2019-2023年高考數(shù)學(xué)真題分項匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（解析版）

五年(2019-2023)年高考真題分項匯編

與題04導(dǎo)照&瘙用(解爭墓)

奇君?存叛分析

函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考必考知識點，解答題主要是壓軸題的形式出現(xiàn)，常考題型如圖所示:

t8值點偏移類問或

導(dǎo)敷綜合類麗

高考真魅橫折

考點01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)

一、解答題

1.(2023?全國乙卷)已知函數(shù)f(x)=(：+“l(fā)n(l+x).

⑴當(dāng)。=一1時，求曲線y=/(x)在點0J⑴)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若“X)在(0,+巧存在極值，求a的取值范圍.

【答案】⑴(ln2)x+y-ln2=0：

(2)存在a=g,6=-；滿足題意，理由見解析.

⑶冏

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的兒何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求

解切線方程即可；

⑵首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)8的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可

得關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程可得實數(shù)。的值，最后檢驗所得的。涉是否正確即可；

⑶原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g（x）=a?+x—（x+l）m（x+l）,然后對函數(shù)求導(dǎo)，

利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論aWO，和0<a<；三中情況即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】（1）當(dāng)。=一1時，〃x）=（：-l）n（x+l）,

則/⑺=-9岫+1）+（4卜占

據(jù)此可得/（l）=0,/'（l）=_ln2,

函數(shù)在（l,f⑴）處的切線方程為y-O=-ln2（x-l）,

BP（in2）x+y-In2=0.

（2）由函數(shù)的解析式可得，￡）=（-即&+1），

1y*_1_1

函數(shù)的定義域滿足：+1=*>0,即函數(shù)的定義域為（9,-l）u（0,y）,

定義域關(guān)于直線》=-《對稱，由題意可得6=-1,

22

由對稱性可知+機）=,

取/可得=

即（a+l）ln2=（a-2）ln[,則a+l=2-a,解得a=；,

經(jīng)檢驗°=滿足題意，故a=16=-:.

2222

即存在a=《*=-:滿足題意.

22

（3）由函數(shù)的解析式可得（（力=卜5}n（x+1）+&+、+，

由f（X）在區(qū)間（0,+巧存在極值點，則/（X）在區(qū)間（0,+8）上存在變號零點；

令,孫（1）+6+“島=o，

則_（x+l）ln（x+1）+（工+加）=0,

=+x-（x+l）ln（x+l）,

/（X）在區(qū)間（0,+紇）存在極值點，等價于g（x）在區(qū)間（0,+8）上存在變號零點，

=2ox-ln(x+l),g"(x)=2a-----

當(dāng)時,g'(x)vO,g(x)在區(qū)間(0,+巧匕單調(diào)遞減，

此時g(x)<g(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+e)上無零點，不合題意;

當(dāng)時，由于貴<1,所以g"(x)>O,g'(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=O，g(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)上無零點，不符合題意；

'"l0<a<—時，EHg"(x)=2a—?--=0可得x=——1,

2x+12a

當(dāng)1寸，g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(]-l,+8

時,g"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增,

【2a

T--ll=l-2a+ln2a,

令7??(x)=l-x+lnx(0<x<l),則加(x)=—Y——+]>0,

函數(shù)機⑺在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，"Z(X)<M1)=O，

據(jù)此可得1一%+1m%〈0恒成立，

貝lj——1J=1-2〃+此2〃<0,

令"(x)=Inx-x?+x(x>0),則=:2'

當(dāng)xe(O,l)時，〃(x)>(),〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(1收)時,〃(x)<0/(x)單調(diào)遞減，

故〃(x)vg)=o,即lnx4x2-x(取等條件為X=l),

所以g'(x)=2ax-ln(x+l)>2at-[(x+1)--(x+1)J=2ax-^x2+x),

^'(2?-l)>2a(2?-l)-[(2a-l)2+(2a-l)]=0,且注意到g'⑼=0,

根據(jù)零點存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+e)上存在唯一零點%.

當(dāng)xe(O,%)時，g<x)<0,g(x)單調(diào)減,

當(dāng)xe(4,+oo)時,g[x)>(),g(x)單調(diào)遞增,

所以g(%)<g(o)=。

2-y[x

令=\nx-\[x,

貝酎⑺<4r2x

則函數(shù)〃(x)=lnx-4在(0,4)匕單調(diào)遞增，在(4,壯)上單調(diào)遞減,

所以〃(x)<〃(4)=ln4-2<(),所以Inx〈人,

>1

所以函數(shù)g")在區(qū)間(0,+巧上存在變號零點，符合題意.

