北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)案 第5章

5.1認(rèn)識(shí)分式

第1課時(shí)分式的有關(guān)概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解分式的概念，明確分式和整式的區(qū)別

2、體會(huì)分式的意義，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感。

本節(jié)重難點(diǎn)：

分式的概念及分式在什么條件下有意義

中考考點(diǎn)：分式的概念及分式有意義的條件

預(yù)習(xí)作業(yè)：

請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)作業(yè)教材P65~P67的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過(guò)程中請(qǐng)弄清以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.分式的概念:___________________________________________

A

2.分式B有意義的條件：___________________________________________

【引例】問(wèn)題情景(1)：面對(duì)目前嚴(yán)重的土地沙化問(wèn)題，某縣決定分期分批固沙造林，

一期工程計(jì)劃在一定期限內(nèi)固沙造林2400公頃，實(shí)際每月固沙造林的面積比原計(jì)劃多

30公頃，結(jié)果提前4個(gè)月完成原計(jì)劃任務(wù)，原計(jì)劃每月固沙造林多少公頃？

(1)這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？

(2)如果設(shè)原計(jì)劃每月固沙造林X公頃，那么原計(jì)

劃完成一期工程需要個(gè)月，實(shí)際完成一期工程用了個(gè)月。根據(jù)題意，

可得方程.

問(wèn)題情景(2)：正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角為度。

問(wèn)題情景(3)：新華書(shū)店庫(kù)存一批圖書(shū)，其中一種圖書(shū)的原價(jià)是每?jī)?cè)a元，

現(xiàn)降價(jià)X元銷售，當(dāng)這種圖書(shū)的庫(kù)存全部售出時(shí)，其銷售額為。元.降價(jià)銷售開(kāi)始時(shí)，

新華書(shū)店這種圖書(shū)的庫(kù)存量是多少？

分式的概念：______________________________________________________________________

A

分式B有意義的條件：____________________________________________________________

A

分式B無(wú)意義的條件：____________________________________________________________

注：1、整式和分式統(tǒng)稱為有理式

2、分式合=0,條件是A=0,BWO

例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式?

bv?113

(1)—,(2)2π+?(3)---(4)-^+%2χ5)-

2a4-x2π

例2：根據(jù)要求，解答下列各題

(1)當(dāng)X為何值時(shí)，分式一L無(wú)意義？

x-2

Y1

(2)當(dāng)X為何值時(shí)，分式一；+;有意義？

X+12x—1

Irl-I

(3)X為何值時(shí)，分式L二的值為0?

X-I

變式訓(xùn)練：

2Y2_Q

已知分式一當(dāng)X取什么值時(shí)：(1)分式有意義；(2)分式值為0?

拓展訓(xùn)練

1、若分式；?三的值是零，求a的值。

α—3

2、若分式的值為負(fù)，求a的取值范圍。

5.1認(rèn)識(shí)分式

第2課時(shí)分式的基本性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、掌握分式的基本性質(zhì)和分式的約分；

2、掌握分式的符號(hào)法則

本節(jié)重難點(diǎn)：

分式的基本性質(zhì)和分式的約分；

中考考點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)和分式的約分；

預(yù)習(xí)作業(yè)：

請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)作業(yè)教材的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過(guò)程中請(qǐng)弄清以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.分式的基本性質(zhì)：__________________________________________________________

2.什么叫分式的約分?根據(jù)是什么？

3.什么是最簡(jiǎn)分式？4.分式的符號(hào)法則？

引例：

2

313a1nn

問(wèn)題：三=二的依據(jù)是什么？你認(rèn)為分式丁與不相等嗎？——與一呢？

626a2mn加

引出分式的基本性質(zhì)：

式子表示：

【例11下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的?

