高中數(shù)學(xué)《排列組合》教（學(xué)）案

./排列與組合一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)傳授目標(biāo)：正確理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培養(yǎng)目標(biāo)：能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題3、思想教育目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力二、教材分析1.重點(diǎn)：加法原理,乘法原理。解決方法：利用簡單的舉例得到一般的結(jié)論．2.難點(diǎn)：加法原理,乘法原理的區(qū)分。解決方法：運(yùn)用對比的方法比較它們的異同．三、活動(dòng)設(shè)計(jì)1.活動(dòng)：思考,討論,對比,練習(xí)．2.教具：多媒體課件．四、教學(xué)過程正1．新課導(dǎo)入隨著社會(huì)發(fā)展,先進(jìn)技術(shù),使得各種問題解決方法多樣化,高標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)要求,使得商品生產(chǎn)工序復(fù)雜化,解決一件事常常有多種方法完成,或幾個(gè)過程才能完成。排列組合這一章都是討論簡單的計(jì)數(shù)問題,而排列、組合的基礎(chǔ)就是基本原理,用好基本原理是排列組合的關(guān)鍵．2．新課我們先看下面兩個(gè)問題．<l>從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船．一天中,火車有4班,汽車有2班,輪船有3班,問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法,乘汽車有2種走法,乘輪船有3種走法,每一種走法都可以從甲地到達(dá)乙地,因此,一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4十2十3=9種不同的走法．一般地,有如下原理：加法原理：做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1十m2十…十mn種不同的方法．<2>我們再看下面的問題：由A村去B村的道路有3條,由B村去C村的道路有2條．從A村經(jīng)B村去C村,共有多少種不同的走法？這里,從A村到B村有3種不同的走法,按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后,再從B村到C村又有2種不同的走法．因此,從A村經(jīng)B村去C村共有3X2=6種不同的走法．一般地,有如下原理：乘法原理：做一件事,完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法．例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書,下層放有5本不同的語文書．1〕從中任取一本,有多少種不同的取法？2〕從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本,有多少的取法？解：〔1〕從書架上任取一本書,有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數(shù)學(xué)書,可以從6本書中任取一本,有6種方法；第二類辦法是從下層取語文書,可以從5本書中任取一本,有5種方法．根據(jù)加法原理,得到不同的取法的種數(shù)是6十5=11．答：從書架L任取一本書,有11種不同的取法．〔2〕從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本,可以分成兩個(gè)步驟完成：第一步取一本數(shù)學(xué)書,有6種方法；第二步取一本語文書,有5種方法．根據(jù)乘法原理,得到不同的取法的種數(shù)是N＝6X5＝30．答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本,有30種不同的方法．練習(xí)：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣1〕從中任取一枚,有多少種不同取法？2〕從中任取明清古幣各一枚,有多少種不同取法？例2：<1>由數(shù)字l,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？<2>由數(shù)字l,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？<3>由數(shù)字0,l,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字,從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字,共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字,由于數(shù)字允許重復(fù),這仍有5種選法,第三步確定個(gè)位上的數(shù)字,同理,它也有5種選法．根據(jù)乘法原理,得到可以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是N=5X5X5=125．答：可以組成125個(gè)三位數(shù)．練習(xí)：1、從甲地到乙地有2條陸路可走,從乙地到丙地有3條陸路可走,又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走．〔1〕從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？〔2〕從甲地到丙地共有多少種不同的走法？2．一名兒童做加法游戲．在一個(gè)紅口袋中裝著2OX分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、19、20的紅卡片,從中任抽一X,把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個(gè)黃口袋中裝著10X分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、9、1O的黃卡片,從中任抽一X,把上面的數(shù)作為加數(shù)．這名兒童一共可以列出多少個(gè)加法式子？3．題2的變形4．由0－9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？小結(jié)：要解決某個(gè)此類問題,首先要判斷是分類,還是分步？分類時(shí)用加法,分步時(shí)用乘法其次要注意怎樣分類和分步,以后會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)練習(xí)1．〔口答〕一件工作可以用兩種方法完成．有5人會(huì)用第一種方法完成,另有4人會(huì)用第二種方法完成．選出一個(gè)人來完成這件工作,共有多少種選法？2．在讀書活動(dòng)中,一個(gè)學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任選一本,共有多少種不同的選法？3．乘積〔a1+a2+a3〕〔b1+b2+b3+b4〕〔c1+c2+c3+c4+c5〕展開后共有多少項(xiàng)？