2024年高中物理新教材同步 必修第二冊 第7章 2　萬有引力定律

2萬有引力定律[學習目標]1.了解推導行星與太陽之間引力表達式的方法。2.體會從行星運動規(guī)律到萬有引力定律的建立過程。3.理解萬有引力定律的內(nèi)容、含義及適用條件(重點)。4.認識萬有引力定律的普遍性，并能用來解決實際問題(重難點)。一、行星與太陽間的引力行星與太陽間引力的得出過程(1)太陽與行星間引力的方向沿著兩者的連線。(√)(2)太陽與行星間的引力公式F＝Geq\f(m太m,r2)中，G與太陽、行星都沒有關(guān)系。(√)(3)太陽對行星的引力大小等于行星對太陽的引力大小。(√)(4)太陽對行星的引力與行星的質(zhì)量成正比，與太陽質(zhì)量無關(guān)。(×)二、月—地檢驗1．檢驗?zāi)康模簷z驗地球繞太陽運動、月球繞地球運動的力與地球?qū)渖咸O果的吸引力是否為同一性質(zhì)的力。2．檢驗方法：(1)假設(shè)地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應(yīng)該滿足F＝Geq\f(m月m地,r2)，根據(jù)牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝Geq\f(m地,r2)。(2)假設(shè)地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度a蘋＝Geq\f(m地,R2)。(3)eq\f(a月,a蘋)＝eq\f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq\f(a月,a蘋)＝eq\f(1,602)。(4)結(jié)論：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規(guī)律。三、萬有引力定律月—地檢驗結(jié)果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規(guī)律。一切物體間都存在這樣的引力，為什么我們感覺不到周圍物體的引力呢？(1)假若你與同桌的質(zhì)量均為60kg，相距0.5m。粗略計算你與同桌間的引力(已知G＝6.67×10－11N·m2/kg2)。(2)一粒芝麻的質(zhì)量大約是0.004g，其重力約為4×10－5N，是你和你同桌之間引力的多少倍？(3)在對一個人受力分析時需要分析兩個人之間的引力嗎？答案因為我們與周圍物體間的引力很小，所以我們感覺不到。(1)F萬＝Geq\f(m2,r2)＝6.67×10－11×eq\f(602,0.52)N≈1×10－6N(2)芝麻的重力是你和你同桌之間引力的40倍。(3)兩個人之間的引力很小，所以兩個人靠近時，不會吸引到一起。故在進行受力分析時，一般不考慮兩物體間的引力，除非是物體與天體、天體與天體間的相互作用。1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量。3．引力常量牛頓得出了萬有引力與物體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但沒有測出引力常量G的值。英國物理學家卡文迪什通過實驗推算出引力常量G的值。通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。4．對萬有引力定律的理解(1)普遍性：宇宙間任何兩個有質(zhì)量的物體之間都存在著相互吸引的力。(2)相互性：兩個有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力。(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用。(4)適用范圍：只適用于可以看作質(zhì)點的兩個物體間的相互作用；若是兩個均勻的球體，應(yīng)是兩球心間的距離。(1)由于天體間距離很遠，在研究天體間的引力時可以將它們視為質(zhì)點。(√)(2)由萬有引力定律F＝eq\f(Gm1m2,r2)可知，r→0時，F(xiàn)→∞。(×)(3)一個均勻球體與球外一個質(zhì)點間適用于萬有引力定律，其中r為球心到質(zhì)點間的距離。(√)(4)不能看作質(zhì)點的兩物體間不存在相互作用的引力。(×)例1(2022·防城港市測試)兩個質(zhì)量相等的均勻球形物體，兩球心相距r，他們之間的萬有引力為F，若它們的質(zhì)量都加倍，兩球心的距離也加倍，它們之間的萬有引力為()A．4FB．FC.eq\f(1,4)FD.eq\f(1,2)F答案B解析兩個球體相距r時，它們之間的萬有引力為F＝eq\f(Gm1m2,r2)，若它們間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，兩個物體的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?倍，則它們之間的萬有引力為F′＝eq\f(G·2m1·2m2,2r2)＝F，故B正確，A、C、D錯誤。例2(2022·淮北市測試)如圖所示為兩個半徑分別為r1＝0.40m、r2＝0.60m且質(zhì)量分布均勻的實心球，質(zhì)量分別為m1＝4.0kg，m2＝1.0kg，兩球間距離為r0＝1.0m，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則兩球間萬有引力的大小為()A．6.67×10－11NB．2.668×10－10NC．小于6.67×10－11ND．不能確定答案A解析根據(jù)萬有引力定律可得F＝Geq\f(m1m2,r1＋r0＋r22)＝6.67×10－11×eq\f(4.0×1.0,0.40＋1.0＋0.602)N＝6.67×10－11N，故A正確，B、C、D錯誤。例3一個質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內(nèi)部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示。已知挖去小球的質(zhì)量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質(zhì)量為m2的質(zhì)點，求：(引力常量為G)(1)被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力為多大？(2)剩余部分對m2的萬有引力為多大？