第四章-矩陣的特征值和特征向量

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣

§4.2

§4.3§4.4

法國數(shù)學(xué)家柯西:

給出了特征方程的術(shù)語,證明了任意階實對稱矩陣都有實特征值給出了相似矩陣的概念,證明了相似矩陣有相同的特征值英國數(shù)學(xué)家凱萊:

方陣的特征方程和特征根(特征值)的一些結(jié)論

德國數(shù)學(xué)家克萊伯施,布克海姆(A.Buchheim)等:

證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)

泰伯(H.Taber):

引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論

1854年,法國數(shù)學(xué)家約當(dāng)

矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣

一.問題習(xí)題1(B).23

求A11.設(shè)P

1AP=,P=,

=14111002,A=P

P

1

A11=(P

P

1)(P

P

1)(P

P

1)…(P

P

1)

11=100211=P

11P

1

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣

二.相似矩陣的定義A與B相似(similar):

P,s.t.P

1AP=B.記為A~B.易見,矩陣間的相似關(guān)系滿足(1)反身性:A~A;(2)對稱性:A~B

B~A;(3)傳遞性:A~B,B~C

A~C.

性質(zhì)1.設(shè)A~B,f是一個多項式,

則f(A)~f(B).證明:設(shè)P

1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,則P

1f(A)P=anP

1AnP+…+a1P

1AP+a0P

1EP

=an(P

1AP)n+…+a1P

1AP+a0E

=P

1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B).三.相似矩陣的性質(zhì)第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣

性質(zhì)2.設(shè)A~B,則|A|=|B|.證明:P

1AP=B|P

1AP|=|B|第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣|P

1|

|A|

|P|=|P|

1

|A|

|P|=|A|=性質(zhì)3.設(shè)A~B,則r(A)

=r(B).證明:P

1AP=B

r(A)

=r(B).

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣A=a11

a12…a1na21

a22…a2n…………an1

an2…a1nA的跡(trace):tr(A)=

a11+a22+…+a1n(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(2)tr(kA)=ktr(A);(3)tr(AB)=tr(BA).

性質(zhì)4.設(shè)A~B,則tr(A)=tr(B).證明:P

1AP=B第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣tr(B)=tr(P

1AP)=tr(APP

1)=tr(A).

四.相似對角化(diagonalize)第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣定理4.1.An

n

~

對角矩陣

1,…,

n和線性無關(guān)的

1,…,

n,s.t.A

i=

i

i

(i=1,…,n).P=(

1,…,

n),

=diag(

1,…,

n),在此條件下,令則P

1AP=

.

定義4.2:若A相似于對角陣

，則稱A可以相似對角化，

稱為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形?！?.2特征值與特征向量一.定義第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

A

=

n階方陣

非零向量

特征值(eigenvalue)

特征向量(eigenvector)

對應(yīng)

“Eigen”isGermanfor“characteristicof”or“peculiarto”;someauthorscallthesecharacteristicvaluesandvectors.Noauthorscallthem“peculiar”.第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程(characteristicequation)

|

E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多項式(characteristicpolynomial)

E–A

特征矩陣

特征值

特征向量

二.計算第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

定理4.2.(1)

0為A的特征值

|

0E–A|=0.(2)

為A的對應(yīng)于

0特征向量

(

0E–A)

=0.1.理論依據(jù)2.步驟計算|

E–A|

求|

E–A|=0的根

i

求(

iE–A)x=0的基礎(chǔ)解系

例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為

1=2,

2=4.解之得A的對應(yīng)于

1=2的特征向量為對于

1=2,(2E–A)x=0

即3113|

E–A|=

–311

–3=(

–2)(

–4).

x1+x2=0x1

x2=0x1x2=k

11(0

kR).kk(0

kR).第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為

1=2,

2=4.解之得A的對應(yīng)于

2=4的特征向量為對于

2=4,(4E–A)x=0

即3113|

E–A|=

–311

–3=(

–2)(

–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

1

1(0

kR).k

k(0

kR).第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

解:|

E–A|=(

–2)(

–1)2.

所以A的特征值為

1=2,

2=

3=1.

