湖南省婁底市2023-2024學(xué)年下學(xué)期開學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試卷（附答案）

湖南省婁底市2023-2024學(xué)年下學(xué)期開學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試卷溫馨提示：1.答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、考室和座位號；2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；4.本學(xué)科試卷共26個(gè)小題，考試時(shí)量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．?2024的絕對值是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A．3a+2a=5a2 C．2a2bc?3．中國華為公司研發(fā)的麒麟9000芯片是全球第一款采用5nm工藝制造的最先進(jìn)手機(jī)處理器．已知5nm=0.000000005m，則數(shù)據(jù)“0.000000005A．0.5×10?9 B．0.5×10?8 C．4．如圖，小明同學(xué)的座右銘是“細(xì)節(jié)決定成敗”，他將這幾個(gè)字寫在一個(gè)正方體紙盒的每個(gè)面上，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方體中，和“定”相對的字是（）A．細(xì) B．節(jié) C．決 D．成5．下列命題中，屬于真命題的是（

）A．內(nèi)錯(cuò)角相等 B．6是有理數(shù)C．三角形的內(nèi)角和等于180° D．若a=1，則6．如圖，在OA，OB上分別截取OD，OE，使OD=OE，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C，作射線OC，OC就是∠AOB的角平分線．這是因?yàn)檫B結(jié)CD，CE，可得到△COD≌△COE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得∠COD=∠COE．在這個(gè)過程中，得到△COD≌△COE的條件是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS第6題圖第7題圖第6題圖第7題圖7．一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm，AB=8cm，CD=6cmA．5cm B．9.6cm C．10cm8．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會上，參加男子跳高的13名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)绫硭荆煽?米1.501.601.651.701.75人數(shù)12352這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．1.70米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.70米，1.70米9．在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如在1+12+122+123+12A．43 B．98 C．6510．如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)(6,0)，對稱軸為直線x=2．則下列結(jié)論正確的有（①ac<0；②a?b+c<③方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x④拋物線上有兩點(diǎn)Px1,y1和QA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．在函數(shù)y=2?xx?3中，自變量x的取值范圍是12．分解因式：?3m213．如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=?4x的圖象上，連接OP，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則△OPQ的面積為第13題圖第14題圖第13題圖第14題圖14．如圖，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，若∠∠BAC=110°15．中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因，為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校為各班購進(jìn)《三國演義》和《水滸傳》連環(huán)畫若干套，其中每套《三國演義》連環(huán)畫的價(jià)格比每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格貴60元，用4800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍，求每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格.設(shè)每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格為x元，則所列方程是．16．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，若BC=10，則BD=．第16題圖第17題圖第18題圖第16題圖第17題圖第18題圖17．如圖所示，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB=3，BC=5，則圖中陰影部分的面積為．18．如圖，等邊△ABC中，AB=4，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥BC,PE⊥AC，則線段DE的最小值為．三、解答題（本大題共8小題，第19-20題每小題6分，第21-22題每小題8分，第23-24題每小題9分，第25-26題每小題10分）19．計(jì)算：4先化簡再求值：1?1x+2÷x2+2x+1x21．如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面A處發(fā)射．當(dāng)火箭到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，從位于地面D處的雷達(dá)站測得BD的距離是4km，仰角為30°；當(dāng)火箭到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測得仰角為45°，這時(shí)，C點(diǎn)距離雷達(dá)站D有多遠(yuǎn)（結(jié)果保留根號）？22．為提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，長沙縣某教育教學(xué)聯(lián)合體開展了城鄉(xiāng)讀書交流活動(dòng)．該教育教學(xué)聯(lián)合體的某成員校號召全體師生積極捐書．為了解所捐書的種類，校團(tuán)委對部分書籍進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，所捐書籍分為四類：文學(xué)類（記作A類），藝術(shù)類（記作B類），科普類（記作C類），其他類（記作D類）．學(xué)生小華根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖1，圖2所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下面的問題：

