2022-2023學(xué)年河南省許昌市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022-2023學(xué)年河南省許昌市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(文)試題

一、單選題

1.已知直線4過(guò)4(2,-3),3(4,0),且則直線4的斜率為()

A.IB.--C.?D.--

3322

【答案】B

【分析】利用42,-3),8(4,0)求出直線4斜率，利用乙14可得斜率乘積為-1,即可求解.

(詳解】設(shè)直線I1斜率為k?,直線I2斜率為k2,

因?yàn)橹本€4過(guò)4(2,-3),B(4,0),

所以4斜率為K=-W3-0j=3

因?yàn)椤?，所以匕？月T，

2

所以與=-：2，即直線4的斜率為-亨.

故選：B.

2.拋物線y2=4/2x(/?>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為a,則M到y(tǒng)軸距離為

A.a-pB.a+pC.α-yD.a+2p

【答案】A

【分析】由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，已知IMFI=",

則M到準(zhǔn)線的距離也為“，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x+〃="，進(jìn)而求出x.

【詳解】：拋物線V=4px,拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-P,

設(shè)M(X,y),由拋物線定義可知，IMFl=X+p=4,

x=a-p,

故選：A.

3.如圖，在正三棱柱ABC-AqG中，若AB=0明則AG與BC所成角的大小為()

B

A.135B.105C.90D.60

【答案】C

【分析】分別取CCM￡,AC的中點(diǎn)。,瓦尸，連接OE,。Em，把異面直線AG與BC所成的角轉(zhuǎn)

化為直線DE與DR所成的角，在/中，結(jié)合余弦定理，即可求解.

【詳解】如圖所示，分別取CC/￡,4C的中點(diǎn)￡>,及尸，連接。E,DF,EF,

可得DE∕∕B∣C且DFHACx,

所以異面直線AG與BC所成的角，即為直線DE與DF所成的角，設(shè)NEDF=e,

因?yàn)槿庵鵄8C-ABC為正三棱柱，且AB=CBBI,

不妨設(shè)/W=4,網(wǎng)=2√2,

在直角.8尸中，可得Z)F=JcD?+cf?2=J詆2+22=",

在直角E中，可得Z)E=JClO?+C∣E2=+2?=后,

再取BC的中點(diǎn)M,連接EM,FM,可得EM"BB,,

因?yàn)?8∣J"底面ABC,所以EMj"底面ABC,

2

在直角△￡■「“中，可得EF=《FM,+EM°=y∣2°+QO)=26，

DE?+。尸-EF?6+6-12

所以COSe==0,所以。=90>

2DE?DF2√6×√6

所以異面直線Ael與BC所成的角為90.

故選：C.

B

4.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則()

A.x=l為函數(shù)/(x)的零點(diǎn)

B./(-3)是函數(shù)的最小值

C.函數(shù)/(x)在(1,3)上單調(diào)遞減

D.x=3為函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)

【答案】C

【分析】根據(jù)r(x)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)和極值，以及

零點(diǎn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由廣(X)的圖象，可得：

當(dāng)xe(ro,-3)時(shí)，∕,(x)<O,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(-3,l)時(shí)，制x)>O,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,3)時(shí)，∕,(x)<O,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(3,+8)時(shí)，戶")>°，/U)單調(diào)遞增，

A中，X=I是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，不一定是函數(shù)的零點(diǎn)，所以A不正確；

B中，〃-3)是函數(shù)f(x)一個(gè)極小值，不一定是函數(shù)/(x)的最小值，所以B錯(cuò)誤;

C中，函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以C正確；

D中，x=3為函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.以點(diǎn)A(3,4)為圓心，且與y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+3)2+(y-4)2=16

B.U-3)2+(γ+4)2=16

C.(X-3)2+(y-4)2=9

D.(X-3)2+(>'+4)2=9

【答案】C

【分析】根據(jù)題中條件，得到圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程.

【詳解】以點(diǎn)A(3,4)為圓心，且與y軸相切的圓的半徑為3,

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=9.

故選：C.

6.已知下列命題

①已知向量c,則(n+6)?c=4?c+%?C;

②已知向量”,6,則a_L6=(i/=0;

③已知向量α,〃共線，則3“+占與d共線；

④己知犯〃是平面α內(nèi)的兩條相交直線.若∕?L俏」，〃，則/La.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)判斷①；根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷②；根據(jù)向量共線的定理判斷③；根

據(jù)線面垂直的判定定理判斷④.

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可知，(a+b?c=a-c+b-c,故①正確：

根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，故②正確；

若向量〃,b共線，則〃=而，從而3〃+力=3a+∕?r=(3+2)a,故3〃+/?與白共線，故③正確;

根據(jù)線面垂直的判定定理，若加》是平面。內(nèi)的兩條相交直線，I-Lmjrn,貝1"，。，故④正確.

