北師大版初中數(shù)學八年級下冊導學案 第5章

5.1認識分式

第1課時分式的有關概念

學習目標：

1、了解分式的概念，明確分式和整式的區(qū)別

2、體會分式的意義，進一步發(fā)展符號感。

本節(jié)重難點：

分式的概念及分式在什么條件下有意義

中考考點：分式的概念及分式有意義的條件

預習作業(yè)：

請同學們預習作業(yè)教材P65~P67的內(nèi)容，在學習過程中請弄清以下幾個問題：

1.分式的概念:___________________________________________

A

2.分式B有意義的條件：___________________________________________

【引例】問題情景(1)：面對目前嚴重的土地沙化問題，某縣決定分期分批固沙造林，

一期工程計劃在一定期限內(nèi)固沙造林2400公頃，實際每月固沙造林的面積比原計劃多

30公頃，結果提前4個月完成原計劃任務，原計劃每月固沙造林多少公頃？

(1)這一問題中有哪些等量關系？

(2)如果設原計劃每月固沙造林X公頃，那么原計

劃完成一期工程需要個月，實際完成一期工程用了個月。根據(jù)題意，

可得方程.

問題情景(2)：正〃邊形的每個內(nèi)角為度。

問題情景(3)：新華書店庫存一批圖書，其中一種圖書的原價是每冊a元，

現(xiàn)降價X元銷售，當這種圖書的庫存全部售出時，其銷售額為。元.降價銷售開始時，

新華書店這種圖書的庫存量是多少？

分式的概念：______________________________________________________________________

A

分式B有意義的條件：____________________________________________________________

A

分式B無意義的條件：____________________________________________________________

注：1、整式和分式統(tǒng)稱為有理式

2、分式合=0,條件是A=0,BWO

例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式?

bv?113

(1)—,(2)2π+?(3)---(4)-^+%2χ5)-

2a4-x2π

例2：根據(jù)要求，解答下列各題

(1)當X為何值時，分式一L無意義？

x-2

Y1

(2)當X為何值時，分式一；+;有意義？

X+12x—1

Irl-I

(3)X為何值時，分式L二的值為0?

X-I

變式訓練：

2Y2_Q

已知分式一當X取什么值時：(1)分式有意義；(2)分式值為0?

拓展訓練

1、若分式；?三的值是零，求a的值。

α—3

2、若分式的值為負，求a的取值范圍。

5.1認識分式

第2課時分式的基本性質

學習目標：

1、掌握分式的基本性質和分式的約分；

2、掌握分式的符號法則

本節(jié)重難點：

分式的基本性質和分式的約分；

中考考點：分式的基本性質和分式的約分；

預習作業(yè)：

請同學們預習作業(yè)教材的內(nèi)容，在學習過程中請弄清以下幾個問題：

1.分式的基本性質：__________________________________________________________

2.什么叫分式的約分?根據(jù)是什么？

3.什么是最簡分式？4.分式的符號法則？

引例：

2

313a1nn

問題：三=二的依據(jù)是什么？你認為分式丁與不相等嗎？——與一呢？

626a2mn加

引出分式的基本性質：

式子表示：

【例11下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的?

（1）axa

白啜…(2)—=一

bxb

例2、化簡下列分式：

a2bcY一1

⑴(2)

ahx~2x+1

分式的約分:

注意事項：在應用分式的基本性質時，分式的分子與分母應同時乘以或除以同

一個公因式。

變式練習：

1.填空

(1)2x=()

X-y(x-"x+y)

3+2_1

(2)

J2-4(-----------'

2.化簡

5個a(a+b)

(1)(2)IkIBIl.c∣O∣m

20x2Vb(a÷b)

3、不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數(shù)是整數(shù):

①之⑵患⑶梟

4、不改變分式的值，把分式分子和分母的系數(shù)化為整數(shù):

12

(D-JQ—T—y?U.Zu—U

最簡分式的概念：

想一想：

⑴匚與士有什么關系？

y-y

⑵竽與-：有什么關系？：與-全有什么關系？

分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變

能力提高題：

1、已知@=4,求竺心?的值

bab

2、已知x:y:z=3:4:6,求分式一十二_^的值

X-y+z

「乙11c4八-2a+ab-2b

3、已知-----=3,求分式-------—■—的值

aba-ab-b

5.2分式的乘除法

學習目標：

1、經(jīng)歷探索分式的乘除法法則的過程，并結合具體情境說明其合理性；

2、會進行簡單分式的乘除法計算，具有一定的化歸能力；

3、在學知識的同時學到類比轉化的思想方法，受到思維訓練，能解決與分式有關的簡單實

際問題；

學習方法招主探究與小組合作交流相結合.