4．從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通．從甲地到丙地共有多少種不同的走法？5．一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球,另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球,所有這些小球的顏色互不相同．〔1〕從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球,有多少種不同的取法？〔2〕從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球,有多少種不同的取法？作業(yè)：排列[復(fù)習(xí)基本原理]1.加法原理做一件事,完成它可以有n類辦法,第一類辦法中有m1種不同的方法,第二辦法中有m2種不同的方法……,第n辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法.2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,.那么完成這件事共有N=m1m2m3…mn種不同的方法.3.兩個(gè)原理的區(qū)別：[練習(xí)1]1.、XX、XX三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線,需要準(zhǔn)備多少種不同的機(jī)票？2.由數(shù)字1、2、3可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？請一一列出.[基本概念]什么叫排列？從n個(gè)不同元素中,任取m<>個(gè)元素〔這里的被取元素各不相同〕按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個(gè)不同.什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.什么叫一個(gè)排列？[例題與練習(xí)]由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？2.已知a、b、c、d四個(gè)元素,①寫出每次取出3個(gè)元素的所有排列；②寫出每次取出4個(gè)元素的所有排列.[排列數(shù)]定義：從n個(gè)不同元素中,任取m<>個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.用符號(hào)表示上述各題中的排列數(shù).排列數(shù)公式：=n<n-1><n-2>…<n-m+1>；；；；計(jì)算：=；=；=；[課后檢測]寫出：從五個(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的所有排列；由1、2、3、4組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).由0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).計(jì)算：①②③④排列課題：排列的簡單應(yīng)用<1>目的：進(jìn)一步掌握排列、排列數(shù)的概念以與排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式,會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡單的實(shí)際問題．過程：一、復(fù)習(xí)：〔引導(dǎo)學(xué)生對上節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)整理〕1．排列的定義,理解排列定義需要注意的幾點(diǎn)問題；2．排列數(shù)的定義,排列數(shù)的計(jì)算公式或〔其中m≤nm,nZ〕3．全排列、階乘的意義；規(guī)定0!=14．"分類"、"分步"思想在排列問題中的應(yīng)用．二、新授：例1：⑴7位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個(gè)元素的全排列——＝5040⑵7位同學(xué)站成兩排〔前3后4〕,共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——=720⑷7位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種則共有=240種排列方法⑸7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一〔直接法〕：第一步從〔除去甲、乙〕其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列〔全排列〕有種方法所以一共有＝2400種排列方法．解法二：〔排除法〕若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法．所以甲不能站在排頭,乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種．小結(jié)一：對于"在"與"不在"的問題,常常使用"直接法"或"排除法",對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮．例2：7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)"捆綁"在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素〔同學(xué)〕一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)"松綁"進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝1440⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上,一共有＝720種．⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)"捆綁"在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)"松綁"進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝960種方法．解法二：將甲、乙兩同學(xué)"捆綁"在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,若丙站在排頭或排尾有2種方法,所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法．解法三：將甲、乙兩同學(xué)"捆綁"在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有種方法,再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法,最后將甲、乙兩同學(xué)"松綁",所以這樣的排法一共有＝960種方法．小結(jié)二：對于相鄰問題,常用"捆綁法"〔先捆后松〕．