綜合上面可知:實數(shù)”得取值范圍是

【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等

函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利

用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用時稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.

2.(2022?全國乙卷)已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)+arer

⑴當(dāng)“=1時，求曲線y=〃力在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵若“X)在區(qū)間(-1,0),(0,物)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

【答案】⑴y=2x

(2)(-00,-1)

【分析】(1)先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可

(2)求導(dǎo)，對。分類討論，對x分(-1,0),(0,位)兩部分研究

【詳解】(1)的定義域為(-1,包)

當(dāng)。=1時,/(x)=ln(l+x)+「J(0)=0,所以切點為(0,0)/。)=占+詈J'(O)=2,所以切線斜率為2

所以曲線y=隹點(0,/(0))處的切線方程為y=2x

ax

(2)/(x)=ln(l+x)+7

_L+3=e』(T)

1+xeJ(l+x)ex

設(shè)g(x)=e"+《I一V)

1°若a>0,當(dāng)xe(T,0),g(x)=e'+《l—x2)>0Wr(x)>0

所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)匕沒有零點，不合題意

2°若T4a40,當(dāng)xe(0,+oo),則g'(x)=e-lax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f\x)>0

所以fM在Qxo)上單調(diào)遞增,/(x)>/(0)=0

故/(X)在(0,一)上沒有零點，不合題意

3°若a<—1

⑴當(dāng)xe(0,七》),則g'(x)=e*-2ar>0,所以g(x)在?！?上單調(diào)遞增

g(0)=1+a<0,g(l)=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(m)=0,即f\m)=0

當(dāng)xe(0,zn),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(%,+oo)J(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)xe(0?</(0)=0,

Y1—Y

令心)=”>T則〃a)=『x>T

所以/7(x)=t在上單調(diào)遞增，在(l,y)I二單調(diào)遞減，所以力(X)4/?(1)=J,

ee

又￡-1>0，fe-1--f+a；=0'

所以fM在(m,+?=)上有唯一零點

又(0,⑼沒有零點，即/(X)在(0,+◎上有唯一零點

⑵當(dāng)xe(-l,0),g(x)=e*+a(l-x2)

設(shè)h(x)=g(x)=eA-2ax

/?(x)=eA-2d>0

所以g'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增

g'(-D=1+2a<0,g'(0)=l>0

e

所以存在使得g，(”)=0

當(dāng)xe(-l,w),g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)<g(0)=l+a<0

又g(-l)=:>。

e

所以存在te(-1,〃),使得g(f)=0,即=0

當(dāng)xe(-1,0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(f,0)J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-l,0),/i(x)>/i(-l)=-e,

又-l<e企-1<0,/(ew-l)<ae-tze=0

而f(0)=0,所以當(dāng)xe(t,0)J(x)>0

所以f(x)在(-l,r)上有唯一零點,(r,0)上無零點

即〃X)在(-1,0)上有唯一零點

所以。<-1,符合題意

所以若/(X)在區(qū)間(-1,0),(0,+00)各恰有一個零點，求。的取值范圍為

3.(2021?全國甲卷)已知4>0且awl,函數(shù)f(x)=—(x>0).

a'

(1)當(dāng)a=2時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

【答案】(1)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；(2)(l,e)(e,+8).

【分析】(D求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線y=/(x)與直線》=1有旦僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方

程?=等有兩個不同的實數(shù)根，即曲線y=g(x)與直線y=?有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的單調(diào)

性，并結(jié)合g(x)的正負，零點和極限值分析g(x)的圖象，進而得到0<一<：,發(fā)現(xiàn)這正好是

()<g(a)<g(e),然后根據(jù)g(x)的圖象和單調(diào)性得到。的取值范圍.

\x2\2x-2x-x2-2'ln2x-2'(2-xln2)

【詳解】(1)當(dāng)。=2時，”x)=^J(x)=---------------=------------

079

令1(x)=0得工=三，當(dāng)0。<三時，/心)>。,當(dāng)%>三時，r(x)<0,

In2In2''In2

回函數(shù)〃X)在(。,高上單調(diào)遞增；*，+8)上單調(diào)遞減；

(2)【方法一］【最優(yōu)解】：分離參數(shù)

='=1=優(yōu)=X。<=>xlna=alnx=設(shè)函數(shù)g(x)=111^,

axxax

貝心，(司=1^,令8'(力=0,得x=e,

在(O,e)內(nèi)g［x)>O,g(x)單調(diào)遞增；

在(e,+°o)上g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；

???g(x)M=g(e)=。

又g(l)=O,當(dāng)*趨近于+8時，g(x)趨近于0,

所以曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線y=等有兩個交點的充分必要條

件是0<皿<\這即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范圍是(l,e)(e,y).