學習重難點：

重點：掌握分式的乘除法法則；

難點：熟練地運用法則進行計算，提高運算能力。

預習作業(yè)：

1、分式的乘除法法則（與分數(shù)的乘除法法則類似）：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積

的,把分母相乘的積作為積的:兩分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置

后再與被除式。

2、分式乘除法運算步驟和運算順序：

（1）步驟：對分式進行乘除運算時，先觀察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，

若能分解因式的應先分解因式。當分解因式完成以后，要進行，直到分子、分

母沒有時再進行乘除。

（2）順序：分式乘除法與整式乘除法運算順序相同，一般從左向右，有除法的先把除法轉

化為乘法。

【引例】

3、例1計算：（2）,?一三

分析：（1）題中分子、分母都是單項式，可直接運用法則計算；（2）應先分解因式，然后約

分，但需注意符號的變化。

變式訓練:

4、計算:

a2b2n24m2a2-4O2

(1)—?(2)------------(3)

ah2m5nr-2。+1cc+4。+4

2、

(5)y-6y+9zo

(4)—8Λ^-；——?÷’_2、⑹--------------÷(3-y)

5xy+2

222

X-I1a-2abza2ab

5、計算：⑴2?(x+l)(2))

(x-l)"x≡l-ab-?-b2a-b2b-a

拓展訓練

尤2)5b2rIObc

1、計算：（1）

3(2)

Xy)3ac、2la

ab

a-2b

3(χ-γ)29/、/2、χ2-2xy+V2

(4)?(χ5(5)(xy-x)÷----------....—

2

(y-χ)3y-^孫X

2、計算：(l)-8χ2y4.三+(_￡Z)cι~—6a+93—aa2

⑵

4y6z2+h3a-9

,2―4)，+412-6yX2+xy/、孫

⑶2(4)—~-÷(x+y)÷

2y-6y+39-yX-xyy2一孫

5.3分式的加減法

第1課時同分母分式的加減

學習目標：

1、了解同分母分式加減法法則；

2、能夠熟練進行同分母分式的加減運算。

本節(jié)重難點：

同分母分式加減法法則；

預習作業(yè)

1.計算：(1)—=_______，(2)=+」.=___________.

XXχ+yy+χ

2.計算：(1)-.......-=_______,(2)—-?^+-=_________.

x-2x-2x+1x÷lΛ+1

31

3.計算二+「一=_____________.

a4a

aa

4.--------------------------?

a-bb-a

5.在分式①工;②產(chǎn)；③細土2；④一二^—中分母相同的分式是(

X-ya~-b^a-b(a+b)(a-b)

A.①③④B.②③C.②④D.①③

【引例】

例1：計算

2

a+ba-bX4

(1)----------------(2)

ahabx—2.x-2

、m-2n4m+nx-3x÷2x—1

(z3)---------------------(4)+----------------

m+nm+孔x+1Λ÷1x+1

cι~1—2。

例2:計算(1)-^+-?-(2)

x—yγ-xa-??-a

變式訓練

X24x+2x—\x-3

1.---------------=________________o-------------------1--------

x-2x-2x+1x+1x+1

ca+2bb2a

2.-------+-------------------=___________________o

a-bb-aa-b

3.計算3-+三上一_工得()

x-4y4y-xx-4y

A.B.≥1?c.-2D.2

x-x-4y

拓展訓練

4.計算

∕?cι~b~÷2abx2÷5X1+X

(1)------+-----------

a+ba+bX-2X-22—X

5.先化簡、再求值：?7+?其中x=3+*,尸3―√L

6.某人用電腦錄入漢字文稿的效率相當于手抄的3倍，設他手抄的

速度為a字/時，那么他錄入3000字文稿比他手抄少用多長時間？

5.3分式的加減法

第2課時異分母分式的加減

學習目標：

1、了解分式通分的概念；

2、能夠熟練進行異分母分式的加減運算。

本節(jié)重難點：

L分式的通分；

2.異分母分式加減法法則；

預習作業(yè)

1.根據(jù),的分式可以化為的分式，這一過程叫做通分.

2.異分母分式通分時，通常?。ǎ┳鳛樗鼈兊墓餐帜?

3.異分母分式相加減，先化為,然后再按進行計算.

,4111

4.—----=___________;—I—=____________.

Craab

5.分式的最簡公分母是（）

ax-3bx5x

A.5abxB.15abx5C15abxD.15abx

6.化簡J→-L+-L等于（）

X2x3x

5

A.—B.—C.—D.

