2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-半角模型與倍角模型（講+練）（解析版）

專題04半角模型與倍角模型

模型一、正方形中含半角模型

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=45°,連接EF,過點(diǎn)A

作AGJ_于EF于點(diǎn)G,則：EF=BE+DF,AG=AD.

例.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,P分別在AB,AD上，若CE=5,且NECF=45°,

則CF的長為4J壇.

【答案】4729

【解答】解：如圖，延長尸。到G,使。G=8E；連接CG、EF；

'CB=CD

?.?四邊形A8CD為正方形，在△BCE與AOCG中，?NCBE=/CDG，

BE=DG

:.△BCEWADCG(SAS),

:.CG=CE,2DCG=NBCE,/GCF=45°,

'GC=EC

在aGC尸與△ECF中，，NGCF=NECF，.'.△Ge尸絲△ECF(SAS),:.GF=EF,

CF=CF

"：CE=5,CB=4,：.BE=3,：.AE=\,

222

設(shè)AF=x,貝UDF=4-x,GF=1+(4-x)=5-x,/.EF=J^+x=Jl+x1

(5-X)2=]+/，即.'.DF=4-

5555

CF^VCD2+DF2=^42+(-|-)2=4^29,

故答案為：4幅.

【變式訓(xùn)練1】已知四邊形ABCD是正方形，一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重

合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC,CD于M,N.

⑴如圖1,當(dāng)/W,N分別在邊BC,CD上時(shí)，求證：BM+DN=MN

（2）如圖2,當(dāng)M,N分別在邊BC,CD的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段8M,DN,MN之間

的數(shù)量關(guān)系_____________

（3汝口圖3,直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=W,CN=6,MC=8,求CP的長.

【答案】（1）見解析；（2）BM—DN=MN；(3)3

【詳解】（1）證明：如圖,延長CB到G使BG=￡W,連接AG,

回四邊形A8CD是正方形，^AB=AD,ZABG=ZADN=ZBAD=90°,

AB=AD

在工ABG與中，＜ZABG=NADN,AAG噲AAMXSAS),AG=AN,

BG=DN

ZGAB=ZDAN,

NA44V=45°,ZBA￡>=90°,0ZDAN+ZBAM=ZBAD-ZMAN=45°,

ZG4M=ZGAB+ZBAM=ADAN+ABAM=45°,ZGAM=ZNAM,

AM=AM

在，AWN與二AMG中，,NGAM=NNAM,/^MN^AAMG(SAS),：.MN=GM,

AN=AG

y^BM+GB=GM,BG=DN,：.BM+DN=MN■,

(2)BM—DN=MN,理由如下：

如圖，在8M上取一點(diǎn)G,使得8G=￡>N,連接AG,

回四邊形A8CD是正方形，回ZA8G=ZADN=NBA。=90。，

'AB=AD

在LABG與△AON中，\zABG=ZADN,「.AAG的AAMXSAS),AG=AN,

GB=DN

ZGAB=ZDAN,

[?]ZGAB+ZGAD=ZDAN+ZGAD,團(tuán)NGAN=NE4。=90。，

又,ZMAN=450,.\ZGAM=ZGAN-ZA4AN=450=ZMANf

AM=AM

在j.AMN與aAMG中，\ZGAM=ZNAM,「.AAWN-AAMG(SAS),,-.MN=GM,

AN=AG

又田—8G=GW,BG=DN,田BM—DN=MN,故答案為：BM—DN=MN；

(3)如圖，在DA/上取一點(diǎn)G,使得DG=BW,連接八G,

團(tuán)四邊形A8CD是正方形，

團(tuán)AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ZBAD=90°fABUCD,

AB=AD

在LABM與▲ADG中，NABM=ZADG,/.AABM絲AADG(%S),：.AM=AG,

BM=DG

ZMAB=ZGADf

^ZMAB+ZBAG=ZGAD+ZBAG,0ZM4G=ZBAZ)=90°,

乂?.1/MAN=45°,Z.GAN=ZMAG-ZMAN=45°=ZM47V,

AM=AG

在4AA/N與_AGN中，<NMAN=NGAN,:.△AMN92GN(SAS),:.MN=GN=1Q,

AN=AN

i^DG=BM=x,

?CN=6,MC=8,^SDC=DG+GN-CN=x+}0-6=x+4,BC=MC-BM=8-x,

0￡)C=BC.0x+4=8-x,解得：x=2,0AB=BC=CD=CN=6,

13AB1/CD,田Nfi4P=NCNP,

'NAPB=NNPC

在"BP與_NCP中,■ZBAP=ZCNP,:./SABP^/^NCP(AAS),:.CP=BP=-BC=3,

AB=CN

13cp的長為3.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在四邊形A8CD中，AB=AD,BC=CD,/ABC=/A￡>C=90°,Z

MAN^^ZBAD.