［方法二］:構(gòu)造差函數(shù)

由y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點知〃X)=1,即尸=罐在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程

alnx=xlna在區(qū)間(0,+℃)內(nèi)有兩個解.

構(gòu)造函數(shù)gOOnalnx-xlnaxeOX+aj),求導(dǎo)數(shù)得晨(x)=N-lna="*&.

XX

節(jié)0<”1時，］na<0,xe(0,+8),4-xln4>0,g(x)>O,g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以，g(x)在(0,+°0)

內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；

當(dāng)。>1時，ln〃>0,令g'(x)=O得了=二，當(dāng)時，g'(x)>0；當(dāng)工/二個刃］時，g'(x)vO；

InaIIna)\lna)

所以，函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為

V\naJ［InaJ

i/_［

由于Ove0<1<—,xe"=—l—e"InavO,

當(dāng)x-?+8時，有alnxvxlna,即g(x)<0,由函數(shù)g(x)=alnx-xlna在(0,+oo)內(nèi)有兩個零點知

a1I>0所以即a-eln〃>0.

g?In—T

\naI\na

構(gòu)造函數(shù)〃(a)=a—elna,則方⑷=1_￡=巴H,所以以。)的遞減區(qū)間為(l,e),遞增區(qū)間為(e,+oo),所以

aa

/i(?)>/;(e)=O,當(dāng)且僅當(dāng)a=e時取等號，故版a)>0的解為a>1且aHe.

所以，實數(shù)a的取值范圍為(Le)u(e,—).

［方法三］分離法：一曲一直

曲線y=Ax)與y=1有且僅有兩個交點等價為4=1在區(qū)間(0,田)內(nèi)有兩個不相同的解.

a

因為x"=",所以兩邊取對數(shù)得alnx=xlna,即lnx=±!吧，問題等價為g(x)=Inx與爪x)=也有且僅

aa

有兩個交點.

①當(dāng)0<〃<1時，等<o,p(x)與g(x)只有一個交點，不符合題意.

②當(dāng)a>1時，取g(x)=lnx上一點伍,1!1廝)，8'。)=,1(廝)=-!"送(幻在點(為,|11%)的切線方程為

XXQ

y-lnx0=—(%-x0),gpy=-x-l+lnx0.

\na_\Ina_1

當(dāng)尸卜―。與以上空

為同一直線時有，axo得，ae

%=e.

Inx0-1=0,

直線。(%)=史吧的斜率滿足：0<小<，時，g(x)=lnx與夕(乃=史上仃且僅有兩個交點.

aaea

記〃⑷=￥，"(")=潦令〃(a)=0,W?=e.ae(l,e),/?'(a)〉0,/?(a)在區(qū)間(l,e)內(nèi)單調(diào)遞增;

。€(0+00),"(。)<0,/2(。)在區(qū)間3+8)內(nèi)單調(diào)遞減；a=e時，"(a)最大值為g(e)=L所當(dāng)。>1且awe時

e

七八In。1

有0<——<-.

ae

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍為(l,e)u(e,+oo).

［方法四］:直接法

xa~l(a-x\na)

/(x)=Rx〉0)j'(x)=

因為x>0,由/'(幻=。得了=7^-.

In。

當(dāng)0<avl時，，(幻在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意;

當(dāng)g時，扁>。，由八>0得0一<扁J(x)在區(qū)間。,高內(nèi)單調(diào)遞增，由尸(x)<。得。熹小)

在區(qū)間(高,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

因為岫/(力=°，且曾小=0,所以，(馬>1，即里i_=R>i，即K〉(ina)M±〉lna，

Sa)

兩邊取對數(shù)，得(1-，一)lna>ln(lna),gplna-1>ln(ln?).

令I(lǐng)na=f,則f-1>Inf,令〃(x)=Inx-x+1,則/(x)='-1,所以/t(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,”)

x

內(nèi)單調(diào)遞減，所以/?(x)V/J(1)=O,所以r-121nf,則f的解為f#1,所以Inawl,即afe.

故實數(shù)”的范圍為(l,e)u(e,+a>).]

4.(2022天津?統(tǒng)考高考真題)已知a>0,函數(shù)/a)=ax-W.

(I)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程：

(II)證明/(*)存在唯一的極值點

(III)若存在a,使得+6對任意xeR成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(I)y=(a-l)x,(a>0)；(II)證明見解析；(川)[-e,+oo)

【分析】⑴求出/(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出“0)，即可求出切線方程；

(II)令/'(x)=0,可得a=(x+l)靖，則可化為證明與y=g(x)僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的

變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解：

(川)令力(x)=(x2-x-l)e*,(x>-l),題目等價于存在xe(-l,E),使得〃(x)4。，即b*〃(x)n.n,利用導(dǎo)數(shù)

即可求出〃卜)的最小值.

