中考數學一輪復習考點（精講精練）復習專題35 幾何圖形翻折與旋轉（原卷版）

專題35幾何最值之將軍飲馬問題專題35幾何最值之將軍飲馬問題知識導航知識導航方法技巧方法技巧“將軍飲馬”問題主要利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中考和競賽中經常出現，而且大多以壓軸題的形式出現．【抽象模型】如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最小？【模型解析】作點A關于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）題型精講題型精講題型一：兩定一動模型模型作法結論當兩定點A、B在直線l異側時，在直線l上找一點P，使PA＋PB最?。B接AB交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P，使得PA＋PB最?。鼽cB關于直線l的對稱點B'，連接AB'交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB'當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P，使得SKIPIF1<0最大．連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．SKIPIF1<0的最大值為AB當兩定點A、B在直線l異側時，在直線l上找一點P，使得SKIPIF1<0最大．作點B關于直線I的對稱點B'，連接AB'并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．SKIPIF1<0的最大值為AB'當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P，使得SKIPIF1<0最小．連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點P，點P即為所求作的點．SKIPIF1<0的最小值為0【例1】如圖，點C的坐標為（3，y），當△ABC的周長最短時，求y的值．【例2】如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點，且DM＝3，N是AC上的一動點，求|DN－MN|的最小值與最大值．【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經過點三點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）SKIPIF1<0是拋物線對稱軸上的一點，求滿足SKIPIF1<0的值為最小的點SKIPIF1<0坐標（請在圖1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點SKIPIF1<0，使四邊形SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為對角線且面積為SKIPIF1<0的平行四邊形？若存在，請求出點SKIPIF1<0坐標，若不存在請說明理由.（請在圖2中探索）題型二：一定兩動模型模型作法結論點P在∠AOB內部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最小．分別作點P關于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″點P在∠AOB內部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。鼽cP關于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點C、點D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C【例4】如圖，點P是∠AOB內任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．【例5】如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【例6】如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．（1）猜想DG與CF的數量關系，并證明你的結論；（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．【例7】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；（3）試求出AM+AN的最小值．題型三：兩定兩動模型模型作法結論點P、Q在∠AOB內部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得四邊形PQDC周長最?。甋KIPIF1<0分別作點P、Q關于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長的最小值為PQ＋P′Q′【例8】如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的兩個動點，且SKIPIF1<0，若想使得四邊形SKIPIF1<0的周長最小，則SKIPIF1<0的長度應為__________.【例9】如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=SKIPIF1<0，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．題型四：兩定點一定長模型作法結論BBAld如圖，在直線l上找M、N兩點(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.BBAlMNA′A"將A向右平移d個單位到A′，作A′關于l的對稱點A"，連接A"B與直線l交于點N，將點N向左平移d個單位即為M，點M，N即為所求.AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋dAABl2l1如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，在l1、l2分別找M、N兩點，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最?。瓵ABl2l1A′NM將A向下平移d個單位到A，連接A′B交直線l2于點N，過點N作MN⊥l1，連接AM.點M、N即為所求．AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d.【例10】在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側，EF＝2.當四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標．【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋，橋址應如何選擇，才使A與B之間的距離最短？AABl2l1提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為A．3 B．4 C． D．2．如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是A． B．2 C． D．43．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點E在CD邊上，且DE=2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．9 D．SKIPIF1<04．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值_____．5．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標為______．6．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數為多少？7．在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點．（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝1，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．8．如圖所示拋物線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的兩個動點，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的上方，求四邊形SKIPIF1<0的周長的最小值；（3）點SKIPIF1<0為拋物線上一點，連接SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0把四邊形SKIPIF1<0的面積分為3∶5兩部分，求點SKIPIF1<0的坐標.9．如圖，在平面直角坐標系中，矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，反比例函數SKIPIF1<0的圖象經過點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求反比例函數的解析式；（2）點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一動點，當SKIPIF1<0