備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-解析幾何綜合練

專題9.8解析幾何綜合練

題號一二三四總分

得分

練習(xí)建議用時：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(2023年重慶市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬(一)數(shù)學(xué)試卷)已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是0(1,1)

和4(3,3),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(尤-2)2+(y-2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)~=2

C.(x-2)2+(y-2)2=2

2.(2021秋?高三課時練習(xí))己知圓C與圓龍2+y2-2y=0關(guān)于直線x-y-2=0對稱，則圓C的方程是()

A.(x+l)2+y=1B.(x-3『+(y+2)2=1

C.(x+3『+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1

3.(2021秋?高三課時練習(xí))直線mx+〃y+3=0在y軸上的截距為-3,而且它的斜率是直線氐-y=3石的斜率的相

反數(shù)，貝U()

A.m=->/3,n=lB.m=—>/3,n=—1

C.m=y/39Tl=_1D.m=A/3，〃=1

4.(2023秋?河南平頂山?高三統(tǒng)考期末)已知雙曲線C3=is>o)的焦點到漸近線的距離為④，直線/與。

相交于A,8兩點,若線段A3的中點為N(l,2),則直線/的斜率為()

A.-1B.1C.72D.2

22

5.(2023?河南開封??？寄M預(yù)測)己知橢圓C:]+2=l(a>6>0),A,3分別是C的左頂點和上頂點，F(xiàn)是C

ab

的左焦點，若tanNE4B=2tanNEBA,則C的離心率為()

A.|B.蟲

22

3-也

6.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線丁=2px（p>0）上一點M（1,冽）（加>0）到其焦

點的距離為5,雙曲線鼻-y2=i的左頂點為人，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)。的值為（）

7.（2021秋廣東深圳?高三深圳中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C的離心率為§,焦點為打百,點A在C上,若閨聞=2風(fēng)A],

則cosNABK=（）

1111

A.—B.—C.—D.—

3456

8.（2023?安徽六安?安徽省某中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓工+9=1的左右焦點分別為耳與B，點尸在直線/：

x—+4+^/3=0上.當(dāng)/百尸鳥取最大值時,比層的值為（

在C.y/2-lD.V3-1

,2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分

9.（浙江省新陣地教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知圓的方程為/+/一以+2=0,

下列結(jié)論正確的是（）

A.該圓的面積為4元B.點（忘,1）在該圓內(nèi)

C.該圓與圓V+>2=1相離D.直線x+y-4=0與該圓相切

10.（2021秋?廣東深圳?高三深圳中學(xué)?？计谥校┒x：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互

為共軌雙曲線，以下關(guān)于共輾雙曲線的結(jié)論正確的有（）

A.與二一27=1（4,8>0）共輾的雙曲線是二一￡=1（°/>0）

aba

B.互為共軟的雙曲線漸近線不相同

C.互為共軌的雙曲線的離心率為弓,e?,則6色22

D.互為共軌的雙曲線的4個焦點在同一圓上

11.（2023秋?廣東?高三華南師大附中?？计谀┮阎€+町;2=1,則（）

A.若機=〃=4,則曲線C是圓，其半徑為2

B.若〃?>〃>0,則曲線C是橢圓，其焦點在y軸上

C.若線C過點（-夜,6）,-%-,應(yīng)，則C是雙曲線

D.若板=0,則曲線。不表示任何圖形

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形A5CD四邊所在直線與x軸的交點分別為

（0,0）,（1,0）,（2,0）,（4,0）,則正方形A3CD四邊所在直線中過點（0,0）的直線的斜率可以是（）

2

A.2B.C1D.

24

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.

13.（2022秋.高三課時練習(xí)）已知實數(shù)滿足a+處=1,貝U直線數(shù)+3、+6=0過定點.

14.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中校考期中）如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點片,后的橢圓C與雙曲線C'

構(gòu)成，一光線從左焦點月發(fā)出，依次經(jīng)過C，與C的反射，又回到點尸.歷時優(yōu)秒；若將裝置中的C去掉，則該光

IY]

線從點耳發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點F1歷時W秒，若C，的離心率為C的離心率的4倍，則一=.

n

15.（2023春?貴州遵義?高二遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線。：、2=2/（0>0）的焦點為產(chǎn)，直線/過/

與C交于A,B兩點，過點A,2分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A,四，則乙4小耳的大小為一.