【詳解】(I)f'(x)=a-(x+l)ex,則尸(0)=a-l,

又/(0)=0,則切線方程為y=3-l)x,(a>0)；

(II)令/'(x)=a-(x+l)e”=0,則4=(x+l)/,

令g(x)=(x+l)er,貝ljg\x)=(x+2)ex,

當(dāng)不￡(-8,-2)時，<0,g(文)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(-2,+oo)時,gf(x)>0,g(力單調(diào)遞增,

當(dāng)Xf-oo時，g(x)<0,g(-[)=0,當(dāng)x-田時，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下：

所以當(dāng)a>0時，y=a與y=g(x)僅有一個交點，令g(相)=。，則且/'(，〃)=4-g(w)=0,

當(dāng)xe(fo,，w)時，a>g(x),則/'(尤)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(〃?,+8)時，a<g(x),則r(x)<0,.f(x)單調(diào)遞減，

x=機為/(x)的極大值點，故/(x)存在唯一的極值點；

(III)由(II)知/(x)ma*=/(m)，此時a=(l+m)e"',，”-l,

所以｛/(幻-。｝皿=f(m)-a=^m2,

令Mx)=(x2-x-l)e*,(x>-1),

若存在a,使得在x)Va+b對任意xwR成立,等價于存在xe(T,+<?),使得力(x)Vb,即人士例>)而“，

〃(x)=(%2+x-2)e*=(x-l)(x+2)e*,無>-1,

當(dāng)時,h\x)<0,〃(%)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(l,+oo)時,h'(x)>0,單調(diào)遞增,

所以=人(1)=-e,thb>-e,

所以實數(shù)b的取值范圍［-e,?).

【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與y=g(x)僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是

轉(zhuǎn)化為存在xe(-1,+8),使得/j(x)4b,^b>h(x)min.

5.(2020年全國高考團卷)已知函數(shù)/(x)=e*+ax2-x.

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)立0時，f(x)42+1,求a的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)X?YO,0)時,尸(x)<0J(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x?0,M)時,f(x)>0J(x)單調(diào)遞增.(2)

【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.

⑵方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值

即可確定實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】⑴當(dāng)a=l時，f(-^)—e,+x2—x,/'(X)=e'+2x—l,

由于/")=e'+2>0,故/(x)單調(diào)遞增，注意到了'⑼=0,故:

當(dāng)XG(TO,0)時,/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x?0,+oo)時,/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：分離參數(shù)

由/1(x)2+1得,ex+ax2—x.x3+1,其中x2O,

①.當(dāng)x=0時，不等式為：121，顯然成立，符合題意;

②.當(dāng)x>0時，分離參數(shù)a得,〃

a...-------------

g(x)=_-~-^2-----，g'(x)=一

=h(x)=e'-l>0,

故”(x)單調(diào)遞增,"(x)2/?'(O)=O,

故函數(shù)人⑺單調(diào)遞增,心)2力(0)=0,

由72(力上0可得：e'—gd—a10恒成立，

故當(dāng)x?0,2)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x?2,+oo)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

因此,[g(x)L=^2)=F

7-e2

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍是「一,+8.

【方法二］:特值探路

當(dāng)x^O時，./1")武/+1恒成立=>〃2癖=>4-——.

24

只需證當(dāng)。之上￡時，/(幻24爐+1恒成立.

42

7-/7—e2

當(dāng)a2----時，/(x)=e°+ax~-x>ev+-----x2-x?

44

只需證明e*+7~ex2-x>^x3+l(x>0)⑤式成立.

/exi(e~-7)r+4光++4

⑤式x=-----1--------------------<4，

ex

人(92-7卜2+4%+2/+4

令h(x)=----1-------------------(x>0)，

e

川,〃、(13-e2)x2+2(e2-9)x-2x3-(13-e2)x-2(e2-9)^-x(x-2)[2x+(e2-9)^

eee

'9-2'

所以當(dāng)xe0,Je-時,〃'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

<9-2、

當(dāng)xe——e,2,"(x)>0,/i(x)單調(diào)遞增；

12)

當(dāng)X￡(2,+00),"(%)<0,A(x)單調(diào)遞減.

從而加。)]皿=!^^{/7(0),〃(2)}=4,即〃(x)44,⑤式成立.

所以當(dāng)時，/。)2：爐+1恒成立.

42

7—/

綜上。2匕月.

