2022-2023學年福建省南平市高一年級下冊期末數(shù)學模擬試題（一）（含解析）

2022-2023學年福建省南平市高一下冊期末數(shù)學模擬試題(-)

(含解析)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1(5-。-(3-。一5,等于()

A.5zB.2-5zC.2+5iD,2

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)復數(shù)的加、減運算即可求解.

【詳解】(5-z)-(3-z)-5z=5-i-3+z-5z=2-5z.

故選：B

2.45c是邊長為1的正三角形，那么Z6C的斜二測平面直觀圖⑷8'C'的面積()

A.逅B.立C.@D,在

16884

【正確答案】A

【分析】先求出原三角形的面積，再根據(jù)原圖和直觀圖面積之間的關系即可得解.

【詳解】以48所在直線為x軸，線段的垂直平分線為N軸，建立直角坐標系,

畫對應的x'軸，V軸，使Nx'O?'=45。，如下圖所示，

結合圖形，/8C的面積為=Lx/8xOC=』xlx、3=X3,

2224

作垂足為。,

則(?7)=巫乂0>6'>=史乂,乂。。=匹。。，4B=A'B'，

2224

所以⑷6'。'的面積S/B.u=1x/Ex(ro=1x^xOCx/8=^xS，8c，

ABC2244

即原圖和直觀圖面積之間的關系為為幽=￡,

S原圖4

所以，⑷8'C'的面積為s=

"叱4416

故選：A.

本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖面積的關系，屬于基礎題.

3.已知1是銳角，a=(-1,1),=(cosa,sina),且￡j_A，則1為()

A.30°B.450C.60°D.30°或

60°

【正確答案】B

【分析】

由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)、數(shù)量積的坐標運算、特殊角的三角函數(shù)值可得出結論.

【詳解】Va=(-1,1),B=(cosa,sina),且￡_1_否，

二a.g=_cosa+sina=0，求得cosa=sina，tana=l,

由仁是銳角，所以a=45°.

故選：B.

本題考查了向量的數(shù)量積的坐標運算、已知三角函數(shù)值求角.

3

4.在Z8C中，角A、8、C所對的邊分別是。、b、%若c=l,8=45。，cos/I=-,

則b等于()

3105572

A.-B.—C.-D.

57714

【正確答案】C

【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系式可得sin/,進而可得

cosC=-(cosAcosB-sinAsinB),再利用正弦定理即可得出.

3

【詳解】解：Qcos^=-,^G(0°,180°).

sin/=JF-COS2A=y,

cosC=-cos(?i+5)=-(cosAcos-sinsinB)=-(-^x~x~~~?

z.sinC=Jl-cos2c=.

10

bc

由正弦定理可得：——=-----，

sin8sinC

,csinBX?5

?h---------------=--------—————

,sinC707-

10

故選：c.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式、正弦定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

5.從1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)，下列事件中是互斥事件但不是對立事件的是()

A.至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)B.至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶

數(shù)

C.至少有一個奇數(shù)和至少一個偶數(shù)D.恰有一個偶數(shù)和沒有偶數(shù)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念,依次判斷選項即可.

【詳解】從1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)

對于A,至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)，兩個事件有重復，所以不是互斥事件，所以A錯誤;

對于B,至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)，兩個事件互斥,且為對立事件，所以B錯誤；

對于C,至少有一個奇數(shù)和至少一個偶數(shù)，兩個事件有重復，所以不是互斥事件，所以C錯誤.

對于D,恰有一個偶數(shù)和沒有偶數(shù)，為互斥事件.且還有一種可能為兩個都是偶數(shù)，所以兩個事

件互斥且不對立，所以D正確.

綜上可知,D為正確選項

故選:D

本題考查了互斥事件與對立事件的概念和判斷,屬于基礎題.

6.已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面邊長為3cm,側(cè)面的對角線長是3jScm，

則這個正四棱柱的表面積為

A.90cm2B.36垂）cm1C.72c加？D.54cm2

【正確答案】A

【分析】

求出側(cè)棱長，再求出側(cè)面積和兩個底面積，即可得表面積.

【詳解】由題意側(cè)棱長為J（3石）2—32=6.

所以表面積為：S=4x3x6+2x3?=90（。他2）.

故選：A.

本題考查棱柱的表面積，解題關鍵是求出側(cè)棱長.