（1）axa

白啜…(2)—=一

bxb

例2、化簡(jiǎn)下列分式：

a2bcY一1

⑴(2)

ahx~2x+1

分式的約分:

注意事項(xiàng)：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，分式的分子與分母應(yīng)同時(shí)乘以或除以同

一個(gè)公因式。

變式練習(xí)：

1.填空

(1)2x=()

X-y(x-"x+y)

3+2_1

(2)

J2-4(-----------'

2.化簡(jiǎn)

5個(gè)a(a+b)

(1)(2)IkIBIl.c∣O∣m

20x2Vb(a÷b)

3、不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)是整數(shù):

①之⑵患⑶梟

4、不改變分式的值，把分式分子和分母的系數(shù)化為整數(shù):

12

(D-JQ—T—y?U.Zu—U

最簡(jiǎn)分式的概念：

想一想：

⑴匚與士有什么關(guān)系？

y-y

⑵竽與-：有什么關(guān)系？：與-全有什么關(guān)系？

分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變

能力提高題：

1、已知@=4,求竺心?的值

bab

2、已知x:y:z=3:4:6,求分式一十二_^的值

X-y+z

「乙11c4八-2a+ab-2b

3、已知-----=3,求分式-------—■—的值

aba-ab-b

5.2分式的乘除法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷探索分式的乘除法法則的過(guò)程，并結(jié)合具體情境說(shuō)明其合理性；

2、會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單分式的乘除法計(jì)算，具有一定的化歸能力；

3、在學(xué)知識(shí)的同時(shí)學(xué)到類比轉(zhuǎn)化的思想方法，受到思維訓(xùn)練，能解決與分式有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)

際問(wèn)題；

學(xué)習(xí)方法招主探究與小組合作交流相結(jié)合.

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：掌握分式的乘除法法則；

難點(diǎn)：熟練地運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，提高運(yùn)算能力。

預(yù)習(xí)作業(yè)：

1、分式的乘除法法則（與分?jǐn)?shù)的乘除法法則類似）：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積

的,把分母相乘的積作為積的:兩分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置

后再與被除式。

2、分式乘除法運(yùn)算步驟和運(yùn)算順序：

（1）步驟：對(duì)分式進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，先觀察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，

若能分解因式的應(yīng)先分解因式。當(dāng)分解因式完成以后，要進(jìn)行，直到分子、分

母沒(méi)有時(shí)再進(jìn)行乘除。

（2）順序：分式乘除法與整式乘除法運(yùn)算順序相同，一般從左向右，有除法的先把除法轉(zhuǎn)

化為乘法。

【引例】

3、例1計(jì)算：（2）,?一三

分析：（1）題中分子、分母都是單項(xiàng)式，可直接運(yùn)用法則計(jì)算；（2）應(yīng)先分解因式，然后約

分，但需注意符號(hào)的變化。

變式訓(xùn)練:

4、計(jì)算:

a2b2n24m2a2-4O2

(1)—?(2)------------(3)

ah2m5nr-2。+1cc+4。+4

2、

(5)y-6y+9zo

(4)—8Λ^-；——?÷’_2、⑹--------------÷(3-y)

5xy+2

222

X-I1a-2abza2ab

5、計(jì)算：⑴2?(x+l)(2))

(x-l)"x≡l-ab-?-b2a-b2b-a

拓展訓(xùn)練

尤2)5b2rIObc

1、計(jì)算：（1）

3(2)

Xy)3ac、2la

ab

a-2b

3(χ-γ)29/、/2、χ2-2xy+V2

(4)?(χ5(5)(xy-x)÷----------....—

2

(y-χ)3y-^孫X

2、計(jì)算：(l)-8χ2y4.三+(_￡Z)cι~—6a+93—aa2

⑵

4y6z2+h3a-9

,2―4)，+412-6yX2+xy/、孫

⑶2(4)—~-÷(x+y)÷

2y-6y+39-yX-xyy2一孫

5.3分式的加減法

第1課時(shí)同分母分式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解同分母分式加減法法則；

2、能夠熟練進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算。

本節(jié)重難點(diǎn)：

同分母分式加減法法則；

預(yù)習(xí)作業(yè)

1.計(jì)算：(1)—=_______，(2)=+」.=___________.