2

(1)如圖1,將/MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、C。于M、N,試判斷這一

過程中線段BM、ON和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；

(2)如圖2,將NMAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長線于M、N,試

判斷這一過程中線段BM、OV和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,將NMAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CQ的反向延長線于M、N,

試判斷這一過程中線段8M、ON和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明.

【答案】見解析

【詳解】解：（1）證明：延長例8到G,使8G=￡W,連接AG.

VZABG=ZABC=ZADC=90°,AB=AD,：.^ABG^^ADN.：.AG=AN,BG=DN,

Z1=Z4.

Z1+Z2=Z4+Z2=ZMAN=^ZBAD.:"GAM=/MAN.

2

又4M=AM,.?.△AMG也△AMN.:.MG=MN.

"：MG=BM+BG.，MN=BM+DN.

(2)MN=BM-DN.證明：在BM上截取BG,使8G=￡W,連接AG.

VZABC=ZADC=90°,AD=AB,：./XADN^AABG,

；.AN=AG,NNAD=NGAB,：.ZMAN^ZNAD+ZBAM=1-ZDAB,

2

：.ZMAG=—ZBAD,：.ZMAN=ZMAG,：./\MAN^/\MAG,：.MN=MG,:.MN=BM

2

-DN.

(3)MN=DN-BM.

模型二'等腰直角三角形角含半角模型

如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=90°,點(diǎn)D,E在BC上，且NDAE=45°,則:

BD2+CE2=DE2.

例.如圖，已知△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D,E是B.C邊上的點(diǎn)，將AABD繞.點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)，得到△4C0,當(dāng)NDAE=45。時(shí)，求證：DE=D'E；在（1）的條件下，猜想：8。2,DE2,CE2

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出，并說明理由.

【答案】見解析

【詳解】解析：因?yàn)锳ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到A4C。'

：.AD=AD',NDAD'=NBAC=90°

,/NDAE=45°,NEAD'.=NDAD'-NDAE=45°

.?.在△AED和△4E。'中，AE=AE,ZEAD=ZAED\AD=AD'

.,.△AED^AAED1,.*.DE=D,E

由(1)WAAED^AAED,,ED=ED'

在△ABC中，AB=.AC,ZBAC=90°,AZB=ZACB=45°

;△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得至SACD，，ABD=CD\ZB=ZACD,=45.°

/BCD'=NACB+NACD'=45°+45°=90°

【變式訓(xùn)練1】在等腰RtZ^sABC中，CA=CB,ZACB=90°,O為AB的中點(diǎn)，/EOF=

45°,交CA于F,交BC的延長線于E.

(1)求證：EF=CE+AF；

(2)如圖2,當(dāng)E在BC上，F(xiàn)在CA的反向延長線上時(shí)，探究線段AF、CE、EF之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解析】（1）連接CO,過點(diǎn)O作OGLOF交BE于點(diǎn)G,如圖所示:

由題意可得AACF也△COG,.*.OF=OG,.,.△EOF絲△EOG,，EF=EG,

EF=EG=EC+CG=EC+AF；

（2）AF-EF=CE.

【變式訓(xùn)練2】如圖所示，等腰直角射BC中，EWCB=90。，E、F為AB上兩點(diǎn)（E左F右）,

且EIECF=45",求證：AE2+BF2=EF2.

15

F二//\\

//I/\\\Xi7、~/\X

/[\\\\

AEFBAEFB

【答案】見解析

【詳解】解：AE2+BF2=EF2＞理由如下：

如圖，將△BCF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得△ACF，,使△BCF的BC與AC邊重合，即AACF'絲△BCF,

?.,在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,：.ZCAF=ZB=45°,：.ZEAF'=90°,

"：NECF=45°,，ZACE+/BCF=45°,

CE=CE

,：ZACF'=ZBCF,：./EC尸=45°,在^ECF和△EC尸中，NECF'=NECF=45°

CF=CF'

.?.△ECF好△EC尸'（SAS）,:.EF=EF',

在RthAE尸中，AE2+FA2=FE2，AE2+BF2=EF2-

【變式訓(xùn)練3】如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，NBDC=

120°,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60。的角，使其兩邊分別交AB于M,交AC于N,連接MN,則

△AMN的周長是多少？

【答案】6

【詳解】???△BDC是等腰三角形，且NBDC=120。，...NBCD=NDBC=30°,

「△ABC是邊長為3的等邊三角形，.*.NABC=NBAC=NBCA=60。，/DBA=NDCA

=90°,

如圖，延長AB至點(diǎn)F,使BF=CN.

