第五章 向量空間

PAGE1第五章向量空間計劃課時:24學(xué)時(P221-257)§5.1向量空間的定義(4學(xué)時)教學(xué)目的及要求：掌握向量空間的定義及簡單性質(zhì)教學(xué)重點、難點：向量空間的定義本節(jié)內(nèi)容可分為下面三個問題講授：一．先給出幾個例子(P221-222例1,例2,例3)，從中抽象出它們的共性,就可得到向量空間的概念.二．向量空間的定義(P221定義1)注意：1.通過這個定義讓學(xué)生逐步學(xué)會從具體例子抽象出一般概念的方法。2.讓學(xué)生體會公理化定義的特點。三．再通過幾個例子P223-224)，進一步加深學(xué)生對向量空間的理解.四．向量空間的一些簡單性質(zhì)(P224-225命題5.1.1-5.1.4)作業(yè)：P2531，2，3，4.§5.2向量的線性相關(guān)性(6學(xué)時)教學(xué)目的及要求：理解線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、向量組的等價、極大無關(guān)組、向量組的秩的定義及相關(guān)理論教學(xué)重點、難點：線性相關(guān),線性無關(guān)、極大無關(guān)組的定義；線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定，極大無關(guān)組的求法。本節(jié)內(nèi)容可分為下面七個問題講授：一．線性組合,線性表示(P225定義1)及舉例(P225-226例1--例4)二．線性相關(guān),線性無關(guān)(P226定義2)及舉例(P226-229例5--例9)注意：1.線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義是線性代數(shù)部分最重要的概念之一，也是本節(jié)的一個難點。2.等式中的。3.V中同一組向量可能會因為數(shù)域F的改變，線性相關(guān)性也發(fā)生改變。三．線性組合與線性相關(guān)的幾個結(jié)果(P228-229定理5.2.1-5.2.3)四．向量組的線性表示(P229定義3)及性質(zhì)(P231推論5.2.5,定理5.2.6,推論5.2.7)注意：替換定理“定理5.2.6”及其推論5.2.7在后面多處地方被用到。定理5.2.6的證明是本節(jié)的一個難點。五．向量組的等價及性質(zhì)(P232-233推論5.28,定理5.2.9)六．極大無關(guān)組(P233定義4)、性質(zhì)(P233定理5.2.10,推論5.2.11,推論5.2.12)及求法(P236例15)注意：1.極大無關(guān)組的概念是本章的重要概念之一。零向量組沒有極大無關(guān)組。2.一般來說，一個向量組的極大無關(guān)組不唯一。但它所含向量的個數(shù)卻唯一。七．向量組的秩(P234定義5及定理5.2.14).定理5.2.14設(shè)向量組線性無關(guān)，A是一個矩陣，令，則。注意：1.這個定理是本書的最重要的定理之一。在后面多處地方用到此定理的結(jié)論。2.當已知一組線性無關(guān)的向量時,這個定理告訴我們，每給一個n階可逆矩陣A，就可得到n個線性無關(guān)的向量。因此定理5.2.14告訴了我們構(gòu)造線性無關(guān)的向量組的方法。作業(yè)：P2545，6，7，8，9，10（1），11，13，15?！?.3基、維數(shù)、坐標(4學(xué)時)教學(xué)目的及要求：理解基、維數(shù)、坐標、過渡矩陣的定義及相關(guān)性質(zhì)教學(xué)重點、難點：基、維數(shù)、坐標的定義及性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容可分為下面四個問題講授：一.基的定義(P237定義1)及舉例(P237例1,例2).注意：基與極大無關(guān)組這兩個概念十分相似。所不同的是，它們所依賴的對象不同。即，基針對的是“向量空間這個集合”，而極大無關(guān)組針對的是“有限個向量構(gòu)成的向量組這個集合”。例子：1.的標準基{}。2.的一個基，其中是第（i,j）位置元素為1其余位置元素為0的矩陣。二.維數(shù)的定義(P237定義2)及其結(jié)論(P237定理5.3.3,推論5.3.2,定理5.3.3)注意：“定理5.3.3有限維向量空間的任意一組線性無關(guān)的向量都可擴充為此向量空間的一個基。”是本節(jié)的重點之一。三.有限維向量空間中向量的坐標(P238定義3)、向量坐標的求法(P238例4-例6)及其過渡矩陣的定義、性質(zhì).注意：一般來說,同一個向量關(guān)于不同基的坐標一般是不同的,但有一定的關(guān)系(P240定理5.3.5)四.求過渡矩陣、向量坐標的幾個例子(P240例7-例9).作業(yè)：P25517，18，19，20，22，23，24，25.§5.4子空間(4學(xué)時)教學(xué)目的及要求：理解子空間、生成子空間、子空間的和、子空間的直和的定義，掌握維數(shù)公式及直和的判定教學(xué)重點、難點：子空間直和的概念及維數(shù)公式本節(jié)內(nèi)容可分為下面六個問題講授：子空間的定義(P242定義1及定理5.4.1)及舉例(P242例1-例4).生成子空間及其基(P242定理5.4.2)子空間的交與和(P243定義2)注意：向量空間V的兩個子空間為,則,仍是V的子空間(P243定理5.4.3),但是子空間的并未必是V的子空間.是V的子空間的充要條件是包含或包含(P245定理5.4.4).維數(shù)公式(P245定理5.4.5)設(shè)是向量空間V的兩個有限維子空間,那么dim()+dim()=dim+dim注意:1.維數(shù)公式(P245定理5.4.5)的證明是本節(jié)的難點。2.維數(shù)公式中必須是向量空間V的有限維子空間.子空間的直和(P247定義3)及幾個充要條件(P247定理5.4.6-定理5.4.9).多個子空間的直和(P249定義4).作業(yè)：P25526，27，28，29，30．§5.5向量空間的同構(gòu)(2學(xué)時)教學(xué)目的及要求：理解向量空間同構(gòu)的定義及性質(zhì)，掌握有限維向量空間同構(gòu)的判定教學(xué)重點、難點：向量空間同構(gòu)的定義，有限維向量空間同構(gòu)的判定本節(jié)內(nèi)容可分為下面四個問題講授：一．映射、滿射、單射、雙射的定義(P250-251定義1-定義4).及例子（P250例3-例8）．二．同構(gòu)映射，向量空間的同構(gòu)（P251定義5）．注意：1.同構(gòu)概念是高等代數(shù)的基本概念之一，也是本節(jié)的難點。2.“任何一個數(shù)域上的維向量空間都與同構(gòu)（P251定理5.5.1）．”，這樣從理論上就把研究一個抽象的有限維向量空間的問題轉(zhuǎn)化為研究一個具體的向量空間的問題。三．同構(gòu)映射的性質(zhì)（P252定理5.5.2）．四．數(shù)域上兩個有限維向量空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù)（P253定理5.5.3）．作業(yè)：P25631，32．習(xí)題課（４學(xué)時）例１．習(xí)題五的第３題（P254）例２．習(xí)題五的第13題例３．證明：如果是向量空間中三個互素多項式，但是其中任意兩個卻不互素，那么它們線性相關(guān)．例４．習(xí)題五的第14題例５．習(xí)題五的第15題例６．設(shè)是數(shù)域上的全體階對稱矩陣組成的向量空間，求的基和維數(shù)．例７．習(xí)題五的第22題例８．習(xí)題五的第24題例９．