7.利用斜二測畫法畫直觀圖時，下列說法中正確的是（）

①兩條相交直線的直觀圖是平行直線；②兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線；③正方形

的直觀圖是平行四邊形：④梯形的直觀圖是梯形.

A.①②B.③④C.①③D.②④

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，逐項判定，即可求解，得到答案.

【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，所以①錯；

兩條垂直直線的直觀圖是兩條相交但不垂直的直線，所以②錯；

根據(jù)直觀圖的畫法中，平行性保持不變，可得③，④正確.

故選：B.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖的畫法以及應用，其中解答中熟記斜二測畫法的規(guī)則，畫

出平面圖形的直觀圖是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與運算能力，屬于

基礎題.

8.已知樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且樣本的

中位數(shù)為10.5,若使該樣本的方差最小，則。，b的值分別為（）.

A.10,ilB.10.5,9.5C.10.4,10.6D.10.5,

10.5

【正確答案】D

【分析】

利用中位數(shù)可得b=21-。，要使該樣本的方差最小，只需(a-IO)：+伍-IO):最小，將

b=21-a代入，配方即可求解.

【詳解】由于樣本共有10個值，且中間兩個數(shù)為。，b,

依題意，得竺2=10.5,即3=21—a.

2

因為平均數(shù)為(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)+10=10,

所以要使該樣本的方差最小，只需(a-10)2+(6-10)2最小.

又(a-1+(b-1=(a-1+(21-a-1=2/-42a+221,

-42、、

所以當a=-----=10.5時，(aTO)+伍—10)最小,此時6=10.5.

2x2

故選：D

本題考查了樣本數(shù)據(jù)、方差，需熟記方差的計算公式，考查了基本知識的掌握情況，屬于基

礎題.

二、多項選擇題.(本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分,

部分選對的得2分，有選錯的得。分.)

9.小明與小華兩人玩游戲，則下列游戲公平的有()

A.拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)，小華獲勝

B.同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上，小明獲勝，兩枚都正面向上，小華獲勝

C.從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色，小明獲勝，撲克牌是黑色，小華

獲勝

D.小明、小華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝

【正確答案】ACD

【分析】在四個選項中分別列出小明與小華獲勝的情況，由此判斷兩人獲勝是否為等可能事

件.

【詳解】解：對于/,拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)和向上的點數(shù)為偶數(shù)是等可能的，

所以游戲公平；

對于8,恰有一枚正面向上包括(正，反),(反，正)兩種情況，而兩枚都正面向上僅有(正,

正)一種情況，

所以游戲不公平；

對于C,從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色和撲克牌是黑色是等可能的,

所以游戲公平；

對于。，小明、小華兩人各寫一個數(shù)字6或8,一共四種情況：(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)；

兩人寫的數(shù)字相同和兩人寫的數(shù)字不同是等可能的，所以游戲公平.

故選：ACD.

本題考查等可能事件的判斷，考查運算求解能力，是基礎題.

10.對于三角形Z8C,有如下判斷，其中正確的判斷是()

A.^sin2/4+sin2S<sin2C,則三角形Z8C是鈍角三角形

B.若/>8,貝！］sin/>sin8

C.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的三角形/8C有兩個

D.若三角形/8C為斜三角形，則tanZ+tan8+=

【正確答案】ABD

【分析】

對于A,先利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關系，再利用余弦定理可判斷三角形的角的大小;

對于B,由三角形中大角對大邊，再結合正弦定理判斷；對于C,利用余弦定理求解即可；

對于D,利用三角函數(shù)恒等變換公式判斷

【詳解】對于A,因為sin2/+sin28<sin2C,所以由正弦定理得因+由<，所以

cosC=fl+Z?--r<0,所以。為鈍角，所以三角形/3C是鈍角三角形，所以A正確；

2ab

對于B,因為所以所以由正弦定理得sin4>sina所以B正確；

對于C,由余弦定理得，b2=a2+c2-2nccos5=64+100-2x8xl0xi=84,所以

2

b=2而,所以符合條件的三角形N8C有一個，所以C錯誤；

—l.、i/ctan5+tanC

對于D,因為tan(8+C)=------------,

1-tan5tanC

所以tanB+tanC=tan(5+C)(l-tanBtanC)

因為tan(5+C)=tan(乃一4)=一tanA,

所以tanB+tanC=tan(5+C)(l-tanBtanC)=tanAtanBtanC-tanA,

所以tan4+tan8+tanC=tanZtan3tanC,所以D正確，

故選：ABD

11.設，.為虛數(shù)單位，復數(shù)z=(a+i)(l+22),則下列命題正確的是()