答案(1)Geq\f(mm2,25r2)(2)Geq\f(41mm2,225r2)解析(1)被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力大小為F2＝Geq\f(mm2,d－r2)＝Geq\f(mm2,25r2)(2)將挖去的小球填入空穴中，由V＝eq\f(4,3)πR3、m＝ρV可知，大球的質(zhì)量為8m，則挖去小球前大球?qū)2的萬有引力大小為F1＝Geq\f(8m·m2,6r2)＝Geq\f(2mm2,9r2)故剩余部分對m2的萬有引力大小為F＝F1－F2＝Geq\f(41mm2,225r2)。四、萬有引力和重力的關(guān)系如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規(guī)則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。(1)同一個人在地球不同位置受到的萬有引力大小是否相等？(2)人在地球上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力來源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？(3)人在A、B、C三位置的重力與萬有引力有何關(guān)系？答案(1)根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(Mm0,R2)可知，同一個人在地球的不同位置，受到的萬有引力大小相等。(2)人在位置B、C隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力和支持力的合力提供人隨地球轉(zhuǎn)動需要的向心力；根據(jù)F向＝mω2r可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。人在位置A、C所受重力指向地心，A所需向心力為零，C所需向心力指向地心；在位置B所需向心力與萬有引力不共線，所受重力及其所需向心力均不指向地心。(3)重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置時的重力與萬有引力相等，當人處于位置B、C時，重力為萬有引力的一個分力；人靜止在地球表面時，所受重力和支持力等大反向。1．在地球上不同的緯度，萬有引力和重力的關(guān)系不同：(1)如圖甲所示，在赤道上：重力和向心力在一條直線上，mg＝eq\f(GMm,R2)－mω2R。(2)如圖乙所示，在兩極上：F向＝0,mg＝eq\f(GMm,R2)。(3)如圖丙所示，在一般位置，重力是萬有引力的一個分力，mg＜eq\f(GMm,R2)。(選填“>”“<”或“＝”)2．越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即mg＝eq\f(GMm,R2)。為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的??？答案地球表面重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，地球上空h高度，萬有引力等于重力，即eq\f(GMm,R＋h2)＝mg′，所以h高度處的重力加速度g′＝eq\f(GM,R＋h2)，則g′<g。例4(2022·上海市奉賢區(qū)致遠高級中學高一期末)重力是由萬有引力產(chǎn)生的，以下說法中正確的是()A．同一物體在地球上任何地方的重力都一樣B．物體從地球表面移到空中，其重力變大C．同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些D．繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態(tài)，不受地球的引力答案C解析不同的地方，由于重力加速度不同，導致重力不同，在地球表面，緯度越高，重力加速度越大，則重力越大，所以同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些，故A錯誤，C正確；物體從地球表面移到空中，重力加速度變小，則重力變小，故B錯誤；飛船繞地球做勻速圓周運動，所受地球的引力提供向心力，飛船中的物體處于失重狀態(tài)，故D錯誤。例5(2023·漯河市開學考試)2022年8月20日1時37分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將遙感三十五號04組衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功。通過觀察火箭上搭載物視重(物體與支持物相對靜止且不受地球、支持物以外其他物體的作用力時，物體對支持物的作用力)的變化可以測量火箭豎直向上運動的加速度。假設(shè)在火箭上放置質(zhì)量為m＝1.6kg的物體，當火箭上升到距離地面高度為地球半徑3倍時，檢測儀器顯示物體的視重為9N，取地球表面重力加速度g＝10m/s2，忽略地球自轉(zhuǎn)，則火箭豎直向上運動的加速度為()A．2m/s2 B．3m/s2C．5m/s2 D．6m/s2答案C解析設(shè)距離地面高度為地球半徑3倍處的重力加速度為g1，在此位置處由牛頓第二定律得F－mg1＝ma，其中F＝9N，設(shè)地球半徑為R，在距離地面高度為地球半徑3倍處，由萬有引力等于重力有Geq\f(Mm,4R2)＝mg1，在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，聯(lián)立解得a＝5m/s2，故選C。課時對點練考點一對太陽和行星間引力的理解、月一地檢驗1．(多選)把行星繞太陽的運動看成勻速圓周運動，關(guān)于太陽對行星的引力，下列說法中正確的是()A．太陽對行星的引力等于行星做勻速圓周運動的向心力B．太陽對行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，與行星和太陽間的距離成反比C．太陽對行星的引力規(guī)律是由實驗得出的D．太陽對行星的引力規(guī)律是由開普勒定律和行星繞太陽做勻速圓周運動的規(guī)律等推導出來的答案AD解析太陽對行星的引力等于行星圍繞太陽做勻速圓周運動的向心力，它的大小與行星和太陽質(zhì)量的乘積成正比，與行星和太陽間的距離的平方成反比，A正確，B錯誤；太陽對行星的引力規(guī)律是由開普勒定律、牛頓運動定律和勻速圓周運動規(guī)律推導出來的，C錯誤，D正確。2．