2023-2024學年新疆哈密市高二年級上冊期末考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年新疆哈密市高二上冊期末考試數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.已知直線經(jīng)過點力(3,-1)和點5(0,2),則直線的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.135°

【正確答案】D

【分析】設直線的傾斜角為。，求出直線的斜率即得解.

【詳解】設直線的傾斜角為口，

由題得直線的斜率為^=tana=-=-1,

-3

因為04a<180°,

所以a=135°.

故選：D.

2.橢圓看+產(chǎn)=1上一點尸與焦點6的距離為5,則點尸與另一個焦點乙的距離為()

A.6B.7C.8D.9

【正確答案】B

【分析】利用橢圓的定義可得解.

【詳解】根據(jù)橢圓的定義知，|?制+|?周=2a=2x6=12,

因為|尸周=5,所以|尸瑪|=12-5=7.

故選：B.

3.己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,且$7=7,幾=75,貝的通項公式為()

n5n5

A.一+一B.

444~4

n5n5

C.D.

222~2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的公式可推導為等差數(shù)列，再計算首項與公差求解即

可.

【詳解】設?！?切+6,(NeN*,A,6eR),則2=好+必"處_=強+也幺為等差數(shù)列.

n2n22

設等差數(shù)列d,=2的公差為d,由$7=7,&=75,則4=M=1,九=.=5,故

n715

>=昌=；'4=-2,故4=L2+；(1)=",即圖的通項公式為

故選：D

4.過點尸(2,3)引圓/+/一2》+4卜+4=0的切線，其方程是()

A.x=2B.12x-5y+9=0

C.5x-12y+26=0D.x=2和12x-5y-9=0

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，分切線的斜率是否存在兩種情況討論，求出切線

的方程，綜合可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，圓x?+「-2x+4y+4=0,

即(x-l『+(y+2)、l,其圓心為(1,-2),半徑r=l；

過點尸(2,3)引圓/+門-2x+4y+4=0的切線，

若切線的斜率不存在，切線的方程為x=2,符合題意；

若切線的斜率存在，設其斜率為4，

則有y-3=k(x-2),

即Ax—y+3—2左=0,

則有j尸i+公!=1

解得人￥，

17

此時切線的方程為V-3=?(x-2),

即12x—5y—9=0.

綜上：切線的方程為x=2和12%—5丁-9=0.

故選：D.

5.圓(x-iy+_/=4截直線/：>=%(x-2)+l所得的弦長最短為()

A.孝B.1C.V2D.272

【正確答案】D

【分析】先判斷得點M在圓C內(nèi)部，再結(jié)合圖像與弦長公式得到當CM，/時，弦長取得最

小值，由此得解.

【詳解】因為直線/：，=%(x-2)+l恒過定點M(2,l),又(2-丫+12＜4,

所以點M在圓C：熾-1)2+/=4內(nèi)部，

因為圓C：(XT)2+J?=4的圓心為C(1,O),半徑-2,

因為弦長為|/同=2/2一/=2〃々2,當d最大時，弦長最短，

所以當CM_L/時，4=|CM|最大，則弦長MH最短，

又|CA1|=^/(2-1)2+(1-0)2=V2.

所以|力同=2^4-ICMp=2V2.

6.已知雙曲線《-且=1的一個焦點是(0,2),則實數(shù)加的值是()

m3m

A.1B.-1C.-亞D.叵

55

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)焦點坐標判斷焦點所在軸，再由/+〃=02計算即可.

【詳解】由焦點坐標，知焦點在＞軸上，所以機＜0,

可得雙曲線的標準方程為￡-二=1,

一3"-m

由Q?+/=/可得一加—3加=4,可得〃7=-1.

故選:B.

7.已知拋物線C：7=_12X的焦點為尸,拋物線C上有一動點P,。(-4,2),則|尸尸|+|P0|

的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】C

【分析】拋物線的準線/的方程為X=3,過P作PM_L/于〃，根據(jù)拋物線的定義可知

\PF\=\PM\,則當QRM三點共線時,可求|PM|+|P0|得最小值,答案可得.

【詳解】解：拋物線C：/=_12工的焦點為尸(-3,0),準線/的方程為x=3,

如圖，過P作PWL于"，

由拋物線的定義可知歸司=\PM\,所以|PF|+\PQ\=\PM\+\PQ\

則當Q,P,M三點共線時，|P/W|+儼。|最小為3-(-4)=7.

所以|PF|+|PQ|的最小值為7.

故選：C.

8.已知數(shù)列｛““｝滿足與+」一=1,若%0=2,則q=()

an+l

A.-1B.vC.-D.2

22

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式逐項求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.