對于

1=2,

求得(2E–A)x=0

的基礎(chǔ)解系:p1=(0,0,1)T.

對應(yīng)于

1=2的特征向量為kp1(0

kR).

對于

2=

3=1,

求得(E–A)x=0

的基礎(chǔ)解系:p2=(–1,–2,1)T.

對應(yīng)于

2=

3=1的特征向量為kp2(0

kR).例2.求的特征值和特征向量.

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

解:|

E–A|=(

+1)(

–2)2.

所以A的特征值為

1=–1,

2=

3=2.

(–E–A)x=0的基礎(chǔ)解系:p1=(1,0,1)T.

對應(yīng)于

1=–1的特征向量為kp1(0

kR).

(2E–A)x=0的基礎(chǔ)解系:

p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.

對應(yīng)于

2=

3=2的特征向量為k2p2+k3p3

(k2,k3不同時為零).例3.求的特征值和特征向量.

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量三.性質(zhì)性質(zhì)5.設(shè)A~B,則|

E–A|=|

E–B|.反之未必.因此相似矩陣有相同的特征值。性質(zhì)6.設(shè)A=(aij)n

n的特征值為

1,…,

n,則

(1)

1+…+

n=tr(A).(2)

1…

n=|A|.推論.A

可逆

1,…,

n全不為零.性質(zhì)7.|

E–A|=|

E–AT|.

例4.設(shè)

為方陣A的特征值,證明

2為A2的特征值.證明:因為

為A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,

于是(A2)x=A(Ax)

=A(x)

=

(Ax)=

2x,

所以

2為A2的特征值.例5.設(shè)

為方陣A的特征值,證明

(

)=2

2–3

+4.

為

(A)=2A2–3A+4E的特征值.證明:因為

為A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,

于是

(A)x=(2A2–3A+4E)x

=2(A2)x–3Ax

+4x

=2

2x–3x

+4x

=(2

2–3

+4)x

=

(

)x,

所以

(

)為

(A)的特征值.第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A

=

特征值

特征向量

①An

=

n

,

(A)

=

(

)

A

n

=

n

A*

=

1|A|

②

A可逆

A1

=

1

(

)=0,即特征值必為

的根,③若

(A)=O，則

就稱為是A的化零多項式,

反之未必.推論3.

第四章特征值與特征向量§4.2矩陣的特征值與特征向量例7.若A33的特征值為1,1,2,求|A+A1|.

解：A*的特征值為

1|A|,又|A|=2.

例6.若A33的特征值為1,1,2,求tr(A*).解：A+A1的特征值為

+

1.例8.設(shè)

1,

2,…,

m為方陣A的m個不同的特征值,

p1,p2,…,pm為依次對應(yīng)于這些特征值的特征向量,證明p1,p2,…,pm線性無關(guān).證明:若k1p1+k2p2+…+kmpm=0,則由此可得(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.因而k1

=k2

=…=km

=0.

這就證明了p1,p2,…,pm是線性無關(guān)的.

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3矩陣可相似對角化的條件§4.3矩陣可相似對角化的條件定理4.3.An

n

~

對角矩陣

有n個線性無關(guān)的

特征向量.

定理4.4.

1

1,…,

s

1,…,

r

2

A

線性無關(guān)線性無關(guān)

{

1,…,

s,

1,…,

r}線性無關(guān)

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3矩陣可相似對角化的條件定理4.5.推論.An

n有n個不同的特征值A(chǔ)~

.

例1,

例2,

例3

定理4.4.

1

1,…,

s

1,…,

r

2

A

1,

2,…,

m

{

11,…,

1r

,

21,…,

2r

,

…,

m1,…,

mr

}12

m

第四章特征值與特征向量§4.3相似矩陣定理4.6.A相似于對角矩陣k重特征值對應(yīng)k個線性無關(guān)的特征向量.注2:

所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)

=

n

r(

E

A).

=

(

E

A)x=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)注1:一重特征值不需要看(只有一個)，只需要看k重特征值，k

>1.