2x2x6x6x

4.計算：-+=________.

Iab4/

【引例】

例1：計算

112a

（）Ξ（2）(3)

12+Ξ1I?

a5a

例2:小剛家和小麗家到學校的路程都是3km,其中小麗走的是平路,騎車速度是2Vkm/h.

小剛需要走1k”的上坡路、2上加的下坡路，在上坡路上的騎車速度為V也?/〃，在下

坡路上的騎車速度為3Vkm/h.那么

（1）小剛從家到學校需要多長時間？

（2）小剛和小麗誰在路上花費的時間少？少用多長時間？

變式訓練

史m2xy-yx-y

1.右下——7=-r~~÷+——l71l則l機

χ-yχ~-yχ+y

2h2

2.計算a—匕+2得()

a+b

a-h+2h2__a2+?2

A.B.a+bCD.a-b

a+ba+b

3.己知a+∕>=3,ab=?,則q+?的值等于.

ba

拓展訓練

、1z?∕>?/V、bCI12

4.計t算(1)--1-----(z2)x-----------------

3a2ba-??-a^

用兩種方法計算：（?X]4

5.

?X—2x+2)X

2

6.計算：—--x-l.

x-1

5.4分式方程

第1課時分式方程的概念及列分式方程

學習目標：

1.通過對實際問題的分析，感受分式方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，歸納分式方程的

概念。

2.在活動中培養(yǎng)學生樂于探究合作學習的習慣，培養(yǎng)學生努力尋找解決問題的進取心，

體會數(shù)學的應用價值。

學習重點：

根據(jù)實際問題中的數(shù)量關系列出分式方程，歸納出分式方程的定義。

學習難點：

根據(jù)實際問題中的數(shù)量關系列出分式方程。

學習過程：

問題1：某市從今年1月1日起調(diào)整居民用水價格,每立方米水費上漲0.4元.小麗家

去年12月的水費是15元,而今年7月份的水費是25元.

如果設去年每立方米水費為X元。那么今年每立方米水費為元。

小麗家去年12月的用水量是立方米。

今年7月份的用水量是立方米

問題2：有兩快面積相同的小麥實驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品利

分別收獲小麥9000kg和15000kg,已知第一塊的小麥實驗田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000

kg,如何設未知數(shù)列方程？

問：（1）如果設第一塊小麥實驗田的每公頃的產(chǎn)量為Xkg,那么第二塊實驗田每公頃的產(chǎn)量

為kg.

（2）第一塊試驗田有1一公頃？

第二塊試驗田有公頃？

（3）、你能發(fā)現(xiàn)這個問題中的等量關系嗎？第一塊試驗田面積=第二塊試驗田面積

（4）、你能根據(jù)面積相等列出方程嗎？

900015000

Λ^3000

問題3：從甲地到乙地有兩條路可以走：一條全長600km普通公路，另一條是全長

480km的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比普通公路上快45km∕h,由高速

公路從甲地到乙地的所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半,求該客車由高

速公路從甲地到乙地所需要的時間？

1）、你能發(fā)現(xiàn)這個問題中的等量關系嗎？

2）、你能根據(jù)等量關系列出分式方程嗎？

解：設走高速公路需時間X小時，可列方程,

480600,u

----=-------45

X2x

比較左右兩邊的方程，有什么不同？

900015000

Λ^x+3000

1?T

y-1=2-"工

5

480600U

6x-2=4x+-——=-------4Z5i

4X2%

分母中含有的方程叫做分式方程

練習1：

下列各式中，是分式方程的是（）

x+2_2y-z1?

A.x+y=5B.丁=丁C.XD.x+5=0

練習2：

為了幫助遭受自然災害的地區(qū)重建家園，某學校號召同學們自愿捐款，已知第一次捐款

總額為4800元，第二次捐款總額5000元，第二次捐款人比第一次多20人，而且兩次人均

捐款額正好相等，如果設第一次捐款的人數(shù)為X人，那么你能列出分式方程嗎？

練習3：中國2002年吸收外國的投資總額達530億美員元，比上一年增加了13幅設2001

年我國吸收外國的投資為X億美元，請你寫出X滿足的方程式？

積累與總結：

1.什么是分式方程？

2.注意掌握列分式方程的基本步驟：

一審：審清題意，弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關系和相等關系。

二設：設未知數(shù)。

三列：列代數(shù)式，列方程。

5.4分式方程

第2課時分式方程的解法

學習目標

1.經(jīng)歷探索分式方程解法的過程,會解可化為一元一次方程的分式方程,會檢驗根的合理性;

2.經(jīng)歷“求解一解釋解的合理性”的過程，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生

的應用意識。

3.在活動中培養(yǎng)學生樂于探究、合作學習的習慣，培養(yǎng)學生努力尋找解決問題的進取心，體

會數(shù)學的應用價值。

學習重點：分式方程的解法.