故選：D.

7.已知七,工為橢圓?+5=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)”的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若怩4+KM=10,

則IA3∣=()

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)即可求解.

【詳解】由二+t=1,即￡+￡=1,可得〃=4,

916169

根據(jù)橢圓的定義陽(yáng)A∣+∣gA∣+花用+優(yōu)M=4α=16,

所以IAW=舊A∣+恒卻=6.

故選：B.

8.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,??+|=ran+r,(π∈N*,re/?,r≠()),則“r=l”是“數(shù)列｛4｝為等差

數(shù)歹『的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先根據(jù)等差數(shù)列定義證明充分性成立，再舉反例說(shuō)明必要性不成立.

【詳解】當(dāng)廠=1時(shí)，an+l=ral,+r^a^=a,,+?,所以數(shù)列｛%｝為公差為1的等差數(shù)列，即充分性成

立；

??+,=ran+r,al=1.?.a2=2r,ai=2r+r,所以若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則4/-=I+Ir+r,,r=1或

r=∣,即必要性不成立，

綜上，'>=1'’是"數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列''的充分不必要條件，

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列定義以及充要關(guān)系判定，考查基本分析化簡(jiǎn)求證能力，屬中檔題.

9.已知?jiǎng)訄A的圓心在拋物線y=上，且與直線y=-3相切，則此圓恒過(guò)定點(diǎn)()

A.(0,3)B.(0,2)C.(0,-3)D.(0,6)

【答案】A

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得出圓的半徑為圓心A到

直線y+3=0的距離，對(duì)于圓心A到拋物線的焦點(diǎn)的距離，故拋物線的焦點(diǎn)在圓上.

【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為W=12y,

，拋物線的準(zhǔn)線方程為/：y=-3,焦點(diǎn)為F(0,3).

設(shè)動(dòng)圓圓心為A,則A到/的距離=MFI.

動(dòng)圓A與直線y+3=0相切，

.?.A到直線/的距離為動(dòng)圓半徑，即動(dòng)圓半徑為IAF∣,即F為圓上的點(diǎn).

???此圓恒過(guò)定點(diǎn)F(0,3)?

故選：A.

10.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，A為直線/：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，8(5,0),以AB為徑的圓

C與直線交于另一點(diǎn)。.若A8?CZ)=0,則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.-1B.3C.3或TD.2

【答案】B

【分析】由已知得BDU,求得5。的方程，進(jìn)而得。(1,2),設(shè)Am,2”)，則從而根據(jù)

平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.

【詳解】如圖，由已知得比>，/,則%=-；，所以30的方程為y=-；(X-5).

y=2x,

由1ν、解得。(1,2).

y=-](x-5),

5+α二,2-〃

設(shè)A(a,2d),a>0,則Ca,從而4B=(5-α,-24),CD=

~Γ^'2

—3—ci

所以AB?CD=(5")-----------2α(2-α)=0,解得。=3或。=一1

2

又“>0,所以。=3,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

故選：B.

11.如圖，作一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，再將各邊的中點(diǎn)相連作第二個(gè)正方形，依此類推，共作了"個(gè)

正方形，設(shè)這〃個(gè)正方形的面積之和為S,,,則Sg=（）

127C127C255C255

A.----B.-----C.-----D.-----

64128128256

【答案】C

【分析】根據(jù)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)都是相鄰前一個(gè)的也可確定各正方形面積構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比

2

數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意知：從第2個(gè)正方形開(kāi)始，之后每個(gè)正方形邊長(zhǎng)都是相鄰的前一個(gè)的亞，

2

則從第2個(gè)正方形開(kāi)始，每個(gè)正方形面積都是相鄰的前一個(gè)的

將各正方形面積依次排成一列，可得等比數(shù)列{《,},其首項(xiàng)《=1,公比<?=；,

1-1

?S=三=2」=2」.咨

8]_127128128*

"2

故選：C.

12.雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向

延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線芯：5-/=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，從尸2

發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A,8兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和￡>,且CoS/BAC=-QBM=O,則

E的離心率為（）

【答案】B

【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出忸媚,忸進(jìn)而利用勾股定理可得α,c

的關(guān)系，從而可求出結(jié)果.

【詳解】由題意知延長(zhǎng)C4,D3則必過(guò)點(diǎn)毋,如圖：

;

由雙曲線的定義[?知AE?偶-?A_F周.?=2a/

又因?yàn)镃oSN84C=-得，所以CC)SNKAB=5，

因?yàn)锳B?8O=0,所以ABj_8。，

IAEJ=?3m-2a

設(shè)IAKl=I3m,τn>0,則IAM=56,忸用=12機(jī)，因出’4

^]\BF2\=nm-2a

從而由∣Ag∣+忸周二∣AS∣得13???-2Λ+12W-2Z7=5Jn,所以〃=5加，

則忸KI=弓明忸段=∣”,I耳劇=2c,

又因?yàn)镮跖/+忸&「=山片「'所以(Kl+(IJ

=(2C)2,

即37∕=25C2,即e=亙，

5

故選：B.