【詳解】由?！?—=1，%)=2得

?！?1

1

%9=——=1=1---=l-2=-l,a47=1--—=1+1=2=須，

?5022o

所以數(shù)列｛《,｝的周期為3,所以q=49=；.

故選：B

二、多選題

9.在下列直線方程中，表示經(jīng)過點”（2,1）且在兩坐標軸上截距相等的直線有（）

A.y=2xB.y=x-lC.y=-x+3D.y=gx

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)題意利用直線的截距式方程運算求解，注意討論截距是否為0.

【詳解】設直線在x,y軸上截距分別為。,6,則a=6,

當。=b=0時，則直線過原點，設直線方程為》=去，

由題意可得：1=2左，即4=--

2

故直線方程為y=；x；

當時，則設直線方程為±+#=1,

ab

2121

由題意可得：一+;=一+—=1,貝lja=3,

abaa

故直線方程為:+5=1,即尸-x+3；

33

綜上所述：直線方程為y=或夕=-x+3.

故選：CD.

10.已知不用是雙曲線E：?-2T=1（4>0力>0）的左、右焦點，過耳作傾斜角為45。

ab-

的直線分別交夕軸與雙曲線右支于點M,P,\PM\^\MFt\,下列判斷正確的是（）

A.叱g=三B.\MF^PF\

C.E的離心率等于血+1D.E的漸近線方程為卜=±行

【正確答案】BC

1L.2

【分析】根據(jù)題意得。必〃PE，/，耳瑪，|加瑪=引尸用；由尸瑪_L6巴知：\PFA=—,

2a

又|耳周=2c,ZPFtF2=45°,求解離心率，根據(jù)離心率求解漸近線方程即可判斷.

【詳解】如下圖所示，因為歸收|=|幽即"為P片中點，O為片名中點，所以OM〃PK，

因為。所以尸入，百鳥，所以ZP瑪耳=5,|奶|=；「片|,A錯誤，B正確；

由心，耳鳥知;-囹1=1，所以爐閭=生，又歸團=2c,"/例=45。，

a1b2a

所以生=2c,即<?—/=2〃c,所以/-2e-l=0,解得：e=y[2+]?C正確；

a

因為？=5/^+1，所以/=(3+26")cJ,=c2—a2=(2+2y/2)a2,

所以(=j2+2后,所以E的漸近線方程為"土也+26x，D錯誤.

故選：BC.

11.已知數(shù)列｛6｝是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是()

A.數(shù)列｛叫是等比數(shù)列

B.若。3=2,%=32,則%=±8

C.若數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=3"T+r,則，=1

D.若首項6>0,公比4>1,則數(shù)列｛。“｝是遞增數(shù)列

【正確答案】AD

【分析】A選項由｛。；｝的通項公式即可判斷為正確；B選項根據(jù)等比數(shù)列隔項同號的性質(zhì)判

斷為不正確；C選項先由S,計算得",再由a“代入等比數(shù)列求和公式返回計算S“，進而求

得「，判斷為不正確；D選項由作差法判斷為正確.

【詳解】A選項，設等比數(shù)列｛4｝的首項為4,公比為<7,

則｛。,,｝的通項為*=4?尸，

則知2=（a「g"T）2=42.（g2）“T,

即｛端｝是以/為首項，才為公比的等比數(shù)列.

A正確；

B選項，由等比中項的性質(zhì)可知

%，。7=64,且％與。3、。7同號，

所以牝=8.

B不正確；

2

C選項，勺=*一=3"T+r-（3"々+"）=；.3"T,

即等比數(shù)列｛““｝的首項為：，公比為3,

2

則S3“-3"）1,即一；.

5,=下廠=3--3

C不正確；

D選項，若％>0,g>1,則a“-a“_［=q-”「廣2=《./”?_［）>0,

故｛凡｝是遞增數(shù)列.

D正確.

故選：AD.

12.已知S,,是｛叫｝的前月項和，下列結(jié)論正確的是（）

A.若｛《,｝為等差數(shù)列，則［/｝（P為常數(shù)）仍然是等差數(shù)列

B.若｛4“｝為等差數(shù)列，則S3,=2s2〃-5〃

C.若｛““｝為等比數(shù)列，公比為q,則邑,,=（1+力$,

D.若｛&“｝為等比數(shù)列，則“加+〃=p+q,m,n,p,qeNf^"a”ja“=4?4”的充分而不必要

條件

【正確答案】ACD

【分析】A項，根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式，化簡數(shù)列觀察數(shù)列是否為等

差數(shù)列即可；B項，令H=1說明不成立；C項，根據(jù)等比數(shù)列的前"項和推導；D項，充分性

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可驗證，必要性用常數(shù)數(shù)列來驗證

【詳解】A項，由題意得：［#+’一升,所以

d\1

—\n

2)pdpd，

------=——n+pa,------

nn2八2

而pS“+\pS“_pd(cpdpdn”：pd_pd

皿77r-丁一三(〃+1)+0%-3-3"°4+彳一彳,

所以｛俁｝為等差數(shù)列，故A正確.