4

【方法三]:指數(shù)集中

'4x20時，y(x)2萬丁+1恒成立e'..+1-ux^+x(/——+x+l)eA41,

記g(x)=(gx，2+x+l)e-A(x>0),

g'(x)=-(lx3-ax2+x+l-|x2+2f4r-l)e'x=-^x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x=-1x(x-2a-l)(x-2)e-\

①.當(dāng)2n+140即時，g'(x)=0=x=2,則當(dāng)xe(0,2)時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，又g(0)=l,

所以當(dāng)xe(0,2)時，g(x)>l,不合題意;

②.若0<2a+l<2即時，則當(dāng)xe(0,2?+l)52,+<?)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(2a+1,2)

時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，又g(O)=l,

所以若滿足g(x)41,只需g(2)41,即8(2)=(7-我%-241=〃..了，所以當(dāng)=了4〃<；時，g(x)41

成立；

③當(dāng)2?+lN2即a2；時，g(x)=(\3-ar2+x+l)e-v<(^x3+x+l)e~\乂由②可知時，

g(x)41成立，所以。=0時，g(x)=(；x3+x+i)e-Yi恒成立，

所以時，滿足題意.

綜上，a...—_—.

4

6.(2020江蘇?統(tǒng)考高考真題)已知關(guān)于x的函數(shù)y=/(X),y=g(x)與h(x)=kx+b(k,beR)在區(qū)間。上恒有

f(X)>h(X)>gM.

(1)若/(x)=f+2x,g(x)=-x2+2x,￡>=(9,+8),求6(x)的表達式；

(2)f(x)=x2-x+Lg(x)=Zlnx,h(x)=kx-k,D=(0,+co),求k的取值范圍；

(3)若/(力=/一2》2,g(x)=4/_8,〃(x)=4(/_f)x-3尸+2/(0<卜區(qū)立)，。=［肛q［-忘，血］，求證:

n-m<-Ji.

【答案】(1)〃(x)=2x；(2)ke\0,3］；(3)證明詳見解析

【分析】(1)方法-：根據(jù)一元二次不等式恒成立問題的解法，即可求得力(同的表達式;

(2)方法一：先由〃(x)-g(x)20,求得％的一個取值范圍，再由“力-秋x)N。，求得上的另一個取值范

圍，從而求得％的取值范圍.

(3)方法一：根據(jù)題意可得兩個含參數(shù)/的一元二次不等式在區(qū)間［加,〃］=［-血,夜］上恒成立，再結(jié)合放

縮，即可利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.

【詳解】(1)【方法一］:判別式法

由/(x)>h(x)>g(x)可得x?+2x>kx+b>-x1+2x(￡R匕恒成立，

即x2+(,2-k)x-b>0^x2-(2-k)x+b>0,

△i=(2-4+4640,

從而有<即(2-k)2<4h<-(2-k)2

2

A2=(2-jt)-4Z?<0,

所以(2-幻2=o,4b=O,

因此,k=2,b=0.所以〃(x)=2x.

［方法二］【最優(yōu)解】：特值+判別式法

由題設(shè)有+2x4fcv+64x2+2x對任意的xeR恒成立.

令x=0，則04b40,所以匕=0.

因此自4/+2x即-+(2-％》20對任意的xeR恒成立,

所以公=(2-。240,因此k=2.

故〃(x)=2x.

(2)［方法一］

令F(x)=/?(x)-g(x)=A:(A"-l-lnx)(x>0),F(l)=0.

又尸(x)=h^.

若無<0,則尸(X)在(0,1)上遞增，在(L+oo)上遞減，則尸(無)4尸(1)=0,即Mx)-g(x)40,不符合題意.

當(dāng)％=0時，F(xiàn)(x)=h(x)-g(x)=0,h[x)=(x),符合題意.

當(dāng)人>0時，尸(x)在(0,1)上遞減,在(1,+oo)上遞增,則尸(x)N尸⑴=0,

即〃(x)—g(x)20,符合題意.

綜上所述，k>0.

由/(x)-/?(x)=x2-x+l-(fcr-fc)=x2-(A:+l)x+(A:+l)>0

k_1_1

當(dāng)x=^<0,即時，》=??—(&+l)x+Z+l在(0,+e)為增函數(shù)，

因為〃0)-〃(0)=々+1<0,

故存在飛w(O,x),使f(x)—(x)<0,不符合題意.

當(dāng)％=等=0,即％=—1時，f(x)-h(x)=x2>0,符合題意.

4+1,

當(dāng)％=丁>0,即人>—1時，則需△=(%+1)-4(4+1)40,m-]<k<3.

綜上所述，上的取值范圍是后e[0,3].