(1)木次隨機(jī)抽樣調(diào)查的書籍的本數(shù)是________本；a=________；D類扇形圓心角的度數(shù)等于________°；(2)通過計(jì)算，補(bǔ)全圖①中的條形統(tǒng)計(jì)圖．(3)本次活動(dòng)，該校一共捐書1000本，請你估計(jì)文學(xué)類的書籍約有本．23．某市舉辦“創(chuàng)建全國文明城市”知識競賽，已知購買一件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需220元，購買2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需360元．（1）求每件甲種獎(jiǎng)品和每件乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格分別為多少元？（2）若計(jì)劃購買甲種獎(jiǎng)品和乙種獎(jiǎng)品共30件，總費(fèi)用不多于2300元，那么最少可購買甲種獎(jiǎng)品多少件？24．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)．點(diǎn)F是AD中點(diǎn)．連接AE、CF、(1)求證：四邊形AECF是菱形：(2)連接AC，與EF交于點(diǎn)O，連接OD．若AF=5，sin∠FAC=3525．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．(1)若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，則∠B＝°．(2)如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB＝10，D是BC上的一點(diǎn)，tanB=34(3)如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，E是直徑AB下方半圓上的一點(diǎn)，AB＝10，tan∠ABC=26．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y于點(diǎn)B，已知拋物線y=?x(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是在直線AB上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，當(dāng)點(diǎn)P到直線AB的距離最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若二次函數(shù)y=?x2+bx+c答案與解析一、選擇題題號12345678910選項(xiàng)ACCBCDCDBC二、填空題11．x≤2【詳解】解：依題意可得2?x≥0且x?3≠0，解得，x≤2且x≠3．故函數(shù)y=2?xx?3中自變量x的取值范圍是故x≤2．12．?3【詳解】解：?3=?3=?3m?2故?3m?213．2【詳解】解：△OPQ的面積為12故2．14．40【詳解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°?∠BAC=180°?110°=70°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，同理可得：∠PAC=∠C，∴∠DAB+∠PAC=∠B+∠C=70°，∴∠DAF=∠BAC?∠BAD?∠CAF=110°?70°=40°，故40．15．4800【詳解】根據(jù)題意得：4800x故4800x16．5【詳解】解：連接AD，如圖所示：∵AB為直徑，∴AD⊥BC∵AB=AC，∴BD=CD=1∵BC=10，∴BD=5故517．15【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCF（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），在△AOE與△COF中，∠OAE=∠OCF∴△AOE≌△COF（ASA）∴SS陰影故15218．3【詳解】解：如圖，連接PC，取PC的中點(diǎn)O，連接OE,OD過點(diǎn)O作OH⊥DE于H．∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°,AB=BC=AC=4,∵PD⊥BC,PE⊥AC，∴∠PEC=∠PDC=90°，∵OP=OC，∴OE=OP=OC=OD，∴C，D，P，E四點(diǎn)共圓，∴∠EOD=2∠ECD=120°，∴當(dāng)OE的值最小時(shí)，DE的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC=23，此時(shí)OE的值最小，OE=∵OE=OD,OH⊥DE，∴DH=EH,∠DOH=∠EOH=60°，∴DH=EH=3∴DE=2DH=3，∴DE的最小值為3．故3．三、解答題19．【詳解】原式=2+2?1+2=520．【詳解】解：1?===當(dāng)x=±2,?1時(shí)，分式無意義，所以取x=1，當(dāng)x=1時(shí)，原式=21．【詳解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝ADBD∴AD＝4×32＝2在Rt△ACD中,cos∠CDA＝ADCD∴CD＝2322∴C點(diǎn)距離雷達(dá)站D是2622．【詳解】（1）解：本次抽樣調(diào)查的書有40÷40%A類所占百分比為25100×100D類所占百分比為15100D類扇形圓心角的度數(shù)為360°×15%故100，25，54；（2）隨機(jī)抽樣調(diào)查B類書的數(shù)量為100?25?40?15=20（本），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）估計(jì)文學(xué)類（D類）書籍的本數(shù)為1000×25%23．【詳解】解：（1）設(shè)每件甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格為x元，每件乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格為y元，依題意，得：{x+2y=2202x+3y=360答：每件甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格為60元，每件乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格為80元．（2）設(shè)購買甲種獎(jiǎng)品m件，則購買乙種獎(jiǎng)品(30?m)件，依題意，得：60m+80(30-m)≤2300，解得：m≥5，答：最少可購買甲種獎(jiǎng)品5件．24．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC∵F是AD中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn)∴AF∥EC∴四邊形AECF是平行四邊形∵EF平分∠AEC∴∠AEF=∠FEC∵AF∴∠AFE=∠FEC=∠AEF∴AE=AF∴四邊形AECF是菱形（2）解：∵四邊形AECF是菱形∴AO=OC，EO=FO，∠AOF=90°∵AF=5，sin∠FAC=∴OF=3∴AO=CO=52過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，∵12即1∴OG=12∵GF=∴GD=9∴OD=25．【詳解】（1）解：∵△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，∴①∠C﹣∠A＝90°，此時(shí)∠C＝160°，∠A+∠C＞180°，∴此情況不存在，舍去，②∠C﹣∠B＝90°，∵∠C+∠B=180°-∠A=180°-70°=110解得∠C＝100°，∠B＝10°，故10°；（2）△ABD是準(zhǔn)直角三角形，理由為：∵AB＝10，tanB＝3設(shè)AC=3x，BC=4x，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，在Rt△ABC中，3x解得x=2或-2（舍去）∴AC＝6，BC＝8，∵CD=9∴tan∠CAD＝CDAC∴∠CAD＝∠B，∴∠ADB﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠B＝90°，∴△ABD是準(zhǔn)直角三角形；（3）連接AE，由（2）知，AC＝6，BC＝8，∵△ACE為準(zhǔn)直角三角形，E為直徑AB下方圓上的一點(diǎn)，∴∠CAE＞90°，∠CEA＜90°，∠ECA＜90°，且∠CEA＝∠CBA，①當(dāng)∠CAE＝90°+∠CEA時(shí)，即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB，∵四邊形ACBE的內(nèi)角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB，又∵∠CAB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝8；②當(dāng)∠CAE＝90°+∠ECA時(shí)，即∠CAE＝90°+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，即∠CBE＝∠ECB，∴CE＝BE，∵tan∠ABC=∴tan∠CAB＝43，∴tan∠CEB＝43作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M，設(shè)EH＝3m，則CH＝4m，∴EC＝BE＝EH∵12∴EM＝52∵EC2＝CM2+EM2，且CM＝12∴（5m）2＝42+（52m2令（5m）2＝t，即CE2＝t，則上式可表示為t＝16+（t10）2解得t＝80或t＝20（不合題意舍去），∴CE＝80=4綜上，若△ACE為”準(zhǔn)直角三角形”，CE的長為8或4526．【詳解】（1）解：y=?x+3，當(dāng)y=0，x=3當(dāng)x=0，y=3時(shí)，即將A(3，0)，B(0，?9+3b+c=0c=3，解得：∴拋物線的解析式為：y=?x（2）∵點(diǎn)P是在直線AB上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，AB不動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到直線AB的距離最大值時(shí)，S△PAB最大，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P(x，?x2+2x+3)，N(x，?x+3)，