XXχ+yy+χ

2.計(jì)算：(1)-.......-=_______,(2)—-?^+-=_________.

x-2x-2x+1x÷lΛ+1

31

3.計(jì)算二+「一=_____________.

a4a

aa

4.--------------------------?

a-bb-a

5.在分式①工;②產(chǎn)；③細(xì)土2；④一二^—中分母相同的分式是(

X-ya~-b^a-b(a+b)(a-b)

A.①③④B.②③C.②④D.①③

【引例】

例1：計(jì)算

2

a+ba-bX4

(1)----------------(2)

ahabx—2.x-2

、m-2n4m+nx-3x÷2x—1

(z3)---------------------(4)+----------------

m+nm+孔x+1Λ÷1x+1

cι~1—2。

例2:計(jì)算(1)-^+-?-(2)

x—yγ-xa-??-a

變式訓(xùn)練

X24x+2x—\x-3

1.---------------=________________o-------------------1--------

x-2x-2x+1x+1x+1

ca+2bb2a

2.-------+-------------------=___________________o

a-bb-aa-b

3.計(jì)算3-+三上一_工得()

x-4y4y-xx-4y

A.B.≥1?c.-2D.2

x-x-4y

拓展訓(xùn)練

4.計(jì)算

∕?cι~b~÷2abx2÷5X1+X

(1)------+-----------

a+ba+bX-2X-22—X

5.先化簡(jiǎn)、再求值：?7+?其中x=3+*,尸3―√L

6.某人用電腦錄入漢字文稿的效率相當(dāng)于手抄的3倍，設(shè)他手抄的

速度為a字/時(shí)，那么他錄入3000字文稿比他手抄少用多長(zhǎng)時(shí)間？

5.3分式的加減法

第2課時(shí)異分母分式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解分式通分的概念；

2、能夠熟練進(jìn)行異分母分式的加減運(yùn)算。

本節(jié)重難點(diǎn)：

L分式的通分；

2.異分母分式加減法法則；

預(yù)習(xí)作業(yè)

1.根據(jù),的分式可以化為的分式，這一過(guò)程叫做通分.

2.異分母分式通分時(shí)，通常取（）作為它們的共同分母.

3.異分母分式相加減，先化為,然后再按進(jìn)行計(jì)算.

,4111

4.—----=___________;—I—=____________.

Craab

5.分式的最簡(jiǎn)公分母是（）

ax-3bx5x

A.5abxB.15abx5C15abxD.15abx

6.化簡(jiǎn)J→-L+-L等于（）

X2x3x

5

A.—B.—C.—D.

2x2x6x6x

4.計(jì)算：-+=________.

Iab4/

【引例】

例1：計(jì)算

112a

（）Ξ（2）(3)

12+Ξ1I?

a5a

例2:小剛家和小麗家到學(xué)校的路程都是3km,其中小麗走的是平路,騎車速度是2Vkm/h.

小剛需要走1k”的上坡路、2上加的下坡路，在上坡路上的騎車速度為V也?/〃，在下

坡路上的騎車速度為3Vkm/h.那么

（1）小剛從家到學(xué)校需要多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）小剛和小麗誰(shuí)在路上花費(fèi)的時(shí)間少？少用多長(zhǎng)時(shí)間？

變式訓(xùn)練

史m2xy-yx-y

1.右下——7=-r~~÷+——l71l則l機(jī)

χ-yχ~-yχ+y

2h2

2.計(jì)算a—匕+2得()

a+b

a-h+2h2__a2+?2

A.B.a+bCD.a-b

a+ba+b

3.己知a+∕>=3,ab=?,則q+?的值等于.

ba

拓展訓(xùn)練

、1z?∕>?/V、bCI12

4.計(jì)t算(1)--1-----(z2)x-----------------

3a2ba-??-a^

用兩種方法計(jì)算：（?X]4

5.

?X—2x+2)X

2

6.計(jì)算：—--x-l.

x-1

5.4分式方程

第1課時(shí)分式方程的概念及列分式方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，感受分式方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，歸納分式方程的

概念。

2.在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生努力尋找解決問(wèn)題的進(jìn)取心，

體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，歸納出分式方程的定義。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出分式方程。

學(xué)習(xí)過(guò)程：

問(wèn)題1：某市從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格,每立方米水費(fèi)上漲0.4元.小麗家

去年12月的水費(fèi)是15元,而今年7月份的水費(fèi)是25元.