例3：7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：〔排除法〕解法二：〔插空法〕先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法,此時(shí)他們留下六個(gè)位置〔就稱為"空"吧〕,再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置〔空〕有種方法,所以一共有種方法．⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法,此時(shí)他們留下五個(gè)"空",再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)"空"有種方法,所以一共有＝1440種．小結(jié)三：對于不相鄰問題,常用"插空法"〔特殊元素后考慮〕．三、小結(jié)：1．對有約束條件的排列問題,應(yīng)注意如下類型：⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；⑵某些元素要求連排〔即必須相鄰〕；⑶某些元素要求分離〔即不能相鄰〕；2．基本的解題方法：⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題,通常是先排特殊元素或特殊位置,稱為優(yōu)先處理特殊元素〔位置〕法〔優(yōu)限法〕；⑵某些元素要求必須相鄰時(shí),可以先將這些元素看作一個(gè)元素,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列,這種方法稱為"捆綁法"；⑶某些元素不相鄰排列時(shí),可以先排其他元素,再將這些不相鄰元素插入空擋,這種方法稱為"插空法"；⑷在處理排列問題時(shí),一般可采用直接和間接兩種思維形式,從而尋求有效的解題途徑,這是學(xué)好排列問題的根基．四、作業(yè)：《課課練》之"排列課時(shí)1—3"課題：排列的簡單應(yīng)用<2>目的：使學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡單的實(shí)際問題,進(jìn)一步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力,同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解．過程：一、復(fù)習(xí)：1．排列、排列數(shù)的定義,排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式；2．常見的排隊(duì)的三種題型：⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置——優(yōu)限法；⑵某些元素要求連排〔即必須相鄰〕——捆綁法；⑶某些元素要求分離〔即不能相鄰〕——插空法．3．分類、分布思想的應(yīng)用．二、新授：示例一：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上,則共有多少種不同的排法？解法一：〔從特殊位置考慮〕解法二：〔從特殊元素考慮〕若選：若不選：則共有＋＝136080解法三：〔間接法〕136080示例二：⑴八個(gè)人排成前后兩排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,則共有多少種不同的排法？略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余進(jìn)行全排列．所以一共有＝5760種方法．⑵不同的五種商品在貨架上排成一排,其中a,b兩種商品必須排在一起,而c,d兩種商品不排在一起,則不同的排法共有多少種？略解：〔"捆綁法"和"插空法"的綜合應(yīng)用〕a,b捆在一起與e進(jìn)行排列有；此時(shí)留下三個(gè)空,將c,d兩種商品排進(jìn)去一共有；最后將a,b"松綁"有．所以一共有＝24種方法．⑶6X同排連號(hào)的電影票,分給3名教師與3名學(xué)生,若要求師生相間而坐,則不同的坐法有多少種？略解：〔分類〕若第一個(gè)為老師則有；若第一個(gè)為學(xué)生則有所以一共有2＝72種方法．示例三：⑴由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？略解：⑵由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字,并且比13000大的正整數(shù)？解法一：分成兩類,一類是首位為1時(shí),十位必須大于等于3有種方法；另一類是首位不為1,有種方法．所以一共有個(gè)數(shù)比13000大．解法二：〔排除法〕比13000小的正整數(shù)有個(gè),所以比13000大的正整數(shù)有＝114個(gè)．示例四：用1,3,6,7,8,9組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),由小到大排列．⑴第114個(gè)數(shù)是多少？⑵3796是第幾個(gè)數(shù)？解：⑴因?yàn)榍粩?shù)是1的四位數(shù)一共有個(gè),所以第114個(gè)數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該是"3",十位數(shù)字是"1"即"31"開頭的四位數(shù)有個(gè)；同理,以"36"、"37"、"38"開頭的數(shù)也分別有12個(gè),所以第114個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)必然是"39",而"3968"排在第6個(gè)位置上,所以"3968"是第114個(gè)數(shù)．⑵由上可知"37"開頭的數(shù)的前面有60＋12＋12＝84個(gè),而3796在"37"開頭的四位數(shù)中排在第11個(gè)〔倒數(shù)第二個(gè)〕,故3796是第95個(gè)數(shù)．示例五：用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中⑴能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？⑵十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有多少個(gè)？解：⑴能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種,末尾為50的四位數(shù)有個(gè),末尾為25的有個(gè),所以一共有＋＝21個(gè)．注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,00四種情況．⑵用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),一共有個(gè)．因?yàn)樵谶@300個(gè)數(shù)中,十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的大小關(guān)系是"等可能的",所以十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有個(gè)．三、小結(jié)：能夠根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)呐帕蟹椒?