A.若z為純虛數(shù)，則實數(shù)〃的值為2

B.若z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是(-(，2)

C.實數(shù)。=一,是z=N為z的共輒復數(shù))的充要條件

2

D.若z+|z|=x+5i(xeR),則實數(shù)。的值為2

【正確答案】ACD

【分析】首先應用復數(shù)的乘法得z=a-2+(l+2a)i,再根據(jù)純虛數(shù)概念、復數(shù)所在象限，

以及與共規(guī)復數(shù)或另一個復數(shù)相等，求參數(shù)的值或范圍，進而可確定選項的正誤

(詳解】z-(a+z)(l+2z)=a-2+(l+2a)i

a—2=0

選項A：z為純虛數(shù)，有〈八可得a=2,故正確

1+2戶0

ci—2<01

選項B：z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，有<八解得。<一一,故錯誤

l+2a<02

1-51

選項C：a=---時，z=z=—；z=彳時，1+2。=0即。=—,它們互為充要條件，

222

故正確

選項D：z+|z|=x+5i(xeR)時，有1+2。=5,即a=2,故正確

故選：ACD

本題考查了復數(shù)的運算及分類和概念，應用復數(shù)乘法運算求得復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的概念及性

質(zhì)、相等關系等確定參數(shù)的值或范圍

12.如圖，在正方形中，E,尸分別是8C,C。的中點，G是后廠的中點.現(xiàn)在沿/E,

ZF及￡尸把這個正方形折成一個空間圖形，使8,C,。三點重合，重合后的點記為“，下

列說法正確的是（）

A.NGJ-平面EFH

面4EF

【正確答案】BC

【分析】由題意可得，AHLHE,AH1.HF,HF1.HE,從而利用線面垂直的判定定理可得

4H工平面EFH,平面4HE,進而可得答案

【詳解】解：由題意可得：AHLHE,AHLHF.

:.AHL平面EFH,而NG與平面EF/Z不垂直.二8正確，N不正確.

又HF上HE,；.HFL平面4HE,C正確.

HG與ZG不垂直，因此HG_L平面力E尸不正確.。不正確.

故選：BC.

此題考查線面垂直的判定，考查折疊問題，屬于基礎題

三、填空題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.今年由于豬肉漲價太多，更多市民選擇購買雞肉、鴨肉、魚肉等其它肉類.某天在市場中

隨機抽出100名市民調(diào)查，其中不買豬肉的人有30位，買了肉的人有90位，買豬肉且買其

它肉的人共30位，則這一天該市只買豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計值為.

【正確答案】0.4

【分析】將買豬肉的人組成的集合設為從買其它肉的人組成的集合設為8,

由韋恩圖易得只買豬肉的人數(shù)，與100作比，即得結果.

【詳解】由題意，將買豬肉的人組成的集合設為4買其它肉的人組成的集合設為8,

則韋恩圖如下：ACB中有30人，G；(/U8)中有10人，又不買豬肉的人有30位,

.?.BcC&j中有20人，.?.只買豬肉的人數(shù)為：100—10—20—30=40,

40

.?.這一天該市只買豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計值為——=0.4,

100

故答案為：0.4

本題考查了用樣本估計總體，用頻率估計概率的方法，考查了韋恩圖的應用，屬于中檔題.

14.已知向量1=(5,5),^=(2,1),若々+B與之一否的夾角是銳角，則實數(shù)4的取值范圍

為；

【正確答案】(一7,1)口(1,7)

［分析］利用儲+B)?日-力>o去掉同向的情形即得.

【詳解】由題意0+1.0-5)>0，即/一片〉0，52+52>曲+『，.?.一7<4<7,

若a+b=k(a—b),則［>解得<

5+1=攵(5-1)

A=1

綜上人的范圍是(一7,1)。(1,7).

故(一7,7).

本題考查向量的夾角與向量的數(shù)量積的關系，2,5是兩個非零向量，則2范夾角是銳角時.，

ab>Q>夾角是鈍角時，ab<0>反之要注意￡出可能同向也可能反向.

15.設復數(shù)z滿足目=1,且使得關于x的方程2二2+2白+3=0有實根，則這樣的復數(shù)z的

和為

7

【正確答案】——

4

【分析】

首先設z=a+bi(。，bwR且/+〃=1)，代入方程，化簡為

(ax2+2ax+3)+Rf-2bx)i=0,再分6=0和6*0兩種情況求a，x驗證是否成立.