若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗證()A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的eq\f(1,602)B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的eq\f(1,602)C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的eq\f(1,6)D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的eq\f(1,60)答案B解析若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，需要驗證月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的eq\f(1,602)，B正確?？键c二萬有引力定律引力常量3．下列關(guān)于萬有引力定律的說法正確的是()A．兩物體間的萬有引力不遵循牛頓第三定律B．兩物體間的距離趨近0時，物體不能看成質(zhì)點C．只適用于質(zhì)量、半徑較小的天體，天體半徑大就不能用此公式計算萬有引力D．牛頓總結(jié)得出萬有引力定律的表達式，同時也測定出了引力常量G的值答案B解析萬有引力定律適用于任何兩個可以看成質(zhì)點的物體之間或勻質(zhì)球體之間的引力計算，說明兩個物體間的萬有引力是相互作用的兩個力，因此遵循牛頓第三定律，A、C錯誤；兩物體間的距離趨近0時，物體不能看成質(zhì)點，公式不再適用，B正確；牛頓總結(jié)得出萬有引力定律的表達式，公式中引力常量G的值是卡文迪什通過實驗測出來的，故D錯誤。4．(2023·廣雅中學期末)航天員從中國空間站乘坐返回艙返回地球的過程中，隨著返回艙離地球越來越近，地球?qū)教靻T的萬有引力()A．變大 B．不變C．變小 D．大小變化無法確定答案A解析根據(jù)F萬＝Geq\f(Mm,r2)可知，返回艙離地球越來越近，則地球與航天員之間的距離r越來越小，可知地球?qū)教靻T的萬有引力F萬逐漸變大，故選A。5．(2023·佛山市月考)中國空間站軌道高度為400～450千米，地球半徑約為6370千米。當航天員出艙在空間站艙外作業(yè)時，其所受地球的引力大約是他在地面所受地球引力的()A．0.9倍B．0.25倍C．0.1倍D．0.01倍答案A解析設(shè)地球半徑為R，空間站的軌道高度為h，航天員的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，在地球表面時F1＝eq\f(GMm,R2)，在空間站時F2＝eq\f(GMm,R＋h2)，代入數(shù)據(jù)可得eq\f(F2,F1)≈0.9，故選A?？键c三萬有引力和重力的關(guān)系6．(多選)下列關(guān)于重力和萬有引力的說法正確的是()A．重力和萬有引力是不同性質(zhì)的力B．在不考慮地球自轉(zhuǎn)影響的情況下，可以認為地球表面物體的重力等于地球?qū)λ娜f有引力C．由于地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力跟物體所處的緯度有關(guān)D．在地球兩極的物體，物體的重力等于萬有引力答案BCD7．(2022·北京市第三十五中學高一期中)地球上，在赤道上的一物體A和在臺州的一物體B隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運動，如圖，它們的線速度大小分別為vA、vB，角速度分別為ωA、ωB，重力加速度分別為gA、gB，則()A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA>gBB．vA<vB，ωA<ωB，gA>gBC．vA>vB，ωA＝ωB，gA>gBD．vA>vB，ωA＝ωB，gA<gB答案D解析地球上的點除兩極外，相同時間內(nèi)繞各自圓心轉(zhuǎn)過角度相同，所以角速度相同，即ωA＝ωB；根據(jù)v＝ωr可知，角速度相同時，做圓周運動的半徑越大，線速度越大，則vA>vB；地球上隨緯度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，兩極重力加速度最大，則gA<gB，故A、B、C錯誤，D正確。8．(2023·蘇州中學高一期中)在電影《流浪地球2》中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質(zhì)量為75kg的人重力為480N。已知地球半徑為6371km，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則此時太空電梯距離地面的高度約為()A．1593km B．3584kmC．7964km D．9955km答案A解析不考慮地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，設(shè)此時太空電梯處的重力加速度為g′，則g′＝eq\f(G′,m)＝6.4m/s2，則有eq\f(GMm,R＋h2)＝mg′，eq\f(GMm,R2)＝mg，聯(lián)立解得：h≈1593km，故選A。9．(2020·全國卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析萬有引力表達式為F＝Geq\f(m1m2,r2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，故選B。10.(2021·山東卷)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經(jīng)歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1答案B解析懸停時所受平臺的作用力等于萬有引力，根據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,R火2)∶Geq\f(M月m玉兔,R月2)＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故選B。11．(多選)(2023·銀川一中高一期中)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說法正確的是()A．質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mg0B．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為mgC．地球的半徑為eq\f(g0－gT2,4π2)D．地球自轉(zhuǎn)的角速度為eq\f