16.（2023春?上海徐匯?高三上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎獔A的方程為丁+丁一12x-16y=0,該圓過點（3,4）的最

長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為.

四、解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2022秋?高二課時練習(xí)）已知兩直線4:x-2y+4=012：4x+3y+5=0

（D若直線ax+2y-6=0^ll,l2可組成三角形，求實數(shù)。滿足的條件；

⑵設(shè)A（-l,-2）,若直線/過4與4的交點P,且點A到直線/的距離等于1,求直線/的方程.

18.（2023?全國?高三對口高考）已知拋物線C：V=4x的焦點為-過點K（-l,0）的直線/與C相交于4、2兩點，

點A關(guān)于x軸的對稱點為D

⑴證明：點廠在直線上；

Q

（2）設(shè)況4-歹8=§,求.BDK的內(nèi)切圓"的方程.

19.（2022秋?高三課時練習(xí)）已知點N（l,2）,過點N的直線交雙曲線X?-匕=1于A,8兩點，且ON=（（OA+O8）.

（1）求直線AB的方程；

（2）若過點N的直線交雙曲線于C,。兩點，且022=0,那么A,B,C,。四點是否共圓？為什么？

22

20.（2023春?上海黃浦?高三上海市大同中學(xué)校考期中）已知P是橢圓C:j+與=1上一個動點，尸是橢圓的左焦

點，若|尸石的最大值和最小值分別為3+君和3-石.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）/（0,⑹是y軸正半軸上的一點，求1PM的最大值.

21.（2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓Q:爐+/+i2A-14y+60=0.設(shè)圓。2與x

軸相切，與圓。外切，且圓心。2在直線x=-6上.

⑴求圓。2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)垂直于。的直線/與圓。1相交于B,C兩點，且忸C|=3板，求直線/的方程.

22

22.（2021秋.廣東深圳.高三深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：^+方=1（"＞匕＞0）的右焦點是42/0）,過點尸的

/on6、

直線交橢圓C于4B兩點，若線段AB中點。的坐標(biāo)為鼻，-3.

（1）求橢圓C的方程；

⑵已知尸（0,一切是橢圓C的下頂點，如果直線產(chǎn)依+1（原0）交橢圓C于不同的兩點跖N,且M,N都在以尸為

圓心的圓上，求人的值；

⑶過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A,B為橢圓的左右頂點，記直線AR、3s的斜率分別

k.

為依、k2,則廣是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

專題9.8解析幾何綜合練

題號一二三四總分

得分

練習(xí)建議用時：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(2023年重慶市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬(一)數(shù)學(xué)試卷)已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是0(1,1)

和4(3,3),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(尤-2)2+(y-2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)~=2

C.(x-2)2+(y-2)2=2

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求出圓心與半徑寫出圓的方程.

【詳解】因為圓C的一條直徑的兩個端點是分別是0(1,1)和4(3,3),

所以圓心為“(2,2),直徑為2R=J(3-l)2+(3-l)2=2夜，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2『+(y-2)2=2.

故選：C.

2.(2021秋?高三課時練習(xí))已知圓C與圓/+>2-2>=0關(guān)于直線—2=0對稱，則圓C的方程是()

A.(x+l)2+y2=1B.(X-3)2+(^+2)2=1

C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(尤+2)，(y-3)2=1

【答案】B

【分析】設(shè)所求圓的圓心C(a,可，根據(jù)點關(guān)于直線的對稱得到關(guān)于。泊的方程，解出即可.

【詳解】將圓f+V-2y=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式得x2+(y-l)2=l,

所以已知圓的圓心為(0,1),半徑廠=1,

因為圓C與圓犬+,2-2y=0關(guān)于直線x-y-2=。對稱，

所以圓C的圓心C與點(0,1)關(guān)于直線元-〉-2=。對稱，半徑也為1,

1^=-1

a=3

設(shè)C（a,b）可得<Si：1+b…解得

b=-29

[22

所以C（3,-2）,圓C的方程是（彳一3）2+（y+2）2=1

故選：B

3.（2021秋?高三課時練習(xí)）直線〃式+町+3=0在y軸上的截距為-3,而且它的斜率是直線氐-y=3石的斜率的相

反數(shù)，貝。（）

A.m=-5/3,n=lB.m=>n=-l

C.m=-J3,n=_1D.m=y/3,n=l

【答案】D

【分析】根據(jù)已知表示出直線mx+型+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.