如果設(shè)去年每立方米水費(fèi)為X元。那么今年每立方米水費(fèi)為元。

小麗家去年12月的用水量是立方米。

今年7月份的用水量是立方米

問(wèn)題2：有兩快面積相同的小麥實(shí)驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品利

分別收獲小麥9000kg和15000kg,已知第一塊的小麥實(shí)驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000

kg,如何設(shè)未知數(shù)列方程？

問(wèn)：（1）如果設(shè)第一塊小麥實(shí)驗(yàn)田的每公頃的產(chǎn)量為Xkg,那么第二塊實(shí)驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量

為kg.

（2）第一塊試驗(yàn)田有1一公頃？

第二塊試驗(yàn)田有公頃？

（3）、你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題中的等量關(guān)系嗎？第一塊試驗(yàn)田面積=第二塊試驗(yàn)田面積

（4）、你能根據(jù)面積相等列出方程嗎？

900015000

Λ^3000

問(wèn)題3：從甲地到乙地有兩條路可以走：一條全長(zhǎng)600km普通公路，另一條是全長(zhǎng)

480km的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比普通公路上快45km∕h,由高速

公路從甲地到乙地的所需的時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半,求該客車由高

速公路從甲地到乙地所需要的時(shí)間？

1）、你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題中的等量關(guān)系嗎？

2）、你能根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程嗎？

解：設(shè)走高速公路需時(shí)間X小時(shí)，可列方程,

480600,u

----=-------45

X2x

比較左右兩邊的方程，有什么不同？

900015000

Λ^x+3000

1?T

y-1=2-"工

5

480600U

6x-2=4x+-——=-------4Z5i

4X2%

分母中含有的方程叫做分式方程

練習(xí)1：

下列各式中，是分式方程的是（）

x+2_2y-z1?

A.x+y=5B.丁=丁C.XD.x+5=0

練習(xí)2：

為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款，已知第一次捐款

總額為4800元，第二次捐款總額5000元，第二次捐款人比第一次多20人，而且兩次人均

捐款額正好相等，如果設(shè)第一次捐款的人數(shù)為X人，那么你能列出分式方程嗎？

練習(xí)3：中國(guó)2002年吸收外國(guó)的投資總額達(dá)530億美員元，比上一年增加了13幅設(shè)2001

年我國(guó)吸收外國(guó)的投資為X億美元，請(qǐng)你寫(xiě)出X滿足的方程式？

積累與總結(jié)：

1.什么是分式方程？

2.注意掌握列分式方程的基本步驟：

一審：審清題意，弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系。

二設(shè)：設(shè)未知數(shù)。

三列：列代數(shù)式，列方程。

5.4分式方程

第2課時(shí)分式方程的解法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索分式方程解法的過(guò)程,會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程,會(huì)檢驗(yàn)根的合理性;

2.經(jīng)歷“求解一解釋解的合理性”的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生

的應(yīng)用意識(shí)。

3.在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生努力尋找解決問(wèn)題的進(jìn)取心，體

會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分式方程的解法.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：解分式方程要驗(yàn)根

學(xué)習(xí)目標(biāo)

第一章復(fù)習(xí)舊知

1、分式方程的概念

3%—1X—2480600

-----二2---------------------=45

2、辨別下列方程是什么方程2和X2x

二.講授新知

3x—IX—2

你能設(shè)法求出分式方程一二一=2-^^的解嗎？

3χ—1X—2

解：方程兩邊都乘以6,得——*6=(2一一—)*6

26

3(3χ-l)=12-(χ-2)

17

解這個(gè)方程，得X=正

三.例題學(xué)習(xí)

仿上例完成例1.解方程：--------..—45

X2x

解：方程兩邊都乘以2x,得(竺^-理)2x=45*2x

X2x

960-600=90X

解這個(gè)方程，得X=4

檢驗(yàn)：將x=4代入原方程，得左邊二45二右邊

所以，x=4是原方程的根。

1—X1

例2.解方程--=-------2

X-22-X

檢驗(yàn):