【詳解】設z=a+bi,",bwR且Q2+62=I)

則原方程zx2+2zx+3=0變?yōu)?2ax+3)+(涼-2bx)i=0.

所以辦之+2ax+3=0,①且6工2-2以=0，②；

(1)若6=0,則〃=1解得。=±1,當。=1時①無實數(shù)解，舍去；

從而。=一1,X?—2%—3=0此時x=—1或3,故z=—1滿足條件；

3

(2)若bwO,由②知，x=0或x=2,顯然x=0不滿足，故x=2,代入①得。=—，

所以z=_3土空九

88

綜上滿足條件的所以復數(shù)的和為-1+(-W+今i3卮.7

--------------Z

884

思路點睛：本題考查復系數(shù)二次方程有實數(shù)根問題，關鍵是設復數(shù)z=a+歷?后代入方程，

再進行整理轉(zhuǎn)化復數(shù)的代數(shù)形式，注意實部和虛部為0,建立方程求復數(shù)z.

16.在N8C中，仇c分別是角43,C所對的邊.若2=四,6=1,的面積為且,

32

則。的值為

【正確答案】也

【分析】先根據(jù)三角形的面積公式求出邊c,再利用余弦定理即可得解.

【詳解】由/=烏力=1,Z6c的面積為Y3,

32

得,besin4=^-c=^~‘所以。=2,

242

則/=b2+c2-2hccosA=l+4-2xlx2x—=3,

2

所以a=.

故答案為.yfj

四、解答題.（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分）

17.已知向量次=（3,-4）,05=（6,-3）,OC=（5-m,-3-m）.

（1）若點A,B,。能構成三角形，求實數(shù)加應滿足的條件；

（2）若Z8C為直角三角形，且/N為直角，求實數(shù)〃?的值.

17

【正確答案】（1）m#—；（2）m——.

24

【分析】（1）點A,B,。能構成三角形，則這三點不共線，即荏與萬心不共線，利用向

量共線的坐標公式計算即可.

（2）為直角三角形，且//為直角，則方，%,利用向量的數(shù)量積坐標公式計算

即可.

【詳解】（1）已知向量方=（3,-4）,麗=（6,-3）,OC=[5-m,-3-m）,

若點A,B,。能構成三角形，則這三點不共線，即方與配不共線.

L1ULU_____

715=（3,1）,/C=（2—〃?,1一加）,

故知2—加，

實數(shù)機74時，滿足條件.

2

（2）若/8C為直角三角形，且//為直角，則在J_就，

3（2—〃?）+—=0,

7

解得加=—.

4

本題考查平面向量共線的坐標公式和數(shù)量積的坐標運算，考查學生邏輯思維能力，屬于基礎

題.

18.甲、乙兩名運動員各投籃一次，甲投中的概率為0.8,乙投中的概率為0.9,求下列事件

的概率：

(I)兩人都投中；

(II)恰好有一人投中；

(III)至少有一人投中.

【正確答案】⑴0.72：(II)0.26；(III)0.98.

【分析】(I)由相互獨立事件概率的乘法公式即可得解；

(II)由相互獨立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，運算即可得解；

(III)由互斥事件概率加法公式即可得解.

【詳解】設/=“甲投中"，6='‘乙投中"，則]="甲沒投中”，豆="乙沒投中”，

由于兩個人投籃的結果互不影響，

所以A與8相互獨立，A與5，A與3,)與8都相互獨立，

由已知可得產(chǎn)(〃)=0.8,尸(3)=0.9,則P(1)=0.2,P(月)=0.1；

(I)45=”兩人都投中”,則尸(ZB)=尸(Z)尸(5)=0.8x0.9=0.72；

(II)4月^)前="恰好有一人投中“，且/片與18互斥，

則P(ABuAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P@)+P0P(B)

=0.8x0.1+0.2x0.9=0.26；

(III)48U力月Ul8="至少有一人投中''，且Z8、AB＞彳6兩兩互斥，

所以。(48U/豆UAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(AB)+P[ABU嘉)=0.72+0.26=0.98.

本題考查了對立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的應用，考查了運算求解能力，屬

于中檔題.

19.某城市100戶居民的月平均用水量(單位：噸)，以

[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分組的頻率分布直方圖如圖.

（1）求直方圖中x的值；并估計出月平均用水量的眾數(shù).