【詳解】因為直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3,

所以，0-3w+3=0,解得附=1.

因為直線瓜-y=3石的斜率為

由已知可得，直線如+融+3=0的斜率為一即一絲=一百.

n

所以根=6.

故選：D.

2

4.（2023秋?河南平頂山?高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：/-方=1（6>0）的焦點到漸近線的距離為0,直線/與C

相交于A,8兩點，若線段的中點為N（l,2）,則直線/的斜率為（）

A.-IB.1C.V2D.2

【答案】B

【分析】先利用題目條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用點差法即可求出直線/的斜率.

2

【詳解】因為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V-2=1（6>0）,

所以它的一個焦點為9,0）,一條漸近線方程為M-y=。,

be1—

所以焦點到漸近線的距離"=7肅=J2,化簡得6%2=202+1）,解得〃=2,

222

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y一三=1，哈+%—

設(shè)4a,%）］（孫為），所以石2—￥=1①,箕-迂=1②,

①-②得，（X：—%22）—g（y:一%2）=0,

化簡得（為+%）（不一當(dāng)）一；（%+%）（?-%）=0③，

因為線段的中點為N（l,2）,所以玉+%=2,%+必=4,

代入③，整理得%-9=%一%，

顯然寸“產(chǎn)/所以直線/的斜率％

故選：B

5.（2023?河南開封?校考模擬預(yù)測）已知橢圓，A,8分別是C的左頂點和上頂點，尸是C的左焦點，若

tanZFAB=2,tanZFBA,則C的離心率為()

A.yB.立

22

C3-A/5DV5—1

,-2-'2

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)，在RtAABO和在求出NE4B,4尸。的正切值，由兩角差的

正切公式求出/服1的正切值，結(jié)合題目條件得〃，。的關(guān)系，即求出橢圓的離心率.

【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示:

b

在Rt^ABO中可得：tanZBAO=tan/FAB=—,

a

h

在RtAB尸。中可得：tanZBFO=-,

bb

tanZ.BFO-tan/FAB

所以tanZFBA=tan(ZBFO-NFAB)ca

1+tanZBFO-tanZFAB】、bb

1H-----一

ca

化簡得：tanNEBA=%二?

ac+b

因為tan/E4B=2tan/FBA,所以一?①,

aac+b

122

又62=q2-c2,所以①整理可得：c+a-3ac=0,

即e2_3e+l=0,解得e=

2

又e￡（O,l）,所以e=H,

2

故選：C.

6.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線丁=22%（夕＞0）上一點到其焦

點的距離為5,雙曲線=-y2=i的左頂點為人，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)。的值為（）

a

A.—B.—C.-D.—■

3492*

【答案】A

【分析】由1+^=5得拋物線方程，〃在拋物線上求得〃坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線一條漸近線與直線A"平行可得答

案.

【詳解】根據(jù)題意，拋物線V=2px（p＞0）上一點M（l,m）（加＞0）到其焦點的距離為5,

則點M到拋物線的準(zhǔn)線》=一芻的距離也為5,即1+^=5,解得p=8,

所以拋物線的方程為＞2=16x,則病=16,所以機=4,即M的坐標(biāo)為（1,4）,

又雙曲線二-丁=1的左頂點A（_q,0）,一條漸近線為y=X,

a〃

4411

而—，由雙曲線的一條漸近線與直線40平行，則有;一=—，解得不

故選：A

7.（2021秋廣東深圳.高三深圳中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C的離心率為:，焦點為居，鳥，點A在C上,若閨A|=2|%4|,

則cosNA鳥耳=（）

A1D1

A.—B.—C.—D.—

3456

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線離心率可得c=|a,根據(jù)雙曲線定義推出閨聞=4。,醫(yī)H=2a,利用余弦定理即可求得答案.