[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法

由已知得f(x)=x2-x+l>h(x)=kx-k>g(x)=1lnx在。=(0,+°o)內(nèi)恒成立;

由已知得尸(x)=〃(x)-g(x)=k(x-l-lnx)N(),

令x=e,得/(e-2)N0,回420(*),

令G(x)=x-1-lnx,G[x)=l—：=當(dāng)0<xvl時，G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時，G(x)>0,

G(x)單調(diào)遞增，0G(x)m,n=G(l)=O,團當(dāng)先20時F(x)“在。=(O,w)內(nèi)恒成立;

k_1_1

由/(x)-/2(x)=x2-x+l-(^r-Zc)=%2—(％+1)》+儀+1)20在。=(0,+<?)內(nèi)恒成立，由(*)知420,團一^―>0,

[3A=(A:+l)2-4(A:+l)<0,解得-K3.

由&的取值范圍是左w[0,3].

(3)[方法一]:判別式+導(dǎo)數(shù)法

2

因為f-2/N4(/-。-3〃+2tN4/-8對任意xe[m,n]￡[一0,播]恒成立，

①x-2x224(/-f)x-3r4+2/對任意xe[〃],〃]a[-五，啦]恒成立，

等價于(x-r)2(x2+2tx+3/-2)20對任意xe[〃?,n]c[-0,夜]恒成立.

故V+2優(yōu)+3/-2之0對任意曰-恒成立.

令M(x)=x2+2tx+3t2-2,

當(dāng)0</<1,A=-8r+8>0,-1<-/<1,

止匕時"一機4>/2+M<^2+1<\[11

當(dāng)1Vr42，A=-8r2+8<0.

但4X2一824(/一/卜一3尸+2/對任意的工€[相,M=[_應(yīng),0]恒成立.

等價于4/-4(/-/)工+(3r+4)(產(chǎn)-2)40對任意的方€|7",〃]=[->/i,夜]恒成立.

4產(chǎn)-4(/一卜+(3/+4)(/-2)=0的兩根為玉,々，

則X,+x2=H-1,x,-x2=—————-,

所以〃一機4卜一%I=玉+%)--4X|X2=_5r4+3/+8.

令*=Z2e[l,2],構(gòu)造函數(shù)尸(4=萬—5%+3/1+8(；16[1,2]),/^(/1)=3^2-10/l+3=(2-3)(3A-l),

所以設(shè)[1,2]時,戶⑷<0,尸⑷遞減,尸⑷儂=尸(1)=7.

所以(〃一m)皿=J7,B|Jn-m<V7.

[方法二]:判別式法

由f(x)-h(x)=(x-疔(x2+2tx+3r-2),從而對任意的xe[m,n]有f(x)>"x)恒成立，等價于對任意的

工€|;〃,川,》2+2戊+3產(chǎn)-220①，恒成立.

(事實上，直線y=〃(x)為函數(shù)y=/(x)的圖像在x=r處的切線)

同理〃(x)2g(X)對任意的xe[m,川恒成立，即等價于對任意的X€m〃],+(rT)X+(/-2),廣+4)?。恒

成立.②

當(dāng)/<1時，將①式看作一元二次方程，進而有4=8-8/>0,①式的解為玉或々(不妨設(shè)玉>x,)；

當(dāng)於時，x,x2<0,從而mW0或〃V0，又[〃[,〃]=[-應(yīng),JI],從而“-加4夜<J7成立；

當(dāng)4<?<1時，由①式得xN血T或x4-夜又[??,〃]=[-夜,&]，所以

n-m<y/2+\t\-y/2yl\-t2<72+1<^.

當(dāng)22*21時，將②式看作一元二次方程，進而有△2=1-5產(chǎn)+3/+8=.(尸-5/+3)+8.

由22*21,-34/一5/+34-1,得2V&47,此時②式的解為與《》與*4不妨設(shè)X34%,從而

n-W<X4—x3=4^<y/l.

綜上所述，n-m<V7.

［方法三］【最優(yōu)解】：反證法

假設(shè)存在f€(0,虛］,使得滿足條件的〃3〃有

因為女］,所以2后

因為&-(-1)=忘+1<布,所以

因為/(X)>〃(x)>g(x)對恒成立，所以有

/(-1)>〃(-1)2g(-D,/(D>〃⑴>g(l),/(O)>JO)>g(0).則有

0<3r4+4?-2z2-4z-l<3.③

043/4—4/—2廠+4/—143.④

解得邁4Y&.

3

由③+④并化簡得，1<3八一2/44.

因為機⑺=3/一2/=3(產(chǎn)在區(qū)間［J,夜上遞增，且皿1)=1,

所以，14/4五.