（2）求月平均用水量的中位數(shù)及平均數(shù)；

（3）在月平均用水量為[6,8）,[8,10）,[10,12）,[12,14）的四組用戶中，用分層抽樣的方

法抽取22戶居民，則應在[10,12）這一組的用戶中抽取多少戶？

（4）在第（3）問抽取的樣本中，從[10,12）[12,14）這兩組中再隨機抽取2戶，深入調(diào)查，

則所抽取的兩戶不是來自同一個組的概率是多少？

8

【正確答案】（1）尸0.075,7；（2）6.4,5.36；（3）4；（4）—.

【分析】（1）根據(jù)頻率和為1,列方程求出x的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖中，每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和

可得平均值，由最高矩形的數(shù)據(jù)組中點為眾數(shù)；中位數(shù)兩邊的頻率相等，由此求出中位數(shù)；

（3）求出抽取比例數(shù)，計算應抽取的戶數(shù)；

（4）利用列舉法，由古典概型概率公式可得結果.

【詳解】（1）根據(jù)頻率和為1,W2x（0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025）=l,

解得x=0.075：由圖可知,最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6,8）,所以眾數(shù)為g（6+8）=7；

（2）[2,6）內(nèi)的頻率之和為

（0.02+0.095+0.11）x2=0.45；

設中位數(shù)為y,則0.45+66）x0.125=0.5,

解得尸6.4,.,.中位數(shù)為6.4；

平均數(shù)為2（1x0.02+3x0.095+5x0.11+7x0.125+9x0.075+11x0.025）=5.36

（3）月平均用電量為［10,12）的用戶在四組用戶中所占的比例為

___________0^____________2_

0.125+0.075+0.05+0.025-11'

2

月平均用電量在［10,12）的用戶中應抽取22x—=4（戶）.

（4）月平均用電量在［12,14）的用戶中應抽取22x'=2（戶），

月平均用電量在［10,12）的用戶設為“、B、C、D,月平均用電量在［12,14）的用戶設為e,f,

從［10,12）,［12,14）這兩組中隨機抽取2戶共有:

AB,AC,AD,Ae,Af,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef,15種情況，

其中，抽取的兩戶不是來自同一個組的有Ze,4/',84夕;Ce,。,。3/,8種情況，

Q

所以，抽取的兩戶不是來自同一個組的概率為百.

本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題.直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各

矩形的面積之和為1;（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個矩形的

中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等

處橫坐標表示中位數(shù).

20.在A48c中,設角4民C的對邊分別為"c,已知

cos2A=sin25+cos2C+sin/sin8?

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若°=百，求A46c周長的取值范圍.

【正確答案】（1）y；（2）（273,2+73］

【分析】（1）由三角函數(shù)的平方關系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、兩角和差的

正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域即可得出.

【詳解】（1）由題意知l-si/N=si/B+l—sidC+sin^sinB，

即sin2Z+sin26-sin2C=-sirL4sin6，

由正弦定理得.2+/—。2=—ab

cr+b2-c2_-ab

由余弦定理得cosC

lab2ab2

2兀

又?.?（）<T

.?/-a=-'-=---=―點=2,:,a=2s\nA,b=2sin5

（2）sirUsin5sinCsin2^

3

則A46C的周長

￡=Q+6+C=26in/4+sin5）+G=2sinA+sin^-A\+V5=2sin4+也.

n人冗71A兀2冗y/3.（.

33332（3）

273<2sin^+y^j+V3<2+73,

ZUBC周長的取值范圍是（2G,2+JJ].

本題主要考查了三角函數(shù)的平方關系，正余弦定理，兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的單調(diào)

性，屬于中檔題.

21.如圖，在A/18C中，Z8=2,AC=3,NB4C=60,，DB=2AD>CE=2EB-

（1）求CO的長;

（2）求布?詼的值.

【正確答案】（1）—；（2）-

33

【分析】（1）將而用在和衣表示，利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義計算出前2的

值，即可得出C。的長；

⑵將方利用刀和就表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義計算出萬.而

的值.

【詳解】（1）DB——2AD，4D——AB,CD=AD—AC——AB—AC,

—?—?——2——12——1/,,一"-\1■—1-?

??.DE=DB+BE=—AB+—BC=—AB+-（AC—AB、=-AB+-AC,

3333、733

：.AB-7>E=AB-\-AB+-AC\=-AB2+-7B-A