3

【詳解】由題意雙曲線c的禺心率為5，焦點為B、尸2,點A在C上，

故不妨設(shè)耳耳為左、右焦點，由寓A|=2叵可知A在雙曲線右支上，

則|辱4|一|%4|=2°,故國H=4a,同旬=20,

由于雙曲線。的離-心率為不3，則一c）3，即。=力3,

2a22

|工4『+|大8|2-|44|24a2+4c2-16a2

在IAFF中,cos/A8耳=

2X2|巴川.|耳&|2?2a?2c

4a2+9a2-16a21

2-2a-2--a4

2

故選：B

丫2

8.（2023?安徽六安?安徽省某中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知橢圓土+丁=1的左右焦點分別為耳與右,點尸在直線/：

4

x-有y+4+g=0上.當(dāng)/耳尸為取最大值時，比煦的值為（）

邛21

A.3B.正C.血一1D.73-1

22

【答案】D

【分析】由米勒最大張角定理確定尸點位置，利用正弦定理計算即可.

【詳解】補充：米勒最大張角定理，已知點A8是NMON的邊ON上兩定點，點尸為邊上一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)

三角形A2P的外接圓與邊相切于點尸時，NAPB最大.

證明：如下圖所示，當(dāng)三角形的外接圓與邊。/相切于點P時（圓心為。），取0M上任一點P,連接PA、PB

交圓。于C，顯然當(dāng)且僅當(dāng)尸'、P、C重合時/AP3取得最大值.

如圖所示，由題意易得不卜若,0）,根據(jù)米勒最大張角定理可知：當(dāng)△即名的外接圓與直線/相切于尸時，此時夾

角/耳尸片最大，設(shè)其圓心。（0,。,

則PQ=Q々n"?^=Ein/+（8后+6"一（8石+7）=0,解之得，=1或，=一8石一7，由圓的性質(zhì)知:

tanPF2=tan”皆,

顯然t=l時tan/耳犀=tan幺產(chǎn)=G,張角最大為60。，

_變

而此時NPKB=75,ZPF2Ft=45,則嘉=理普=陵=73-1.

PF2sin75{6+，2

4

故選：D

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分

9.(浙江省新陣地教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)已知圓的方程為Y+丁-4x+2=0,

下列結(jié)論正確的是()

A.該圓的面積為4兀B.點(0,1)在該圓內(nèi)

C.該圓與圓/+/=1相離D.直線》+丫-4=0與該圓相切

【答案】BD

【分析】首先將圓的方程寫為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑，對于A,根據(jù)圓的面積公式即可判斷；對于B,將

點(0,1)代入(x-2)2+9,判斷與2的大小，即可得出結(jié)論；對于C,求出兩圓心之間的距離，判斷是否大于兩圓

半徑之和；對于D,根據(jù)點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離是否等于半徑，即可判斷.

【詳解】—4x+2=(X—2)2+=2,可知圓心為(2,0),半徑/=；

對于A：由圓的半徑丁=0,得該圓的面積為兀戶=2兀，故A錯誤；

對于B：因為(后-2)2+/=7-4也<2,所以點(01)在該圓內(nèi)，故B正確；

對于C：圓Y+V=1的圓心為(0,0),半徑為1,

因為兩圓心距離為J(2-0y+(0-0)2=2<0+1,且2>0-：1，所以兩圓相交，故C錯誤；

對于D：圓心(2,0)到直線x+y-4=0的距離d=1,J=應(yīng)=r,

Vi2+i

所以直線尤+y-4=0與該圓相切，故D正確，

故選：BD.