B項，若$3〃=2s2”-S”成立，則邑=2$2-S］即q+。2+。3=2(。1+%)-《，所以。3=%，而

。3=。2不恒成立，所以B項不正確.

C項，若｛。“｝為等比數(shù)列，公比為9,當gwl時，則前〃項和為S〃=也二<1,所以

i-q

q(W)旬i+g")(j")t+川中引[1+4).S

\-q\-qq“)\-q

當q=l時，Sn=na｛,所以邑，=2〃％=(1+1")"/=(1+，')S“

綜上：S2“=(1+/)S,，故C項正確.

D項，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，若“機+〃=p+4，，”,〃,p,q€N"”則“*q=%,q”,

所以充分性成立；

若等比數(shù)列的公比為1,若成立，例如。「出=。3，"4=。；，

則1+243+4,所以必要性不成立，

所以“7?+”=P+4，加,〃,「，4€］\*”是“勺-%=。/%”的充分而不必要條件,故D項正確.

故選：ACD

三、填空題

13.半徑為J指，且與直線工+3義-8=0相切于(2,2)的圓的標準方程為

【正確答案】(x-1)?+(y+l)z=案或(x_3>+(y_5)2=或

【分析】設出圓心坐標，利用兩點之間的距離等于半徑和兩直線垂直斜率乘積為-1,組成

方程組求出圓心坐標

即可求出圓的標準方程.

【詳解】設圓心(%①，???圓的半徑為布，且與直線工+3夕-8=0切與點(2,2),圓心與切

點的連線所在直線

(a-2)2+(b-2)2=10

必然垂直直線x+3y-8=0,???得1b-2,

--X----=—1

3a-2

\a=1fa=3_,、、,

解得-1或6=5'即圓的標準方程為(E+L或(72+(1)』。,

故(x-l)2+3+1)2=10或(x-3)2+3-5)2=10

14.如圖所示，已知拋物線x2=4y,過焦點尸作直線與拋物線交于力,8兩點，若M尸1=4,

則點”的坐標為

【正確答案】126,3)

【分析】設出點力的坐標，利用拋物線的定義即可求解.

【詳解】設點/的坐標為(貓，以)，由題意可得尸(0,1),?.?|加?|=4,

???由拋物線定義可得以+1=4,解得心=3.

代入拋物線方程可得=2方或-26，

:點力在第二象限，

.?.點/的坐標為卜26,3),

故答案為.卜2道,3)

2

15.已知數(shù)列｛為｝的前n項和為S“=3n-2M+1,則a4=.

【正確答案】19

【分析】利用作差法求出。“=6〃-5(〃*2),代入即可求解.

【詳解】S“=3〃2-2〃+l,

所以S,I=3(〃-1)2-2(〃-1)+1,(”22),

兩式相減得，a?=6n-5(n>2),

所以。4=6x4-5=19.

故19.

a9

16.設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“,％>0且言=打，當E,取最大值時，〃的值為

【正確答案】9

【分析】根據(jù)題意，用首項4表示公差d,代入前〃項和公式，化簡得到S,為關(guān)于〃開口向

下的二次函數(shù)，進而求出其最大值時對應的〃的值.

【詳解】因為&=白，所以1%=94，即11(q+44)=9(4+34),化簡后可得［=一萼

I11/

,n(n-i)d-18〃)=-旨(〃-9>+鬻，由二次函數(shù)

§c,=〃4+——=叫

性質(zhì)可知，當〃=9時，S”取得最大值.

故答案為.9

四、解答題

17.己知曲線C：f+/+4x+6y+%=0.

(1)當m為何值時，曲線C表示圓？

(2)若直線/：了=丫-加與圓C相切，求機的值

【正確答案】(1)m<13

(2)m=±5

【分析】(1)將f+V+4x+6y+/n=0配方，根據(jù)方程表示圓，即可求得答案;

(2)根據(jù)直線和圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求得答案.

【詳解】(1)由C：Y+/+4x+6y+/n=0,得(x+2>+(y+3/=13-加，

由13-加>0時，得/<13,.?.當，*<13時，曲線C表示圓;

(2)圓C的圓心坐標為(-2,-3),半徑為JT5二面.