學習難點：解分式方程要驗根

學習目標

第一章復習舊知

1、分式方程的概念

3%—1X—2480600

-----二2---------------------=45

2、辨別下列方程是什么方程2和X2x

二.講授新知

3x—IX—2

你能設法求出分式方程一二一=2-^^的解嗎？

3χ—1X—2

解：方程兩邊都乘以6,得——*6=(2一一—)*6

26

3(3χ-l)=12-(χ-2)

17

解這個方程，得X=正

三.例題學習

仿上例完成例1.解方程：--------..—45

X2x

解：方程兩邊都乘以2x,得(竺^-理)2x=45*2x

X2x

960-600=90X

解這個方程，得X=4

檢驗：將x=4代入原方程，得左邊二45二右邊

所以，x=4是原方程的根。

1—X1

例2.解方程--=-------2

X-22-X

檢驗:

在這里，x=2不是原方程的根，因為它使得原分式方程的分母為零，我們稱它為原方程

的增根。產(chǎn)生增根的原因是，我們在方程的兩邊同乘了一個可能使分母為零的整式.因為解

分式方程可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗。

想一想：

解分式方程一般需要經(jīng)過哪幾個步驟？

變式訓練：

1334

1.解方程：(1)——=-(2)—=-

x-2Xx-1X

X-2I1.5x

(3)-----------1-------------+1=-----

2x—33-2x4)2x+1----1—2x

1_1

(5)XT/T

γk

2.若方程一--2=—會產(chǎn)生增根，試求k的值

x-3x-3)

積累與總結：

L通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？

2.在本節(jié)課的學習過程中，你有什么感

5.4分式方程

第3課時分式方程的應用

學習目標：

1、用分式方程的數(shù)學模型反映現(xiàn)實情境中的實際問題.

2、用分式方程來解決現(xiàn)實情境中的問題.

3、經(jīng)歷建立分式方程模型解決實際問題的過程，體會數(shù)學模型的應用價值，從而提高

學習數(shù)學的興趣.

學習重點：

L審明題意，尋找等量關系，將實際問題轉化成分式方程的數(shù)學模型.

2.根據(jù)實際意義檢驗解的合理性.

學習難點

尋求實際問題中的等量關系，尋求不同的解決問題的方法.

學習過程：

I.提出問題，引入新課

前兩節(jié)課，我們認識了分式方程這樣的數(shù)學模型，并且學會了解分式方程.

接下來，我們就用分式方程解決生活中實際問題.

例1：某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所

有房屋出租的租金第一年為9.6萬元，第二年為10.2萬元.

(1)你能找出這一情境的等量關系嗎？

(2)根據(jù)這一情境，你能提出哪些問題？

(3)這兩年每間房屋的租金各是多少？

解法一：設每年各有X間房屋出租，那么第一年每間房屋的租金為元，第二年每.

間房屋的租金為元，根據(jù)題意得方程，

解法二：設第一年每間房屋的租金為X元，第二年每間房屋的租金為元.第一年

租出的房間為間，第二年租出的房間為間，根據(jù)題意得方程，

例2：小芳帶了15元錢去商店買筆記本.如果買一種軟皮本，正好需付15元錢.但售貨

員建議她買一種質量好的硬皮本，這種本子的價格比軟皮本高出一半，因此她只能少買一本

筆記本.這種軟皮本和硬皮本的價格各是多少？

解：設軟皮本的價格為X元，則硬皮本的價格為元，那么15元錢可買軟皮本

本，硬皮本本.根據(jù)題意得方程，

圖3-4

活動與探究：

1、如圖，小明家、王老師家、學校在同一條路上.小明家到王老師家路程為3km,王

老師家到學校的路程為0?5km,由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時到

校，王老師每天騎自行車接小明上學.已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天

比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？

2、從甲地到乙地有兩條公路：一條全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高

速公路。某客車在高速公路上行駛的速度比在普通公路上快45千米/時，由高速公路從甲地

到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半。求客車在高速公路上行駛的速

度。

3、輪船順水航行40千米所用的時間與逆水航行30千米所用的時間相同，若水流的速度為

3千米/時求輪船在靜水中的速度？

積累與總結：

1、列方程解決實際情境中的具體問題，是數(shù)學實用性最直接的體現(xiàn)，而解決這一問題是如

何將實際問題建立方程這樣的數(shù)學模型，關鍵則在于審清題