第13講 余弦定理（五大題型）（解析版）

第13講余弦定理【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識(shí)點(diǎn)二、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；②已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角．知識(shí)點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一．知識(shí)點(diǎn)三、解三角形我們把三角形的三個(gè)角和三條邊叫作三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作解三角形．【典型例題】題型一：已知兩邊及一角解三角形【例1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，已知，，，則等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由余弦定理，將，，，代入得，則有，且，解得.故選：B.【變式1-1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在中角A、B、C所對(duì)邊a、b、c滿足，，，則（

）.A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】C【解析】由得，即，又，，故，（舍），故選：C【變式1-2】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則邊（

）A．1 B．2 C．1或2 D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得：整理得，，解得：或.檢驗(yàn)或滿足題意，故選：C.題型二：已知三邊解三角形【例2】（2024·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，若，則角的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，由余弦定理可得，因?yàn)?，所?故選：C.【變式2-1】（2024·吉林通化·高一?？茧A段練習(xí)）在中，已知，則角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由及余弦定理的推論，得，因?yàn)?，所?故選：B.【變式2-2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在中角所對(duì)邊滿足，則（

）A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】A【解析】依題意，，由余弦定理得，解得.故選：A題型三：利用余弦定理判斷三角形的形狀【例3】（2024·河南鄭州·高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】由，得，化簡(jiǎn)得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，令，則，得，得，所以，所以為直角三角形，故選：A【變式3-1】（2024·廣西欽州·高一浦北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B【變式3-2】（2024·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，，因?yàn)椋裕瑒t有，即，所以，因?yàn)?，所以，整理可得，，即，因?yàn)椋曰?，則或（舍去）.又因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以，則，化簡(jiǎn)整理可得，，所以，又因?yàn)椋詾榈冗吶切?，故選：C.【變式3-3】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A題型四：余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例4】（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）在一個(gè)圓心角為，半徑為1米的扇形鐵板中按如圖方式截出一塊矩形，則該矩形的面積的最大值為平方米.

【答案】【解析】設(shè)，則，連接，于是在中，由余弦定理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以該矩形面積的最大值為平方米.故答案為：.【變式4-1】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）有兩個(gè)斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板，其中一個(gè)為等腰直角三角形，另一個(gè)邊長(zhǎng)為3，4，5，將它們拼成一個(gè)平面四邊形，則不是斜邊的那條對(duì)角線長(zhǎng)是.【答案】/【解析】如圖所示，，，，，，，設(shè)，，，，∴在中，由余弦定理可得，，∴.故答案為：.【變式4-2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖為一角槽示意圖，已知，，并量得mm，mm，mm，則，．（精確到0.1°）

【答案】;67.7°【解析】在中由余弦定理可得：,又因?yàn)樗?,故答案為：;.題型五：利用余弦定理求最值【例5】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）在中，已知，則內(nèi)角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由，得，由余弦定理得，即則，當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以角的最大值為.故選：C【變式5-1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角所對(duì)的邊滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，根據(jù)余弦定理可得，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：D【變式5-2】（2024·江蘇南通·高一校考期中）在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，且，則的最小值為A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】，得，由余弦定理，即，所以的最小值為2．故選A．【變式5-3】（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)?，所?又，所以的范圍是.故選：B【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·四川資陽(yáng)·高一四川省安岳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，所以，且，所以.設(shè)最長(zhǎng)邊對(duì)的角為，則，解得.故選：B2．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則最大邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭氢g角三角形，，且是最大邊，由余弦定理可得，于是可得，且，解得，又，所以邊的取值范圍是.故選：D3．（2024·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得．故選：A4．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】根據(jù)余弦定理知，，所以，則,故三角形為直角三角形，故選：5．（2024·甘肅武威·高一校考階段練習(xí)）黃金三角形有兩種，一種是頂角為的等腰三角形，另一種是頂角為的等腰三角形．其中頂角為的等腰三角形的底與腰的長(zhǎng)度之比為，這種黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形．根據(jù)上述信息，可得（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，，．設(shè)，，則．故選：C

6．（2024·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理的推理得，又因?yàn)?所以.故選：C.7．（2024·云南紅河·高一校考階段練習(xí)）已知一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、，則此三角形中的最大角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】一個(gè)三角形的三邊分別是、、，為最大邊．設(shè)最大角為，由余弦定理可得，，因?yàn)?，故此三角形中的最大角為，故選：B．8．（2024·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，由余弦定理得，，得到，又，所以為直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有，又分別為中點(diǎn)，所以，故，所以，故選：D.二、多選題9．（2024·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）在中，已知，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】BD【解析】由，得，，又，利用余弦定理可得，即，整理得，解得或．故選：BD10．（2024·安徽池州·高一校聯(lián)考期中）有一個(gè)內(nèi)角為的三角形的三邊長(zhǎng)分別是m，，，則實(shí)數(shù)m的值不可能為（

）．A．1 B． C．2 D．【答案】ACD【解析】?jī)?nèi)角為所對(duì)邊為，則在三角形中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)可得：，解得或（舍）．故選：11．（2024·甘肅白銀·高一?？茧A段練習(xí)）在中，若，則角的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】在中，由余弦定理得，即，代入，得，則，因?yàn)?，所以?故選：BC.12．（2024·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為邊上的中線，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，A正確；因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），由選項(xiàng)知，所以，解得，由于，所以，故C正確；對(duì)于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），因?yàn)椋?，又，所以的最大值，D正確.故選：ACD三、填空題13．（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）已知4根細(xì)鋼絲的長(zhǎng)度分別為2，3，4，6，用其中的3根細(xì)鋼絲圍成一個(gè)三角形，則該三角形最小內(nèi)角的余弦值可以是.【答案】或【解析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，只能用長(zhǎng)度分別為2，3，4或3，4，6的3根細(xì)鋼絲圍成三角形，則該三角形最小內(nèi)角的余弦值為或.故答案為：或14．（2024·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，則【答案】【解析】因?yàn)?，由余弦定理可得，解得或（舍?故答案為：.15．（2024·吉林·高一吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)校考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知，，．則邊．【答案】5【解析】在中，，，，則由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），故答案為：516．（2024·甘肅慶陽(yáng)·高一?？计谀┰谥?，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若，，，則.【答案】/【解析】由余弦定理得，即，解得：或，因?yàn)?，所?故答案為：.四、解答題17．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）的三邊之比為．求這個(gè)三角形的最大角．【解析】的三邊之比為，不妨設(shè)的三邊長(zhǎng)為，由于大邊對(duì)大角，設(shè)長(zhǎng)度為的邊所對(duì)角為最大角，設(shè)最大角為，則，因?yàn)?，所以，故這個(gè)三角形的最大角為18．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若，，是的中點(diǎn)，求.【解析】（1）根據(jù)余弦定理可得，，即，，所以；（2）由（1）可知，，所以，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn),所以,所以.19．（2024·全國(guó)·高一課堂例題）已知的三邊分別為，和，試求最大內(nèi)角的度數(shù)．【解析】根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角的原理可知，是的最大內(nèi)角．由余弦定理得．因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以．因此的最大內(nèi)角為．20．（2024·全國(guó)·高一課堂例題）在中，已知，，，求c和．【解析】由余弦定理得＝4，所以．再由余弦定理可得．因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以．21．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在長(zhǎng)江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流．一渡船從長(zhǎng)江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)北岸的B碼頭（如圖）．設(shè)為正北方向，已知B碼頭在