同時(shí)注意考慮問題的全面性,此外能夠借助一題多解檢驗(yàn)答案的正確性．四、作業(yè)："3＋X"之排列練習(xí)組合⑴課題：組合、組合數(shù)的概念目的：理解組合的意義,掌握組合數(shù)的計(jì)算公式．過程：一、復(fù)習(xí)、引入：1．復(fù)習(xí)排列的有關(guān)內(nèi)容：定義特點(diǎn)相同排列公式排列以上由學(xué)生口答．2．提出問題：示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng),其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng),1名同學(xué)參加下午的活動(dòng),有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng),有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué),而且還要按照一定的順序"排列",而示例2只要求選出2名同學(xué),是與順序無關(guān)的．引出課題：組合問題．二、新授：1．組合的概念：一般地,從n個(gè)不同元素中取出m〔m≤n〕個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．注：1．不同元素2．"只取不排"——無序性3．相同組合：元素相同判斷下列問題哪個(gè)是排列問題哪個(gè)是組合問題：⑴從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；〔組合〕⑵從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記．〔排列〕2．組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m〔m≤n〕個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示．例如：示例2中從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙,甲丙,乙丙．即有種組合．又如：從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合：AB,AC,AD,BC,BD,CD一共6種組合,即：在講解時(shí)一定要讓學(xué)生去分析：要解決的問題是排列問題還是組合問題,關(guān)鍵是看是否與順序有關(guān)．那么又如何計(jì)算呢？3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)⑴提問：從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列,而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)可以求得,故我們可以考察一下和的關(guān)系,如下：組合排列由此可知：每一個(gè)組合都對應(yīng)著6個(gè)不同的排列,因此,求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù),可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合,共有個(gè)；②對每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列,各有種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：＝,所以：．⑵推廣：一般地,求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù),根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得：＝⑶組合數(shù)的公式：或⑷鞏固練習(xí)：1．計(jì)算：⑴⑵2．求證：3．設(shè)求的值．解：由題意可得：即：2≤x≤4∵∴x=2或3或4當(dāng)x=2時(shí)原式值為7；當(dāng)x=3時(shí)原式值為7；當(dāng)x=2時(shí)原式值為11．∴所求值為4或7或11．4．例題講評例1．6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué),每人各得2本,有多少種不同的分法？略解：例2．4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人實(shí)踐活動(dòng)小組,問組成方法共有多少種？解法一：〔直接法〕小組構(gòu)成有三種情形：3男,2男1女,1男2女,分別有,,,所以一共有++＝100種方法．解法二：〔間接法〕5．學(xué)生練習(xí)：〔課本99練習(xí)〕三、小結(jié)：定義特點(diǎn)相同組合公式排列組合此外,解決實(shí)際問題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān),從而確定是排列問題還是組合問題,必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原理．四、作業(yè)：課堂作業(yè)：教學(xué)與測試75課課外作業(yè)：課課練課時(shí)7和8組合⑵課題：組合的簡單應(yīng)用與組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)目的：深刻理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系,熟練掌握組合數(shù)的計(jì)算公式；掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì),并且能夠運(yùn)用它解決一些簡單的應(yīng)用問題．過程：一、復(fù)習(xí)回顧：1．復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：強(qiáng)調(diào)：排列——次序性；組合——無序性．2．練習(xí)一：練習(xí)1：求證：．〔本式也可變形為：〕練習(xí)2：計(jì)算：①和；②與；③答案：①120,120②20,20③792〔此練習(xí)的目的為下面學(xué)習(xí)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)打好基礎(chǔ)．〕3．練習(xí)二：⑴平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？⑵平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？答案：⑴〔組合問題〕⑵〔排列問題〕二、新授：1．組合數(shù)的性質(zhì)1：．理解：一般地,從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后,剩下nm個(gè)元素．因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合,與剩下的nm個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對應(yīng),所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),等于從這n個(gè)元素中取出nm個(gè)元素的組合數(shù),即：．