由〃(x)2g(x)對xe［in,川恒成立,即有4A2-4(/-+3/一2/一8V0⑤

對工€［m,〃］恒成立，將⑤式看作一元：次方程，進而有△=16(/-)-16(3f4-2戶-8)=16(產(chǎn)一5r+3產(chǎn)+8).

設(shè)u(t)=r_5/+3產(chǎn)+8,14f4忘,則"'⑺=6t5-20r+6/=2t(3t2-1)(Z2-3)<O,

所以"⑺在區(qū)間［1,也］上遞減，所以7=〃(1)2wQ)2〃(JJ)=2,即A>0.

設(shè)不等式⑤的解集為［內(nèi),々］,則〃一加4忻一引=〃一5尸+3*+845,這與假設(shè)矛盾J從而n-ms6.

山/(x),g(x)均為偶函數(shù).同樣可證一夜4f<0時，"-帆??也成立.

綜上所述，.

7.(2019年全國高考良卷)已知函數(shù)〃x)=lnx-±—.

x-1

(1)討論Ar)的單調(diào)性，并證明兒［)有且僅有兩個零點；

(2)設(shè)助是y(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x°,in檢)處的切線也是曲線》=e,v的切線.

【答案】(1)函數(shù)f(x)在(0,1)和(1,鐘)上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)對函數(shù)〃x)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)先求出曲線y=lnx在A(x0,ln%)處的切線/,然后求出當(dāng)曲線y=e*切線的斜率與/斜率相等時，證明

曲線y=e*切線/'在縱軸上的截距與/在縱軸的截距相等即可.

【詳解】(1)函數(shù)/(X)的定義域為(0,1)51,百),

x+1r24-1

-—右交加而守，因為函數(shù)小)的定義域為(?！?卬收)，所以小)>。，因此函數(shù).

在(0,1)和(1,T8)上是單調(diào)增函數(shù)：

1I

11.+12

當(dāng)xw(O,l),時，x-O,y—TO,而f(一)=ln——1=-->0,顯然當(dāng)xe(O,l),函數(shù)人幻有零點，而函數(shù)

ee￡_|e-1

e

/(X)在xe(O,D上單調(diào)遞增,故當(dāng)xe(o,l)時,函數(shù)在有唯一的零點;

2

當(dāng)了€(1,+00)時，f(e)=\ne-^-^-=——<0,/(e2)=Ine--十1=3->0.

e-1e-1e~—le—1

因為/(?)"(/)<。，所以函數(shù)f(x)在(ed)必有一零點,而函數(shù)/(x)在(l,+oo)上是單調(diào)遞增,故當(dāng)X€(l,+8)

時，函數(shù)/(X)有唯一的零點

綜上所述,函數(shù)fW的定義域(0,1)51,+8)內(nèi)有2個零點;

(2)【方法一】【最優(yōu)解：分別求得兩條方程，比較常數(shù)項說明切線重合】

設(shè)y=Inx在點4(為,%)處的斜率為1.

]X

切線4的方程為)'-%=—(X-%),即y=—+In%-1.

由e"=_,得x=_lnx().

%。

所以曲線〉=。'上斜率為’的切線的切點為Jinx。,'].

欠0\xoJ

■.11/、xInx+1

切線4的方程為y―一=—(x+tln%),即曠=—+—n—.

%X。%工。

V+1

由于比尤0=」^,故曲線y=|nx在點&X0,Inxo)處的切線也是曲線)，=e、的切線.

[方法二]【利用切線的斜率相等進行證明】

由題設(shè)知/(為)=0,即lnXo=g1,曲線y=lnx在點A(飛,In飛)處的切線/的方程為y-lnXo='(x-Xo).

設(shè)在曲線廣e”上取一點3(//),若其在點B處的斜率與直線/的斜率相等，

則有e'=—,即占=一111%，故B|-lnx。,一.

%Ix0)

將點8的坐標(biāo)代入直線/的方程y-in%中，

xo

--lnx0=—(-lnx0-x0),整理得In%=至3■，上式顯然成立.

則直線/過點B,即曲線y=Inx在點A5,Inx0)處的切線也是曲線y=e'的切線.

［方法三］【利用不同的方法計算斜率證明切線重合】

因為（lnx）'L”,=L,所以由e*=；,設(shè)切點坐標(biāo)為（%解得x=-lnx°.

（11

因此，曲線）-e*在點3-lnx處切線的斜率也是一.

I0/

%+11

In七」

因為也與二迎?，所以%一?！?/p>

5）1X1

X。-］怎B

x0+In“0+

因此，曲線y=lnx在點A（拓,lnx°）處的切線也是曲線y=e，的切線.