連接DF,在4BDF與ACND中，

BF=CN

ZFBD=DCN,.\ABDF空ACND(SAS),

{DB=DC

；./BDF=/CDN,DF=DN,

VZMDN=60°,.,.ZBDM+ZCDN=60°,

/BDM+NBDF=60。，

DM=MD

ZFDM=MDN,：./XDMN經(jīng)叢DMF(SAS),

{DF=DN

；.MN=MF,

.?.△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6.

模型三'二倍角模型

(1)作二倍角的平分線，構(gòu)成等腰三角形.

(2)延長二倍角的一邊，使其等于二倍角的另一邊，構(gòu)成兩個(gè)等腰三角形.

例.已知tana=]求ta吟及tan2a的值（利用倍半角模型解題）.

a/—4

【答案】tan石■=—2,tan2a=互.

【解析】由圖1可得tan^=^

乙JDJLy

由圖2可得tan2a=與；=]=4.

JL）U2.J

4

【變式訓(xùn)練1】如圖，在正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AFLBE交CD

邊于點(diǎn)F,M是AD邊上一點(diǎn)，且BM=DM+CD.

(1)求證：點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn)；

(2)求證：ZMBC=2ZABE.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】（1）；四邊形ABCD是正方形，；.AD=DC=AB=BC,/C=ND=/BAD=90。，

AB〃CD,

VAFIBE,.?./AOE=90。，/.ZEAF+ZAEB=900,/EAF+NBAF=90°,；.NAEB=

ZBAF,

：AB〃CD,，NBAF=NAFD,/AEB=NAFD,

VZBAD=ZD,AB=AD,△BAE-ADF,；.AE=DF,

??,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，，點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn)；

(2)延長AD至點(diǎn)G,使得MG=MB,連接FG、FB,如圖所示:

：BM=DM+CD,；.DG=DC=BC,

；NGDF=NC=90°,DF=CF,AAFDG^AFCB,.../DFG=NCFB,.?.點(diǎn)B、F、G共

線，

?.?點(diǎn)E為AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn)，AD=CD,；.AE=CF,

VAB=BC,ZC=/BAD=90。，AE=CF,AAABE^ACBF,/ABE=/CBF,

VAG//BC,；.NAGB=NCBF=NABE,AZMBC=ZAMB=2ZAGB=2ZGBC=2Z

ABE,

.*.ZMBC=2ZABE.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

將4ABD沿AD翻折得到AAED,連接CE,求線段CE的長.

7

【解答】EC藍(lán)

【解析】如圖，連接BE交AD于點(diǎn)0,作AHLBC于點(diǎn)H.

在RtaABC中，VAC=4,AB=3,；.BC=5,

5

VCD=DB,???AD=DC=DB=5

1112

,/+-BC-AH=^?AB-AC,：.AH=^-,

乙乙o

VAE=AB,DE=DB=DC,，AD垂直平分線段BE,ABCE是直角三角形,

11IQ24

■AD--BD-AH,.-.BE=2OB=^,

2255

7

在Rt^BCE中，EC=y/BC2-BE-=

5-

課后訓(xùn)練

1.如圖，在aABC中，ZACB=90°,D是AB邊上的一點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，若NAMD=

/BMD.求證：NCDA=2/ACD.

【答案】見解析

【解析】證明：過點(diǎn)A作AG〃DC交BM延長線于點(diǎn)H交BC的延長線于點(diǎn)G,連接HC,

如圖所示：

由題意可得/BMD=ZAHB,ZAMD=ZHAM,ZHAC=ZACD,即

CM_BM_DM

7{G=~BH=~AH

VCM=DM,；.HG=AH,即點(diǎn)H是AG的中點(diǎn),

AC；

VAC1BC,:.CH=b=HG=AH,???NHCA=NHAC=NACD,

，NHCM=NHCA+ZACD=ZACD+ZACD=2ZACD,

VZHAM=ZAMD,ZAMD=ZBMD,ZBMD=ZAHB,ZBMD=ZHMC,AHM=

AM,

VMD=MC,ZAMD=ZHMC,AM=HM,AAAMD^AHMC,AZADM=ZHCM=2

ZACD.