二、填空題

13.經(jīng)過(guò)A(3,2),磯―1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(l,k),則Z=.

【答案】∣∕0.5

【分析】根據(jù)直線的方向向量的定義，結(jié)合斜率的計(jì)算公式求解出火的值.

【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為。,女)，則火為直線的斜率，

又直線經(jīng)過(guò)A(3,2),3(T,0)兩點(diǎn)，所以k=X｛=彳.

—1—32

故答案為：~.

14.拋物線N=-y上的點(diǎn)到直線4戶3y-8=0的距離的最小值為一.

4

【答案】-

【解析】先求得與直線4x+3y?8=0平行，且與拋物線相切的直線，然后再利用平行線間的距離求解.

【詳解】設(shè)直線4x+3y+c=0與拋物線相切，

f4x+3y+c=0

由《2，得3∕-4X?C=0,

〔工=-y

,4

由/=16+12C=0,得c=--,

3

|-8+4

所以兩平行線的距離為I3∣=4.

√16+9^3

4

故答案為：—

15.在數(shù)列｛4,,｝中，已知/+1-%=4,+2-6+1，％<n2=l,則該數(shù)列前2023項(xiàng)的和S2θ23=.

【答案】2023

【分析】由題目條件分析可知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式、結(jié)合等差

數(shù)列的性質(zhì)求解邑期.

【詳解】由?+∣-?=?+2-α向可知，數(shù)列｛??｝為等差數(shù)列，

所以“I+a2023=2α∣0∣2=2,

所以S2023=(q+”)x2023=2×≡3=2023

故答案為：2023.

16.函數(shù)/(x)=d-3X在區(qū)間(m,2)上有最小值，則小的取值范圍是.

【答案】卜2,1)

【分析】求出函數(shù)/(x)=χ3-3x的單調(diào)性，結(jié)合最小值的定義即可求解.

【詳解】f?x)=3x2-3,令/'(x)=0得x=±l,

X∈(-∞,-l)o(l,+∞)f'(x)>0,xw(T,l)時(shí),f?x)<0,

所以/*)在(→Λ,-I)和a,+8)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減，

若函數(shù)f(x)=x3-3x?(m,2)上有最小值，則其最小值必為/(D,

則必豕w(m,2)且/(旭)=病-3∕n≥/(I)=-2,

即，”<1且MI-I)-2(%-l)≥0,

則機(jī)<1且(〃?-1)~(〃?+2)≥O,解得—2≤m<1.

故答案為：卜2,1).

三、解答題

3

17.(1)已知直線經(jīng)過(guò)A(6,-4),斜率為-：，求該直線的一般式方程；

(2)已知頂點(diǎn)在X軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8,離心率e=<,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

4

【答案】(1)3x+2y-10=0;(2)—-?=1

169

【分析】(1)先求出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程即可；

(2)由題意列出關(guān)于a，。的方程，求出α,"c,即可得解.

【詳解】(1)已知直線經(jīng)過(guò)A(6,T),斜率為

則該直線的方程為y+4=-](x-6),

即該直線的一般式方程為3x+2y-Io=0；

(2)因?yàn)閮身旤c(diǎn)間的距離是8,離心率e=<,

4

C5

則次二8且一=；,解得α=4,c=5,從而從=c2—標(biāo)=9,

a4

已知頂點(diǎn)在X軸上，即焦點(diǎn)在X軸上，

則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1-4=1?

169

18.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-AEG。中，E,F,G分別是。Q,BD,Bg的中點(diǎn)

(1)求AE的長(zhǎng);

(2)求EF與CG所成角的余弦值.

【答案】(1)立

2

⑵姮

15

【分析】(1)在直角VADE中，利用勾股定理，即可求解；

(2)連接EA,AF,證得EA1//CG,把異面直線EF與CG所成的角轉(zhuǎn)化為直線EA與瓦■所成的角,

在；AEF中，利用余弦定理，即可求解.

【詳解】(1)解：在正方體ABCo-A4GA中，可得DE」AD,

因?yàn)檎襟wABC。-ABCA的棱長(zhǎng)為1，

在直角VAr)E中，可得AE=Jm+￡＞爐=5+(景=字

(2)解：取4A的中點(diǎn)連接DA/,可得CG//DM,

再連接EVAF,因?yàn)镋為棱。。的中點(diǎn)，可得EAt"NM,所以E4√∕CG,

所以異面直線EF與CG所成的角即為直線EA與EF所成的角，設(shè)NAIEF=θ,

因?yàn)檎襟wABCo-ABCA的棱長(zhǎng)為1，

在直角.QEF中，可得EF=y∣DE1+DF2==?，

在直角^AA尸中，可得A尸=JAA2+4尸2=+*?=乎，

在直角ARE中，可得AE=JAIq2+a爐=J?+g)2=亭

222

AlE÷gF-ΛlF

在COSθ=

2AyE×EF15

所以異面直線EF與CG所成的角的余弦值為巫

19.已知｛““｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為Sr但｝是首項(xiàng)為3且公比4大于0的等比數(shù)歹

A3-Ib2=9,b3=3a4,S9=Wb2.