10.(2021秋?廣東深圳?高三深圳中學(xué)校考期中)定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互

為共輾雙曲線，以下關(guān)于共軌雙曲線的結(jié)論正確的有()

A.與一—l(a,b>0)共就i的雙曲線是一—=l(a,b>0)

ab'ba~

B.互為共軟的雙曲線漸近線不相同

C.互為共朝的雙曲線的離心率為02,則qe2N2

D.互為共軌的雙曲線的4個焦點在同一圓上

【答案】CD

【分析】根據(jù)共軌雙曲線的定義可判斷A；分別求得互為共輾的雙曲線的漸近線判斷B；根據(jù)雙曲線離心率定義可

得4+4=1，即e：+e；=e：￡,即可結(jié)合基本不等式推得/與22,判斷C；求得四個焦點坐標(biāo)，即可判斷D.

e\e2

Y2y2y2尤2

【詳解】對于A,根據(jù)共朝雙曲線的定義可知，與3―==1（Q/〉0）共輾的雙曲線是2—T=1（Q,"0）,A錯誤;

abba

y2y2b

對于B,多=132>0）的漸近線方程為》=±與，

aba

=1（。，％>0）的漸近線方程也為>=，二者相同，B錯誤;

la2+b2

對于C,由題意可得

.,11a2+b21

故;^^=/7乒2

由于6>10>1,故e］e；=e；2耳-e2,即qe2>2,

當(dāng)且僅當(dāng)4=02=血時等號成立，C正確；

22_________

對于D,5-與=l（a,b>0）的焦點坐標(biāo)為（土J/+/0），

ab

22

其共朝雙曲線%-十=1（°,6>0）的焦點坐標(biāo)為（0,±77萬），

顯然這4個焦點在以原點為圓心，而壽為半徑的圓上，D正確，

故選：CD

11.（2023秋?廣東?高三華南師大附中?？计谀┮阎€C:〃儲+沖2=1,則（）

A.若〃?="=4,則曲線C是圓，其半徑為2

B.若根>”>0,則曲線C是橢圓，其焦點在y軸上

C.若線。過點（-應(yīng),6）,-七一,0，則。是雙曲線

D.若加〃=0,則曲線C不表示任何圖形

【答案】BC

【分析】對于A,曲線C可化為無2+丁=」，表示圓，可求半徑，判斷A;

n

22

工+匕=111

對于B,加>〃>0時，曲線C可化為11一，0<—<—可判斷表示橢圓，判斷B;

mn

mn

22

對于c,將點卜后,括），［-半,血］,代入曲線C：>wc+ny=l,求得曲線方程，

判斷C;對于D,可舉特例進(jìn)行說明，判斷D.

【詳解】對于A,〃?=">0時，曲線C可化為無2+丁=,，其半徑為;=:，故A錯誤;

n7n2

22

±+±=111

對于B,加>〃>0時，曲線C可化為11一表示的是橢圓，而0<—<一,

mn

mn

所以其焦點在y軸上，故B正確;

對于C,將點卜代,石），—P"，后，代入曲線C：rwc2+ny2=1,

2m+3〃=1m=1

有｛5加.1mn<0,所以曲線。是雙曲線，故C正確;

------\-2n=1i=——

33

對于D,若m=l,〃=0,滿足條件，此時曲線C：一=1,表示兩條直線,

故D錯誤,

故選：BC.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形A8CD四邊所在直線與x軸的交點分別為

（0,0）,（1,0）,（2,0）,（4,0）,則正方形ABCD四邊所在直線中過點（0,0）的直線的斜率可以是（）

331

A.2B.—C.—D.一

244

【答案】ABD

【分析】假設(shè)A3所在的直線過點（0,0）,分類討論8所在的直線所過的點，結(jié)合圖象分析運算.

【詳解】因為選項斜率均為正值，不妨假設(shè)A3所在的直線過點（0,。）,

設(shè)直線A3的傾斜角為ae］。弓）斜率為3

①若8所在的直線過點（1,0）,如圖，可得3C=sinc,C￡）=2cosa,

因為3C=CD,即sina=2cosa,則左=tana=2；

②若。。所在的直線過點（2,0）,如圖，可得5c=2sina,CQ=3cosa,

3

因為6C=CD,即2sina=3cosa,則左二tan。二一；

2

y

oi

③若CO所在的直線過點（4,0）,如圖，可得BC=4sine,CZ）=cosc,

【點睛】關(guān)鍵點睛：假設(shè)A3所在的直線過點（0,。），分類討論CO所在的直線所過的點，數(shù)形結(jié)合處理問題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.