［方法四］【構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性證明切線重合】

因為（皿幻'|『=2,11。=若

］X-F1

所以曲線y=lnx在點A（%lnx°）處的切線方程是、=一（》-々）+七.

構(gòu)造函數(shù)尸（x）=e"-'（x7o）-"1,由尸。）=/-'=0得*=-111%.

與x°TX。

因為當(dāng)彳?-8,-111%）時，F(xiàn)'M<0；

當(dāng)了?-1!1為,田）時，r（x）>0,所以［尸（x）屋n=F（-ln%）=0.

因此，函數(shù)尸（X）只有個零點-In%.

所以曲線y=e，與曲線y=lnx在點A（如Iny）處的切線y=L（x-x0）+口只有一個交點Bjinx。,'.

玉）玉）一IIxo7

又（e'j=—,因此，曲線八e,與直線產(chǎn)，（x-x0）+U相切于j-lnx?！梗?

J一*x0%x0-l（x（J

即曲線y=lnx在點A（/,lnx（））處的切線也是曲線y=e，的切線.

【整體點評】（2）方法一：分別求得兩條切線方程比較切線方程的形式是最直接思路；

方法:：考查切線斜率相等時證明切線重合的必要思路；

方法三：利用不同的方法計算切線方程是證明切線重合的有效方法；

方法四：構(gòu)造函數(shù)進行證明體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

8.（2019年全國高考13卷）已知函數(shù)/（幻=2/一汗+人

（1）討論〃x）的單調(diào)性;

（2）是否存在使得在區(qū)間［0,1］的最小值為T且最大值為1?若存在，求出的所有值；若不存

在，說明理由.

［a=0fa=4

【答案】⑴見詳解；⑵匕1或八一

\b=-l\b=l

【分析】(1)先求f(x)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)。的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)。的各種范圍，利用函數(shù)單

調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終得出的值.

【詳解】⑴對/(x)=2x3-ax2+b求導(dǎo)得f\x)=6x2-2ax=6x(x-，.所以有

當(dāng)“<0時，(YO,早區(qū)間上單調(diào)遞增，(*0)區(qū)間上單調(diào)遞減，(0,”)區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)。=0時，(-8,+8)區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時，SO)區(qū)間上單調(diào)遞增，畤)區(qū)間上單調(diào)遞減，。+8)區(qū)間上單調(diào)遞增.

(2)若/(x)在區(qū)間［0,1］有最大值1和最小值-1,所以

若“<0,(?,全區(qū)間上單調(diào)遞增，q,0)區(qū)間上單調(diào)遞減，(0,內(nèi))區(qū)間上單調(diào)遞增：

此時在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，所以f(O)=T，/⑴=1代入解得6=-1，a=0，與人0矛盾，所以。<0不成

立.

若。=0,(—8,+8)區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間。1］.所以/(0)=-1,/⑴=1代入解得

［。二一1

若0<。42,(-8,0)區(qū)間上單調(diào)遞增，%)區(qū)間上單調(diào)遞減，號+8)區(qū)間上單調(diào)遞增.

即/(X)在區(qū)間(0,。)單調(diào)遞減，在區(qū)間(。,1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間［0,1］上最小值為/(學(xué)

而/(0)=b,f(\)=2-a+b>f(0),故所以區(qū)間［0,1］上最大值為/(I).

即.2(§)+"一一1相減得2_。+￡_=2,即“(4-36)3+36)=0,又因為0<。42,所以無解.

2-。+6=127

若2<aW3,(-8,0)區(qū)間上單調(diào)遞增，(0,“區(qū)間上單調(diào)遞減，(*+8)區(qū)間上單調(diào)遞增.

即/(x)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間(號1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為一(全

而/(0)=b,fW=2-a+b</(0)，故所以區(qū)間［0,1］上最大值為/(0).

g|J2(-)-?(-)+"=-1相減得《=2,解得》=3蚯，又因為2<。43,所以無解.

心127

若a>3,y,0)區(qū)間上單調(diào)遞增，(0,拿區(qū)間上單調(diào)遞減，3)區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以有了(X)區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減,所以區(qū)間［0,1］上最大值為八0),最小值為f⑴

b=la=4

即2iT解得

h=l

a=4

綜上得

b=\

【點睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少.考查的函數(shù)單調(diào)性，最

大值最小值這種基本概念的計算.思考量不大，由計算量補充.

考點02恒成立問題

一、解答題

1.(2023全國新高考團卷)已知函數(shù)/(x)=a(e*+a)-x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性;

3

(2)證明：當(dāng)a>0時，/(x)>2lna+1.

【答案】⑴答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(1