state estimation for robotics一點(diǎn)學(xué)習(xí)記錄

6.3.3Frenet-Serret系是值得研究清楚的。圖6.3.3Frenet-Serret系是值得研究清楚的。圖6.4描述了一個(gè)點(diǎn)V在空間中做平滑運(yùn)動(dòng)。Frenet-Serret坐標(biāo)系附著在該點(diǎn)上，第一個(gè)軸指向運(yùn)動(dòng)方向（曲線的切線方向），第的切向，法向和副法向。這個(gè)坐標(biāo)系是由兩個(gè)法國數(shù)學(xué)家各自獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)它之后被命名的：JeanFrenet1847年的論文和JosephAlfredSerret1851年）==,,6自由度速度向量（在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中描述）如果我們6自由度速度向量（在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中描述）如果我們想使用??????（例如上一節(jié)所述的原因）而不是??????，我們隊(duì)上式進(jìn)分，然后輸出?????????1，或者我們可以積分xy然后限制τ06.4（一個(gè)安裝有傳感器的裝置的參考坐標(biāo)系示意圖，傳感器觀測(cè)世界坐標(biāo)系中一點(diǎn)6.4（一個(gè)安裝有傳感器的裝置的參考坐標(biāo)系示意圖，傳感器觀測(cè)世界坐標(biāo)系中一點(diǎn)我們有一個(gè)慣性坐標(biāo)系，??，一個(gè)裝置的體坐標(biāo)系，??，一個(gè)傳感器坐標(biāo)??參數(shù)通常是固定的或者一些標(biāo)定來確定或者直接被打包在狀態(tài)估計(jì)過程中。在P?位置處的傳感6.4.1SSC的距離稱為焦距，在這個(gè)理想相機(jī)模型中為16.6本質(zhì)矩陣（Essential那么這兩次觀測(cè)到歸一化那么這兩次觀測(cè)到歸一化圖像坐標(biāo)????和????彼此通過下面的約束相關(guān)在計(jì)算機(jī)視覺中??????稱為本質(zhì)矩陣對(duì)于j=a,b系將歸一化的圖像坐標(biāo)(??系將歸一化的圖像坐標(biāo)(????????)轉(zhuǎn)換為像素坐標(biāo)(??,????，焦距的垂直像素表達(dá)????，以及實(shí)際圖像原點(diǎn)相對(duì)于圖像平面與光軸交點(diǎn)機(jī)標(biāo)定的時(shí)候確定以消除鏡頭的影響，因此我們可以認(rèn)為K是已知的。基礎(chǔ)矩陣（Fundamental=7Lie群7Lie群矩概念，叫做“不可交換群”（non-commutativegroup），并具有向量空間的某些供了一個(gè)關(guān)于李群的易理解的說明，Chirikjian(2009)從機(jī)器人領(lǐng)域來說是一個(gè)非常好7.1幾何表示位姿的特殊歐氏群SE(3)SO(3)7.1.1==即存在兩種可能性，選擇det??=1而且，零舉證不是一個(gè)有效的旋轉(zhuǎn)矩陣：0?SO(3)。沒有這些屬性（一些其他性質(zhì)），SO(3)就不是一個(gè)向量空間（至少不是??3×3的子空間） SO(3)類似，SE(3)也不是一個(gè)向量空間（至少不是一個(gè)??4×4）的子表7.1.1列出了我們這兩個(gè)李群矩陣滿足的群性質(zhì)。SO(3)的封閉性可以即如果??1??2∈????(3)，那么??1即如果??1??2∈????(3)，那么??1??2∈????(3)。SE(3)因?yàn)??1??2????(3)并且??1??2??1∈??3。從矩陣乘法的性質(zhì)可以得到這兩個(gè)群的結(jié)合律。這兩個(gè)群的幺元是各自的單位陣。最后從??????=??得到???1=????們可知一個(gè)SO(3)成員的逆依舊屬于SO(3)一個(gè)SE(3)成員的逆是由于????∈????(3)，???????∈??3和SE(3)7.1.2旋轉(zhuǎn)與SO(3)相關(guān)聯(lián)的李代數(shù)是質(zhì)是成立的。令Φ1=??∧，Φ2=∧∈12 so(3)位姿與SE(3)相關(guān)聯(lián)的李代數(shù)是 so(3)位姿與SE(3)相關(guān)聯(lián)的李代數(shù)是性質(zhì)是成立的。