13.（2022秋?高三課時練習(xí)）已知實數(shù)。涉滿足a+處=1,則直線依+3y+6=0過定點

【答案】（g,-：）

2%—1=0

【分析】根據(jù)題意化簡直線方程為（x+3y）-6（2x-l）=0,聯(lián)立方程組心二0,即可求解，

【詳解】由實數(shù)滿足。+2b=l,可得。=1一2）,

代入直線方程依+3>+6=0,可得(x+3y)—6(2x—l)=O,

2%—1=011

聯(lián)立方程組，+3尸。,解得x=/=7.

所以直線辦+3—=0過定點

故答案為：（《—0?

14.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤鐖D，一個光學(xué)裝置由有公共焦點片,此的橢圓C與雙曲線C'

構(gòu)成，一光線從左焦點耳發(fā)出，依次經(jīng)過C'與C的反射，又回到點片.，歷時加秒；若將裝置中的C'去掉，則該光

線從點K發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點月歷時〃秒，若C'的離心率為C的離心率的4倍,則一=

n

E

B

【分析】由離心率比求得長半軸與實半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得.

【詳解】設(shè)橢圓長軸長為2%,雙曲線實軸長為2%,焦距2c,

￡

q

由a1

z2

%4

依次經(jīng)過C'與C的反射，又回到點則有|然|-|筋|=2/，忸周+|明|=2q,

兩式相減得忸局-|A閭+忸耳|+|然|=1/^+1841+191=2q—2%,

將裝置中的c去掉，則有1Ml+歸周+|叫=4弓,

1-￡11_j_

所以根_1AK+忸4_2q-2a2_q_4_3

n~E^|+|P^+\EP~~4^-2—2一8

3

故答案為：—.

O

15.（2023春?貴州遵義?高二遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線。：寸=2/（°>0）的焦點為尸，直線/過尸

與C交于A,8兩點，過點A,8分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4，月，則乙41fBl的大小為一.

【答案】1/90

【分析】聯(lián)立直線/與拋物線c的方程，利用設(shè)而不求的方法求得EV*=0,進(jìn)而得到/4尸片的大小.

【詳解】拋物線c:丁=2PMp>0）的焦點為嗚,0）,

設(shè)直線/的方程為％-點=畋，

令4（占,％）,_8（々,%），則A（—光，%），耳（―§，％）>

1P—YYI\

又，2,整理得-2°沖-p2=0,

j2=2px

則乂%=-p2，X+%=2P優(yōu),

222

又色=（-P，必）,理=（~P，%），F(xiàn)Al-FB1=p+yly2=p-p^0,

jr

則%J.F4,則幺股=；

故答案為：—

16.（2023春?上海徐匯?高三上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎獔A的方程為幺+必一i2x-16y=0,該圓過點（3,4）的最

長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為.

【答案】100―

【分析】根據(jù)給定條件，求出過定點的圓的最長、最短弦長，再求出四邊形面積作答.

【詳解】依題意，圓（x-6）2+（y-8）2=100的圓心“（6,8）,半徑廠=10,

點。（3,4）與圓心M（6,8）的距離\QM\=7（3-6）2+（4-8）2=5<10,

則點。（3,4）在圓內(nèi)，過點。（3,4）及圓心的直線與圓相交，得最長弦長|4。=2廠=20,

當(dāng)時，忸D|最短，過Q（3,4）的最短的弦長忸￡>|=2,嚴(yán)一|°閡2=2次00-25=10。,

所以四邊形ABCD的面積SABCD=|AC-BD=1X10V3X20=10073.

故答案為：1004

四、解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2022秋,高二課時練習(xí)）已知兩直線（：x_2y+4=0,4：4x+3y+5=0

⑴若直線"+2丁-6=0與K可組成三角形，求實數(shù)。滿足的條件；

⑵設(shè)4（-1,-2）,若直線/過丸與4的交點尸，且點A到直線/的距離等于1,求直線/的方程.

