新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊訓(xùn)練1-2-1空間中的點直線與空間向量

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點、直線與空間向量課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.已知l1的方向向量為v1=(1,2,3),l2的方向向量為v2=(λ,4,6),若l1∥l2,則λ等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由l1∥l2,得v1∥v2,得1λ=24=32.空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是()A.[0,π] B.(0,π)C.0,π2答案C解析根據(jù)異面直線所成角定義,空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是0,3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,若E為A1C1的中點,則直線CE垂直于()A.BD B.AC C.A1D D.A1A答案A解析以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1.則C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12,12∴CE=12,12,1,AC=(1,1,0),BD=(1,1,0),A1D=(1,0,1),A1∵CE·BD=(1)×12+(1)×12+0×1CE·AC=1≠0,CE·A1D=32∴CE⊥BD.4.直線l1與l2的方向向量分別為a1,a2,若a1⊥a2,則l1與l2的位置關(guān)系為.

答案垂直5.在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是AC的中點,E是線段D1O上一點,且D1E=EO.求異面直線DE與CD1所成角的余弦值.解不妨設(shè)正方體的棱長為1,以DA,DC,DD則A(1,0,0),O12,12,0,C(0,1,0),D1(0,0,1),E14,14,12,于是DE=14,14,12,CD1則cos<DE,CD所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為366.已知圓柱的底面半徑為3,高為4,A,B兩點分別在兩底面圓周上,并且AB=5,求異面直線AB與軸OO'之間的距離.解如圖,直線AB與軸OO'之間的距離等于軸OO'與平面ABC的距離,由圖形可知,直線AB與軸OO'之間的距離等于點O'到BC的距離,∵AB=5,AC=4,且AC⊥BC,∴BC=52-42=3,∴△O'CB為等邊三角形,∴異面直線AB與軸關(guān)鍵能力提升練7.已知直線l1的方向向量a=(2,3,5),直線l2的方向向量b=(4,x,y),若兩直線l1∥l2,則x,y的值分別是()A.6和10 B.6和10C.6和10 D.6和10答案A解析由兩直線l1∥l2,得兩向量a,b平行,即2-4=-3x=5y,8.如圖,S是正三角形ABC所在平面外一點,M,N分別是AB和SC的中點,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,則異面直線SM與BN所成角的余弦值為()A.105B.C.1010 D.答案A解析不妨設(shè)SA=SB=SC=1,以S為坐標原點,SA,SB,SC所在直線分別為x軸,y軸,z軸則相關(guān)各點坐標為B(0,1,0),S(0,0,0),M12,12,0,N0,0,12因為SM=12,12,0,BN=0,1,12所以|SM|=22,|BN|=52,cos<SM,BN>=SM·因為異面直線所成的角為銳角或直角,所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為1059.如圖,在三棱錐SABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,則異面直線SB與AC之間的距離為.

答案3解析構(gòu)造如圖所示正方體.取AB的中點O,連接OD交AC于點E,連接OM交SB于點F,由平面幾何知識可知,OF=13OM,OE=13OD,所以EF∥13DM.又因為AC⊥BD,AC所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,因為EF∥13DM,所以AC⊥EF同理可證SB⊥DM,所以SB⊥EF.所以EF是異面直線AC和SB的公垂線段.所以EF=13DM=310.如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個命題中,正確命題的序號是.

答案②③④解析還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DE與MN為異面垂直.11.如圖,在四面體ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,設(shè)P為AC的中點,Q在AB上且AB=3AQ,證明:PQ⊥OA.證明如圖,連接OP,OQ,PQ,取O為坐標原點,過點O作OD⊥OA,以O(shè)A,OD,OC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz(如圖所示).則A(1,0,0),C(0,0,1),B12,32∵P為AC中點,∴P12,0,12.∴AB=32,32,0,又由已知,可得AQ=13AB=12,36,0.∴PQ=OQ-OP=0,36∵PQ·OA=0,∴PQ⊥OA,即12.如圖,直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點.(1)求cos<BA1,(2)求證:BN⊥平面C1MN.解以C為原點,CA,CB,CC1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系Cxyz.(1)依題意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),∴BA1=(1,1,2),CB1=(0,1,2),∴BA1·CB1=1×0+(1)×1+2×2=3,∴cos<BA1,(2)證明:依題意得C1(0,0,2),N(1,0,1),∴M12,12,2,∴C1M=12,12,0,C1N=(1,0,C1N·BN=1×1+0×(1)+(1)∴C1∴BN⊥C1M,BN⊥C1N,且C1M?平面C1MN,C1N?平面C1MN,C1M∩C1N=C1.∴BN⊥平面C1MN.學(xué)科素養(yǎng)拔高練13.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,求A1B與D1B1的距離.解在A1B上任取