:直線/：V=與圓C相切，直線/的一般式方程為x-y-m=0,

1-2-(-3)-mlr--------

-----/—=yjl3—m,解得：m—+5滿足加<13,

/."2=±5.

18.已知橢圓C：￡-+^-=1(a>6>0)的左、右焦點分別為片、F2,過百的直線(斜

率不為0)交橢圓C于48兩點，的周長為4后，且橢圓C經(jīng)過點1,

(1)求橢圓C的方程；

(2)當線段的中點M在第二象限，且點M的橫坐標為時，求|/8|.

丫2

【正確答案】⑴尹八1

⑵逑

3

【分析】(1)根據(jù)周長求出。，再將點代入方程解出6即可；(2)線段48的中點M在第二象

限，顯然直線的斜率必定存在且為正，然后設出直線方程聯(lián)立整理之后表示出均可求出直

線方程，進而求出弦長.

【詳解】(1)???△1居8的周長為4灰,.〔4a=4jL得a=&,

又橢圓C經(jīng)過點,日[，,?]+奈=1,得6=1,

橢圓C的方程為二+『=1.

2

(2)由橢圓C的方程可知耳(-1,0),瑪(L0),

由題知，直線N8存在斜率且斜率大于0,

故可設直線48的方程為卜=左(》+1)(k>0),

代入橢圓C的方程可得：+公卜+21》+公-1=0,

2k2

2X2

設力(XQJ,則*+*一一j_+423Z,解得％=1,故占%=0

2+

二.|力邳—y/2.?~.

19.已知等差數(shù)列｛4“｝的前〃項和為，,2%+火=24,5=100.

(1)求他〃｝的通項公式；

(2)若bn=『一，求數(shù)列｛6“｝的前〃項和Tn.

【正確答案】⑴。“=3〃-1

_n

⑵2(3〃+2)

【分析】(1)由等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列的前"項和公式展開可求得結(jié)果;

(2)由裂項相消求和可得結(jié)果.

【詳解】(1)設等差數(shù)列｛為｝的公差為d,由題意知,

2(q+d)+q+4d=24

a}=2

。8x(8-l),解得:

8a.+--——-rf=1i0n0nd=3

,12

/.an=q+(〃-1)1=2+3(??-1)=3n—1.

故口｝的通項公式為%=3〃-1.

(2),1

1

=-x

3

1

=—x

3

11

=-x(——3〃+2)

32

n

2(3〃+2)

n

即：收｝的前〃項和北二

2(3/7+2),

20.已知數(shù)列｛4“｝的前〃項和為S,,=2"”-2,等差數(shù)列他,｝滿足々=%+2也=$2+3.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛%｝的通項公式;

（2）求數(shù)列｛4，｝的前"項和Hn.

【正確答案】（1）4=2”,4=3”

⑵““=（3〃-3）x2”"+6

[S,,w=1（、

【分析】（1）由%=c。可得m,設等差數(shù)列也,｝的公差為4再根據(jù)等差數(shù)

列的基本量法求解｛"｝通項公式即可；

（2）求等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的前n項和通過錯位相減法可得結(jié)果.

2

【詳解】（1）當〃=1時，a,=Sl=2-2=2；

當“22時，=S“-S,i=（2"”-1）-（2"-1）=2",當"=1時也符合，所以?！?2”.

由題意打=出+2=22+2=6,4=2+4+3=9,

設等差數(shù)列也｝的公差為乩則“="-4=3,b、=b「d=3,故4=4+（〃-l）d=3〃.

綜上。，=2”，bn=3n

（2）由（1）知：*=3〃-2",

,:H.=afy+a2b2+為與+…+%如+a?b?

H?=3x2l+6x22+9x23+---+3（n-l）x2,,-1+3Hx2n①

2/7?=3x22+6x23+9x24+---+3（?-l）x2,,+3nx2"+1②

二①-②得：一”“=3xQi+2?+2^+…+2'-'+2"）-3nx2"+"

,1_）"+1

即：-a”=3x^^--3〃*2向=3x優(yōu)用一2）-3〃*2向=（3-3〃）x2向一6,

?.H?=（3"-3）x2"、6.

21.已知圓G:丁+/=8x-，〃與圓G：（x+1）‘+F=9.

（1）若圓G與圓G相外切，求實數(shù)機的值；

（2）在（1）的條件下，若直線x+J5），+〃=o被圓G所截得的弦長為2,求實數(shù)〃的值.

【正確答案】（1）機=12

(2)n=-1或〃=-7

【分析】（1）由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切可知|。。2|=八+々，由此可構(gòu)造

方程求得加的值；

（2）根據(jù)垂徑定理，利用弦長可直接構(gòu)造方程求得〃的值.

【詳解】（1）?圓G的方程可整理為：（x