⑴求｛%｝和｛bl,｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛a,,bn｝的前〃項(xiàng)和L（〃∈N*）.

【答案】（IM=2〃+1,bn=y.

(2R="?3?+∣.

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可計(jì)算得到公比q的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性

質(zhì)和求和公式，即可解出首項(xiàng)％和公差d的值，即可求得他"和｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)論得到數(shù)列｛4z,M%｝的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出前“項(xiàng)和η,?

【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列｛4,,｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃』的公比為夕，則q>0.

則由4-2a=9可得，3qjq=9,解得q=3或g=-l（舍去），

所以2=M"T=3x3"T=3",則4=9,4=27.

由4=3%可得4=9,由59=1電可得，Sg=99,

又Sg=9（q廣）=%,所以4=11.

所以〃=。5-〃4=2,4=4+3"=q+6=9,所以《=3,

所以=4+("-l)d=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)由(1)知，an=2n+?,d=3",

所以α,,?d=3"?(2"+l).

2

所以，Tn=albl+a2b2+...+allbn=3×3+5×3+...+(2n+1)-3",

37；=3x32+5x33+...+(2n+l)?3πtl,

兩式作差得，

-27；,=3×3+2×32+2×33+L+2×3"-(2∕z+l)?3n+'

2×32×(l-3,'-1)

=9+-------?——'--(2π+l)?3"+'=9+3),+'-9-(2π+l)?3n+'=-2n?3π+l>

n+

所以，Tll=n-3'.

20.已知J?B的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(0,3),(0,-3),且直線%，P3的斜率之積是-3,設(shè)點(diǎn)

P的軌跡為曲線H

⑴求曲線”的方程；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)且斜率為A的直線與曲線，交于不同的兩點(diǎn)E,F(均異于A,B),證明：直線BE與

BF的斜率之和為定值.

【答案】⑴三+片=l(x≠0)

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用斜率公式即可化簡(jiǎn)求解,

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，即可結(jié)合斜率公式求解.

【詳解】(1)設(shè)P(X,y)(x≠0),則由直線孫，尸8的斜率之積是-3可得FF=-3,

化簡(jiǎn)可得日+±ι(χ≠°)

(2)設(shè)直線方程為：y=kx-k+3,

則與橢圓方程聯(lián)立可得：(3+公)d+2k(3-k)x+公-6Z=0,

則A=4∕3-A:7—4(3+巧伏2—6々)=24無(wú)(％+3)>0,故4<-3或%>0,

設(shè)儀不命,尸(私必)，則西+々=坐m?,入內(nèi)=工等.

?十K,?十K,

i,1.4.._%+3%+3_(如-女+6區(qū)+(3d+6)x∣

IU.KBE十KBF_1一

...MK-6k、工,、2k(Z-3)

2gX2+6k)(x∣+%)_2h3+/+(6-4)3+F_6心-36k

22

xλx2k-6kk-6k

3+一

22

21?雙曲線u±±3°)的左、右焦點(diǎn)分別為耳鳥(niǎo)，過(guò)K作與X軸垂直的直線交雙曲線。于

A,B兩點(diǎn)，耳A8的面積為12,拋物線E:y2=2px(p>0)以雙曲線C的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).

(1)求拋物線E的方程;

⑵如圖，點(diǎn)尸b5,“(f≠0)為拋物線E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作)'軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,連接

Po并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)N,求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).

【答案】(l)∕=4x

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)6(c,0)(c>0),令x=c,代入C的方程得IyA結(jié)合三角形的面積求出“，即可得

出P,從而得解；

(2)由(1)知P(T∕)(∕Hθ),可得M的坐標(biāo)，直線尸。的方程為y=-優(yōu)，代入拋物線E的方程可

得N的坐標(biāo)，進(jìn)而得MN的方程，求解即可.

【詳解】(1)

設(shè)5(GO)(C>0),則C=GTL

令X=C,代入C的方程，得∣為∣=2

所以S卜9=:x2cx2∣yj=6"6=12,所以q=l,

故5=α=l,即，=2.

所以拋物線E的方程為V=4x.

(2)由(1)知P(-l")(∕wθ),則

直線PO的方程為y=-txf代入拋物線E的方程有No

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r+74