Q

【答案】⑴a~2且aw-1且

（2）4x+3y+5=0或x+2=0

【分析】（1）先求得44的交點R-2,1）,根據(jù)三線不共點和任意兩直線不平行，列出不等式，即可求解;

（2）根據(jù)題意，當(dāng)直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y-l=-x+2）,結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程求得

左的值；當(dāng)直線/的斜率不存在，直線/的方程為％+2=0,驗證符合題意，進(jìn)而得到答案.

fx-2y+4=0

【詳解】⑴解：由方程組，:<C，解得x=-2,y=l,所以//的交點為尸（-2,1）,

[4尤+3y+5=0

①當(dāng)直線辦+2y-6=0過乙與4的交點P時，不能構(gòu)成三角形，

所以。x（-2）+2xl-6wO,解得2；

②當(dāng)直線辦+2y-6=。分別與44平行時，不能構(gòu)成三角形，

?,a2a2

則一K二F

1-243

Q

所以aw-1且a

o

綜上可得，實數(shù)a滿足的條件aw—2且aw—1且“w號

（2）解：若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為、-1=依*+2）,即依-y+（2Z+l）=0,

因為點4T,-2）到直線/的距離為1,可得J—==一U1,解得左=一：，

即所求直線/的方程為4x+3y+5=0；

若直線/的斜率不存在，即直線/的方程為x+2=0,

因為點A（T，-2）到直線/：x+2=0的距離為1,所以直線x+2=0也滿足題意

故所求的直線/的方程為4x+3y+5=0或x+2=0.

18.（2023?全國?高三對口高考）已知拋物線C：V=4x的焦點為P,過點K（-1,0）的直線/與C相交于A、2兩點,

點A關(guān)于x軸的對稱點為D

⑴證明：點尸在直線3。上；

Q

⑵設(shè)=求一比>K的內(nèi)切圓M的方程.

【答案】（1）證明見解析.

⑵圓"的方程為：+y2=：

【分析】（1）利用斜率相等即可證得結(jié)果；

（2）利用向量數(shù)量積和內(nèi)切圓的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)4亨,%），刈苧,%），已知點A關(guān)于x軸的對稱點為，

“2M_%

則點。的坐標(biāo)為，由％AK=L,可得y；叫11

4-------ri-------r1

44

整理可得（必%-4）（%-%）=。，即M%=4.

16

%

4%

號T一%2]=左8尸，

4—y-為2-4~T~

由左￡）尸=心口，可知點/在直線_BD上.

（2）由E4-PB=g，可得（《一1）（早一1）+%%=|，即可得x+%=±g，

-U；

由于A,8在拋物線上,4

3

不妨設(shè)A,B在x軸上方，貝必AB=:，可知A8的直線方程為4y-3X-3=0,

,______________4后k-%+%—43

BD22

而%-x="(1+%)2-=二-,故y2yiy2f=方，

3447

則的直線方程為V7y-3x+3=o,由于X軸是NAKD的角平分線，可知內(nèi)切圓的圓心必然在x軸上,

故設(shè)圓心坐標(biāo)為（孫。），由于角平分線上的點到角的兩邊距離相等，

則廠」一3租+3]1-3加-3],解得機=〈或機=9（舍），則可得廠=￡,

4593

▲BDK的內(nèi)切圓M的方程為[一:1+?/=1?

21

19.（2022秋?高三課時練習(xí)）己知點N（l,2）,過點N的直線交雙曲線V=1于A,8兩點，S.ON^-（OA+OB）.

⑴求直線AB的方程；

（2）若過點N的直線交雙曲線于C,。兩點，且C￡>-A2=0,那么A,B,C,。四點是否共圓？為什么？

【答案】（l）y=x+l

（2）四點共圓，原因見解析

【分析】⑴設(shè)直線A3的方程為y=3-1）+2,代入雙曲線方程，設(shè)A（4yJ,B（X2,J2）,根據(jù)ON=g（Q4+OB）

得N是AB的中點，利用韋達(dá)定理求出％可得直線A3的方程為；

（2）直線A3的方程代入雙曲線方程解得x可得A,B坐標(biāo)，根據(jù)CD-A2=0得CD垂直43,求出CD所在直線方

程代入雙曲線方程，令。（思,力），。（和為）及CO中點〃（玉,幾），根據(jù)韋達(dá)定理得弦長|CD|及

Mq=W=JcD卜2西，==2如可得A、B、C