令????=??∧和????=∧∈稱為李代數(shù)，盡管它只是SE(3)7.1.3指數(shù)映射（Exponential∈7.1.3指數(shù)映射（Exponential∈旋轉(zhuǎn)對(duì)于旋轉(zhuǎn)，我們通過指數(shù)映射（ExponentialMap）建立SO(3)成員和這里C∈SO(3)并且??∈作（并不唯一??3（因此??∧∈????(3)）從數(shù)學(xué)上來講，從????(3)SO(3)的指數(shù)映射是滿射（多對(duì)一）。這意味著可以從多個(gè)????(3)來映射得到一SO(3)使用指數(shù)映射將????(3)映射到SO(3)。令??=????,這里??=|??|是旋轉(zhuǎn)的角度，留給讀者來證明。這說明對(duì)于每一個(gè)????3留給讀者來證明。這說明對(duì)于每一個(gè)????3都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)有效的CSO(3)m是任意的正整數(shù)，cos(?2πm)=cos(?)而且sin(?2πm)<另外，我們希望看到每一個(gè)CSO(3)可以由某個(gè)??R3個(gè)逆向的映射關(guān)系：??ln(??)?。我們將以封閉的形式將其給出。由于將一個(gè)這意味著??的解有很多個(gè)。通常我們會(huì)取|??|<??的一個(gè)解。然后將a這意味著??的解有很多個(gè)。通常我們會(huì)取|??|<??的一個(gè)解。然后將a和??結(jié)合定的。我們可以觀察??C將符號(hào)取反。這說明對(duì)于任意一個(gè)C∈SO(3)都可以由至少一個(gè)??∈??37.10的附近，??????=0，李代數(shù)僅僅是一個(gè)正這個(gè)例子中旋轉(zhuǎn)被限制在一個(gè)平面上（1），但是通常情況下李代數(shù)3。換言之，圖中的直線是三維李代數(shù)向量空間中的一個(gè)一位姿SE(3)和????(3)位姿SE(3)和????(3)之間的聯(lián)系T∈SE(3)，ξ∈??6（因此???????(3)）從????(3)到SO(3)的指數(shù)映射也是多對(duì)一的關(guān)系：即每ξ∈??6T∈SE(3)都可以由多為了說明多對(duì)一的性質(zhì)，我們首先進(jìn)行正向驗(yàn)證。從ξ=[??]∈??6J7.2提供了ξ6個(gè)元素中每個(gè)元素的改變是如何改變J7.2提供了ξ6個(gè)元素中每個(gè)元素的改變是如何改變下面我們反向來看這個(gè)問題，從T=[16?ξ=[??]∈??來生成。我們需要逆向的映射，ξ=ln(??)看到如何從C∈SO(3)得到??∈??3J已經(jīng)由??計(jì)算得到。最后我們用??和??∈??3來組成ξ∈??6T∈SE(3)可以由至少一個(gè)ξ∈??6SO(3)的Jacobian。在我們已經(jīng)定義了JJ和J=J和J=數(shù)性質(zhì)，在??2????m為非零整數(shù)時(shí)，JJ-1有時(shí)候我們也會(huì)遇到矩陣JJT和它的逆。從式7.37a≠兩者不能同時(shí)成立），這說明JJT是正定這里ξ=[??]∈??6，??=|??|7.1.47.1.4SE(3)成員的伴隨矩SE(3)的所有成員的伴隨矩陣的集合可以表示Ad(SE(3))也是一個(gè)李群，我們下面會(huì)說明這一對(duì)于封閉性，我們令??1????(??1)，??2????(??2????(3)上式對(duì)于任意的C∈SO(3)和v∈??3??=????(??)∈再加上連續(xù)性，這4個(gè)性質(zhì)說明Ad(SE(3))我們?cè)賮碛懻撘幌????(3)成員的伴隨陣。令??=??∧∈????(3)再加上連續(xù)性，這4個(gè)性質(zhì)說明Ad(SE(3))我們?cè)賮碛懻撘幌????(3)成員的伴隨陣。令??=??∧∈????(3)注意，對(duì)于SE(3)的伴隨我們使用大寫的符號(hào)Ad(?)，對(duì)于????(3)和Ad(SE(3))我們依舊略去證明括號(hào)性質(zhì)是成立的。令Ψ1=??，Ψ2=??∈12另一個(gè)要討論的問題是通過指數(shù)映射來建立Ad(SE(3))和ad(另一個(gè)要討論的問題是通過指數(shù)映射來建立Ad(SE(3))和ad(????(3))的關(guān)系此處??∈Ad(SE(3))，ξ∈??6（因此???