在這里,我們主要體現(xiàn)："取法"與"剩法"是"一一對應(yīng)"的思想．證明：∵又∴注：1我們規(guī)定2等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同,上標(biāo)之和等于下標(biāo)．3此性質(zhì)作用：當(dāng)時(shí),計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算,能夠使運(yùn)算簡化．例如：＝＝=2002．4或2．示例一：〔課本101例4〕一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中含有1個(gè)黑球,有多少種取法？⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球,有多少種取法？解：⑴⑵⑶引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：．為什么呢？我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球,可以分為兩類：一類含有1個(gè)黑球,一類不含有黑球．因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,上述等式成立．一般地,從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是,這些組合可以分為兩類：一類含有元素,一類不含有．含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m1個(gè)元素與組成的,共有個(gè)；不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的,共有個(gè)．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里,我們主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想,"含與不含其元素"的分類思想．3．組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+．證明：∴＝+．注：1公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和,等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與高的相同的一個(gè)組合數(shù)．2此性質(zhì)的作用：恒等變形,簡化運(yùn)算．在今后學(xué)習(xí)"二項(xiàng)式定理"時(shí),我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用．4．示例二：⑴計(jì)算：⑵求證：＝++⑶解方程：⑷解方程：⑸計(jì)算：和推廣：5．組合數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用：證明下列等式成立：⑴〔講解〕⑵〔練習(xí)〕⑶6．處理《教學(xué)與測試》76課例題三、小結(jié)：1．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；2．從特殊到一般的歸納思想．四、作業(yè)：課堂作業(yè)：《教學(xué)與測試》76課課外作業(yè)：課本習(xí)題10.3；課課練課時(shí)9組合⑶課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑴目的：進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念與其性質(zhì),能夠解決一些較為復(fù)雜的組合應(yīng)用問題,提高合理選用知識(shí)的能力．過程：一、知識(shí)復(fù)習(xí)：1．復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：依然強(qiáng)調(diào)：排列——次序性；組合——無序性．2．排列數(shù)、組合數(shù)的公式與有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：＝+常用的等式：3．練習(xí)：處理《教學(xué)與測試》76課例題二、例題評講：例1．100件產(chǎn)品中有合格品90件,次品10件,現(xiàn)從中抽取4件檢查．⑴都不是次品的取法有多少種？⑵至少有1件次品的取法有多少種？⑶不都是次品的取法有多少種？解：⑴；⑵；⑶．例2．從編號(hào)為1,2,3,…,10,11的共11個(gè)球中,取出5個(gè)球,使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù),則一共有多少種不同的取法？解：分為三類：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有所以一共有++．例3．現(xiàn)有8名青年,其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任德語翻譯工作〔其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任〕,現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù),其中3名從事英語翻譯工作,2名從事德語翻譯工作,則有多少種不同的選法？解：我們可以分為三類：①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作,有；②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作,有；③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作,有．所以一共有++＝42種方法．例4．甲、乙、丙三人值周,從周一至周六,每人值兩天,但甲不值周一,乙不值周六,問可以排出多少種不同的值周表？解法一：〔排除法〕解法二：分為兩類：一類為甲不值周一,也不值周六,有；另一類為甲不值周一,但值周六,有．所以一共有+＝42種方法．例5．6本不同的書全部送給5人,每人至少1本,有多少種不同的送書方法？解：第一步從6本不同的書中任取2本"捆綁"在一起看成一個(gè)元素有種方法；第二步將5個(gè)"不同元素〔書〕"分給5個(gè)人有種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,一共有＝1800種方法．變題1：6本不同的書全部送給5人,有多少種不同的送書方法？變題2：5本不同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？變題3：5本相同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？答案：1．；2．；3．．三、小結(jié)：1．組合的定義,組合數(shù)的公式與其兩個(gè)性質(zhì)；2．組合的應(yīng)用：分清是否要排序．四、作業(yè)：《3+X》組合基礎(chǔ)訓(xùn)練《課課練》課時(shí)10組合