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3矩陣可相似對角化的條件例9.A=12

31431a5有一個2重特征值.(1)a=?(2)A

是否可以相似對角化?解:|E

A|=

1

231

431a

5=(

2)(

28

+18+3a).

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3矩陣可相似對角化的條件例10.A=20000101xB=2000y0001~(1)x=____,y=____.(2)P=__________滿足P1AP=B.01100011011

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化§4.4實對稱矩陣的相似對角化一.實對稱矩陣的特征值和特征向量定理4.7.實對稱矩陣的特征值均為實數(shù).事實上,

1p1T=(Ap1)T

=p1TAT

=p1TA,定理4.8.設(shè)

1,

2是實對稱矩陣A的兩個不同的特征值,p1,p2是對應(yīng)與它們的特征向量,則p1與p2正交.于是(

1–

2)p1Tp2=0,但是

1

2,故p1Tp2=0.從而

1p1Tp2=p1TAp2

=p1T(

2p2)=

2p1Tp2.

第四章矩陣的特征值和特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化二.實對稱矩陣正交相似于對角矩陣定理4.9.對于任意n階實對稱矩陣A,存在正交矩陣Q,使得

Q–1AQ=

=diag(

1,

2,…,

n),

其中

1,

2,…,

n為A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A

的對應(yīng)于

1,

2,…,

n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.

第四章特征值與特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化例11.把A=正交相似對角化.解:|

E

A|=

2(

3).

所以A的特征值為

1=

2=0,

3=3.(0E

A)x=

的基礎(chǔ)解系:

1=(

1,1,0)T,

2=(1,0,1)T.

(3E

A)x=

的基礎(chǔ)解系:

3=(1,1,1)T.111111111二.實對稱矩陣正交相似對角化的計算

第四章特征值與特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化

1=(

1,1,0)T,

2=(1,0,1)T,

3=(1,1,1)T.

p2=

2

2,

1

1,

1

1

,

=1/2

1/2

1再令q1=

p1||p1||,

=1/2

1/2

0q2=p2

||p2||,

=1/6

1/6

2/6q3=

p3||p3||,

=1/3

1/3

1/3令Q=(q1,q2,q3),令p1=

1,

p3=

3.

則Q

1AQ=QTAQ=.300000000實對稱矩陣正交相似對角化的步驟(

E

A)x=

|

E

A|=0特征值特征向量正交化單位化Q

第四章特征值與特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化例12.把A=正交相似對角化.另解:由于A是3階實對稱矩陣,111111111又因為r(A)=1,所以

1,

2,

3中有兩個為零,一個非零.根據(jù)

1+

2+

3=tr(A)=3,可設(shè)

1=3,

2=

3=0.

1000

2000

3

.故A~(3E

A)x=

的基礎(chǔ)解系:

1=(1,1,1)T.

第四章特征值與特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化(0E

A)x=

的一個非零解為:

2=(

1,1,0)T,(3E

A)x=

的基礎(chǔ)解系:

1=(1,1,1)T.x1+x2+x3=0

3=(

1,

1,2)T.,

1/2

1/2

0q2=,

1/6

1/6

2/6q3=令q1=,

1/3

1/3

1/3Q=(q1,q2,q3),則Q

1AQ=QTAQ=.300000000

設(shè)

3=(x1,x2,x3)T，

x1+x2=0

第四章特征值與特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化例13.AT=A

M3(R),|

E–A|=(

–1)2(

–10),

3=(1,2,2)T,A

3=10

3,求A.(1)由性質(zhì)5.2可知:A

=1

(

)

3;因而

=k1

1+k2

2反之,設(shè)

3,(

1,

2是A的對應(yīng)于1的線性無關(guān)的特征向量).且

=k1

1+k2

2+k3

3

則=0.

,

3

k3||

3||2=k1

1,

3+k2

2,

3+k3

3,

3

=綜上所述,A

=1

(

)

3.故k3=0,是對應(yīng)于1的特征向量.

第四章特征值與特征向量§4.4實對稱矩陣的相似對角化(2)x1+2x22x3=0的基礎(chǔ)解系:將正交向量組

1,

2,

3單位化得正交矩陣

1=(2,1,2)T,

2=(

2,2,1)T,