN最長時，的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知，若存在，使得，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．二?多選題：共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得2分?3分或4分.有選錯的得0分.9．已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．的一個周期是4C．是偶函數(shù) D．10．已知拋物線的焦點為，圓與拋物線交于兩點，點為劣弧上不同于的一個動點，過點作平行于軸的直線交拋物線于點，則下列四個命題中正確的是（

）A．點的縱坐標(biāo)的取值范圍是B．等于點到拋物線準(zhǔn)線的距離C．圓的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為2D．周長的取值范圍是11．公比為的等比數(shù)列滿足：，記，則下列說法中正確的有（

）A．B．C．當(dāng)取最小值時，D．當(dāng)取最小值時，使成立的最小值是17.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題滿分5分，共15分.12．?dāng)?shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式為.13．如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，分別是的中點，過點的平面記為，則平面截直四棱柱所得截面的面積為.

14．已知雙曲線的左?右焦點分別為，焦距為6，其中一條漸近線方程為，點，若點在雙曲線上，且滿足，則外接圓的面積為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或驗算步驟.15．如圖，在以為頂點的五面體中，平面為等腰梯形，，平面平面.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.16．已知函數(shù)，(1)若，求函數(shù)在處的切線方程：(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17．若數(shù)列滿足：對，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為d的“準(zhǔn)等差數(shù)列”.(1)數(shù)列中，，對，都有.求證：數(shù)列為“準(zhǔn)等差數(shù)列”，并求其通項公式；(2)數(shù)列滿足：.將（1）中數(shù)列中的項按原有的順序插入數(shù)列中，使與之間插入項，形成新數(shù)列.求數(shù)列前100項和.18．已知橢圓的上頂點為，右焦點為，原點到直線的距離為的面積為1.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與交于兩點，過點作軸于點，過點作軸于點與交于點.①求證：點在定直線上，②求的面積的最大值.19．函數(shù).(1)若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，當(dāng)時，恒有，求實數(shù)的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)，當(dāng)時，的值域為.若存在，請給出證明，若不存在，請說明理由.1．B【分析】由兩直線垂直直接計算.【詳解】由兩直線垂直可知，解得或，故選：B.2．D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程表示焦距長，進而求出，得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為雙曲線的焦距長為8，所以，，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D.3．A【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)出數(shù)列的首項，并得到為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解.【詳解】令，根據(jù)已知可得，令，則，所以，所以數(shù)列是首項和公比都為的等比數(shù)列，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列前項之和.所以.故選：A4．C【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可得解.【詳解】因為，顯然不共線，則三點不共線，所以，所以共面，又為公共始點，所以四點共面.故選：C.5．D【分析】根據(jù)奇偶性排除A，B，再根據(jù)得到D.【詳解】因為定義域為，，所以為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，排除A，B；因為，，所以，故C錯誤，D正確，故選：D.6．A【分析】建系，借助空間向量線面角的求法，求出與底面所成角的正弦值.【詳解】如圖分別以所在直線為軸?軸?軸建立直角坐標(biāo)系，由已知，得，則重心，因而，設(shè)與底面所成的角為，則.故選：A.7．B【分析】由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出，即可由范圍求得的最大值.【詳解】連接，如下圖所示：設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長度最大時，為球的直徑，由向量線性運算可知正方體的棱長為2，則球的半徑為1，，所以，而所以，即，的最大值為2故選：B8．A【分析】先討論、與1的大小關(guān)系確定，進而確定的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解.【詳解】①當(dāng)時，則，，又由，得，所以，則；②當(dāng)時，因為，，所以不存在，使得；③當(dāng)時，則，，又由，得，則，，令，因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則；綜上所述，得取值范圍為，故選：A.9．BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算可得從而可判斷B項，根據(jù)周期性與奇偶性可判斷A項，根據(jù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)運算可得，從而可判斷C項，在中，令代入計算可判斷D項.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，，所以，所以，即：，故的周期為4，所以，故的一個周期為4，故B項正確；，故A項錯誤；因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：，所以為偶函數(shù)，故C項正確；因為，所以，令，可得，解得：，故D項錯誤.故選：BC.10．BCD【分析】畫出圖形，然后得出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，圓的圓心和半徑，兩點的縱坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，與正半軸的交點為，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，聯(lián)立圓的方程和拋物線的方程可得兩點的縱坐標(biāo)為3，所以點的縱坐標(biāo)，故A錯誤，由拋物線的定義可得等于點到拋物線準(zhǔn)線的距離，故B正確，圓的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，故C正確，的周長為，故D正確.故選：BCD11．BCD【分析】由，得判斷A；依題意，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性求出取極小值，得到，判斷B；依題意取最小值為，求出判斷C；根據(jù)，求出，進而得到使成立的最小值，判斷D.【詳解】選項A：是等比數(shù)列，，故A錯誤；選項B：又，所以，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，在時，取最小值，故B正確；選項C：由題意，故C正確；選項D：，故D正確，故選：BCD.12．【分析】根據(jù)遞推公式，累加即可求解.【詳解】由，可得，將上述式子累加，得，所以，又因為滿足上式，所以，因為，所以，故答案為：.13．【分析】設(shè)直線分別于得延長線交于點，連接，交于點，連接，交于點，得到截面，再利用直四棱柱的柱長和結(jié)構(gòu)特征得到截面的各邊長，利用分割法求得截面面積即可.【詳解】設(shè)直線分別于得延長線交于點，連接，交于點，連接，交于點，連接，所以平面截直四棱柱的截面為五邊形.由平行線分線段比例可知：，故，故為等腰直角三角形，所以，故，則，.連接，易知，所以五邊形可以分成等邊三角形和等腰梯形兩部分，等腰梯形的高，則等腰梯形的面積為.又，所以五邊形的面積為，