在這里，x=2不是原方程的根，因?yàn)樗沟迷质椒匠痰姆帜笧榱悖覀兎Q它為原方程

的增根。產(chǎn)生增根的原因是，我們?cè)诜匠痰膬蛇呁肆艘粋€(gè)可能使分母為零的整式.因?yàn)榻?/p>

分式方程可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)。

想一想：

解分式方程一般需要經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)步驟？

變式訓(xùn)練：

1334

1.解方程：(1)——=-(2)—=-

x-2Xx-1X

X-2I1.5x

(3)-----------1-------------+1=-----

2x—33-2x4)2x+1----1—2x

1_1

(5)XT/T

γk

2.若方程一--2=—會(huì)產(chǎn)生增根，試求k的值

x-3x-3)

積累與總結(jié)：

L通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？

2.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你有什么感

5.4分式方程

第3課時(shí)分式方程的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、用分式方程的數(shù)學(xué)模型反映現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)際問(wèn)題.

2、用分式方程來(lái)解決現(xiàn)實(shí)情境中的問(wèn)題.

3、經(jīng)歷建立分式方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，從而提高

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

L審明題意，尋找等量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成分式方程的數(shù)學(xué)模型.

2.根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)解的合理性.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)

尋求實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，尋求不同的解決問(wèn)題的方法.

學(xué)習(xí)過(guò)程：

I.提出問(wèn)題，引入新課

前兩節(jié)課，我們認(rèn)識(shí)了分式方程這樣的數(shù)學(xué)模型，并且學(xué)會(huì)了解分式方程.

接下來(lái)，我們就用分式方程解決生活中實(shí)際問(wèn)題.

例1：某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所

有房屋出租的租金第一年為9.6萬(wàn)元，第二年為10.2萬(wàn)元.

(1)你能找出這一情境的等量關(guān)系嗎？

(2)根據(jù)這一情境，你能提出哪些問(wèn)題？

(3)這兩年每間房屋的租金各是多少？

解法一：設(shè)每年各有X間房屋出租，那么第一年每間房屋的租金為元，第二年每.

間房屋的租金為元，根據(jù)題意得方程，

解法二：設(shè)第一年每間房屋的租金為X元，第二年每間房屋的租金為元.第一年

租出的房間為間，第二年租出的房間為間，根據(jù)題意得方程，

例2：小芳帶了15元錢(qián)去商店買筆記本.如果買一種軟皮本，正好需付15元錢(qián).但售貨

員建議她買一種質(zhì)量好的硬皮本，這種本子的價(jià)格比軟皮本高出一半，因此她只能少買一本

筆記本.這種軟皮本和硬皮本的價(jià)格各是多少？

解：設(shè)軟皮本的價(jià)格為X元，則硬皮本的價(jià)格為元，那么15元錢(qián)可買軟皮本

本，硬皮本本.根據(jù)題意得方程，

圖3-4

活動(dòng)與探究：

1、如圖，小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上.小明家到王老師家路程為3km,王

老師家到學(xué)校的路程為0?5km,由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時(shí)到

校，王老師每天騎自行車接小明上學(xué).已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天

比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問(wèn)王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？

2、從甲地到乙地有兩條公路：一條全長(zhǎng)600千米的普通公路，另一條是全長(zhǎng)480千米的高

速公路。某客車在高速公路上行駛的速度比在普通公路上快45千米/時(shí)，由高速公路從甲地

到乙地所需時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半。求客車在高速公路上行駛的速

度。

3、輪船順?biāo)叫?0千米所用的時(shí)間與逆水航行30千米所用的時(shí)間相同，若水流的速度為

3千米/時(shí)求輪船在靜水中的速度？

積累與總結(jié)：

1、列方程解決實(shí)際情境中的具體問(wèn)題，是數(shù)學(xué)實(shí)用性最直接的體現(xiàn)，而解決這一問(wèn)題是如

何將實(shí)際問(wèn)題建立方程這樣的數(shù)學(xué)模型，關(guān)鍵則在于審清題