2.在AABC中，/C=90。，AC=8,AB=10,點(diǎn)P在AC上，AP=2,若。。的圓心在線

段BP上，且。。與AB、AC都相切，試求。。的半徑.

【答案】的半徑為1

【解析】過點(diǎn)O作ODJ_AB于點(diǎn)D,OE_LAC于點(diǎn)E,延長CA至點(diǎn)F,使得AF=AB=10,

連接OA、BF,如圖所示：

設(shè)。。的半徑為r,由BC=PC=6,.?.△PBC為等腰直角三角形，，EP=OE=r,EA=r

+2,

...tanNE/O=^=—4解得r=l,即。。的半徑為1.

LAr+23

3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=I8O°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，

且NEAF=JNBAD,求證：EF=BE+FD.

【答案】見解析

【解析】如圖，將4ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AARG,使得AD與AB重合.

:旋轉(zhuǎn)，.,.△ADF^AABG,...NFAG=NBAD,AF=AG,DF=GB,

?.?/EAF=1/BAD,/EAF=NEAG,XVAE=AE,AAEAG^AEAF,.\GE=EF,

VGE=GB+BE=DF+BE,，EF=BE+FD.

4.已知，在正方形ABCD中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N,當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1）,

易證BM+DN=MN.

（I）當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMADN時(shí)（如圖2）,線段BM、DN、和MN之間有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？猜想一下，并加以證明；

（2）當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.

【解答】（1）猜想：BM+DN=MN：（2）猜想：DN-BM=MN

【解析】（1）猜想：BM+DN=MN.

證明：如圖，將AAND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABE,則E、B、M共線,

/EAM=90°-/NAM=90°—45°=45°,

:/NAM=45。，在AAEM與AANM中，

AE=AN

<NEAM=NNAM,；.AAEMgAANMISAS),

AM=AM

:.ME=MN,VME=BE+BM=DN+BM,；.DN+BM=MN；

(2)猜想：DN-BM=MN.證明：在線段DN上截取DQ=BM,如圖所示.

AD=AB

ZADQ=ZABM^ADQ空ABM(SAS),

{DQ=BM

.?./DAQ=NBAM,/QAN=/MAN,

AQ=AM

在aAMN與aAQl^中，???《AQAN=^MAN,/.^AMN^AQN(SAS),

AN=AN

；.MN=QN,ADN-BM=MN.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系cOg中，4(a,0),B(0,b),C(-a,0)且

—4+(6—4)2=0.

(1)求證：4ABC是等邊三角形；

(2)如圖2,A、B兩點(diǎn)在N軸上、y軸上的位置不變，在線段AB上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N,滿

足/MON=45。，試猜想線段BM、AN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解答】(1)見解析；(2)BM2+AN2=MN2

【解析】(1)?「，a-4+(6—4)2=0,，/-420,(6—4)220,

—4=0且(b—4)2=0,;.a=4,6=4,.?.4(4,0),5(0,4),Cr(-4,0),

.,.OA=OB=OC=4,

?/ZAOB=ZBOC=90°,，ZBCA=ZCBO=ZOBA=ZBAC=45°,

.?出人=8(：且/?8人=90。，即AABC是等腰直角三角形；

(2)猜想：BM,z+AM=M2.

?；OA=OB=4,...NAOB=90°,

如圖，將△BOM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AAOD,

；.AD=BM,DO=MO,NOAD=NOBM=45°,且/DOM=NAOB=90°,；./AOD=N

BOM,

VZMON=45°,ZAOB=90°,AZBOM+ZAON=45°,

.,.ZAOD+ZAON=45°,即/DON=ZMON=45°,；.ZXDON四△MON,；.DN=MN,

,//OAD=ZOBM=ZBAO=45°,即ZNAD=90°,

AD2+AN2=DN2,：.BM2+AN2=MN2.

6.已知正方形A8CO,/MAN=45。,NM4N繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC

于點(diǎn)M、N,AH工MN于點(diǎn)、H.

(1)如圖①，當(dāng)8"=ON時(shí)，可以通過證明ADN”ABM,得到A”與A8的數(shù)量關(guān)系，

這個(gè)數(shù)量關(guān)系是;

(2)如圖②，當(dāng)BM于DN時(shí),(1)中發(fā)現(xiàn)的與A8的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由;

(