故答案為：.14．【分析】根據(jù)雙曲線焦距為求出，根據(jù)雙曲線漸近線方程即可求出雙曲線方程，根據(jù)，利用，即可求出，設(shè)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于的等式即可求出，根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑即可求解.【詳解】

因為雙曲線焦距為，所以，因為雙曲線漸近線方程為，所以，根據(jù)，所以，，所以，因為，，所以，因為，所以，因為，所以，因為，因為點在第一象限，所以，所以，設(shè)，所以，所以，所以，因為，所以外接圓半徑為，所以外接圓的面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于求出，設(shè)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于的等式即可求出的分析.15．(1)證明見解析(2).【分析】（1）作于H，連BD，證明，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）在平面內(nèi)過點P作，以P為原點建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算作答.【詳解】（1）在等腰梯形中，作于，連，則，且，則，即，而，因此，，即，因面面，面面平面，而，則平面，又平面，于是有，又平面，則有平面又平面，因此，（2）在面內(nèi)過點作，因面面，面面，則面，因此，兩兩垂直，以點為原點，建立如圖直角坐標(biāo)系，令，則，有，從而得，設(shè)平面的一個法向量，則,令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜率式方程可得切線的方程；（2）當(dāng)時，，恒成立，當(dāng)時，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，得到在單調(diào)遞減，得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，所以，所以在處的切線方程，即（2）時，恒成立，即恒成立①時，，恒成立②時，恒成立，即令令時，，即恒成立，則在單調(diào)遞增，，所以時，時，，所以恒成立，即在單調(diào)遞減，，所以17．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)等差數(shù)列的定義證明即可，然后分奇偶求出數(shù)列的通項即可；（2）由題意可知，在數(shù)列的前100項中，數(shù)列一共有94項，共中47項為奇數(shù)項，47項為偶數(shù)項，數(shù)列一共有6項，再利用分組求和法即可求出答案.【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得，所以數(shù)列為“準(zhǔn)等差數(shù)列”，∵，∴，∴的奇數(shù)項成以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，，的偶數(shù)項成以0為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，，綜上可得；（2）由題意可知，在數(shù)列的前100項中，數(shù)列一共有94項，共中47項為奇數(shù)項，47項為偶數(shù)項，數(shù)列一共有6項，∴.18．(1)(2)①證明見解析；②.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，可求得答案;（2）①當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線方程為，并聯(lián)立橢圓方程，得到根于系數(shù)的關(guān)系式，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，進而得到證明；②利用三角形面積之間的關(guān)系得到，將換元，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題知，因為的面積為1，所以.又直線的方程，即，因為點到直線的距離為，所以，解得，所以陏圓的方程為.（2）①由題意，當(dāng)直線斜率為0時，不符合題意；當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，易知.設(shè)，則，因為軸，軸，所以，所以直線

(1)，直線

(2)，聯(lián)立(1)(2)解得，所以點在定直線上②因為與直線平行，所以因為所以，令所以當(dāng)且僅當(dāng)是等號成立所以的面積的最大值為.19．(1)(2)(3)存在，證明見解析【分析】（1）由題意可得函數(shù)在區(qū)間上存在極值，即在上有實數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)解得即可；（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，故時，恒有，等價于，在上恒成立．令，則上述問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)解得即可；（3）由（1）知，在時，，．結(jié)合函數(shù)的圖象與直線的交點可知，存在實數(shù)m，n符合題意，其中n=1．故只要證明在內(nèi)有一解，即在內(nèi)有一解，令，利用判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)在上有零點，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，，，解得，即實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，，由得，即，恒成立.令，則上述問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上恒成立，得在上恒成立，而