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文檔簡介
專題08三角形中的倍長中線模型【模型1】如圖,已知AD是SKIPIF1<0的邊BC的中線,延長AD至點E,使得AD=DE,連接BE,結合BD=CD,SKIPIF1<0,可證得SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0?!灸P?】如圖,已知點D是SKIPIF1<0的邊BC上的中點,點E是邊AC上的一點,連接ED并延長ED至點P,使得ED=DP。結合BD=CD,SKIPIF1<0,可證得SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0?!纠?】如圖,在△ABC中,AB=4,AC=2,點D為BC的中點,則AD的長可能是()A.1 B.2 C.3 D.4【例2】如圖,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點,則SKIPIF1<0______.【例3】(1)如圖1,AD是△ABC的中線,延長AD至點E,使ED=AD,連接CE.①證明△ABD≌△ECD;②若AB=5,AC=3,設AD=x,可得x的取值范圍是_______;(2)如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CF>EF.一、單選題1.如圖,已知AD是△ABC中BC邊上的中線,AB=5,AC=3,則AD的取值范圍是()A.2<AD<8 B.1<AD<4 C.2<AD<5 D.4≤AD≤82.在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,中線SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0邊的取值范圍(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.如圖,在四邊形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,則SKIPIF1<0的長為(
).A.2 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.34.如圖,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點,點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0延長線上一點,SKIPIF1<0交射線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.以上都有可能5.在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的度數(shù)是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.如圖,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是中線,SKIPIF1<0是角平分線,點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上任意一點(不與SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合),連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.給出以下結論:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.其中一定正確的有(
)A.SKIPIF1<0個 B.SKIPIF1<0個 C.SKIPIF1<0個 D.SKIPIF1<0個二、填空題7.如圖,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍是________.8.在△ABC中,AB=AC,點D是△ABC內(nèi)一點,點E是CD的中點,連接AE,作EF⊥AE,若點F在BD的垂直平分線上,∠BAC=α,則∠BFD=_________.(用α含的式子表示)9.如圖,平行四邊形ABCD,點F是BC上的一點,連接AF,∠FAD=60°,AE平分∠FAD,交CD于點E,且點E是CD的中點,連接EF,已知AD=5,CF=3,則EF=__.10.在△ABC中,AD是BC邊上的中線,若AB=3cm,AC=5cm,則AD的取值范圍是_______.11.如圖,在正方形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0邊上的點,將四邊形SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折,使得點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別落在點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0處,且點SKIPIF1<0恰好為線段SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0________.12.如圖,SKIPIF1<0為AD上的中點,則BE=______.三、解答題13.如圖,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中SKIPIF1<0邊上的中線SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范圍.14.如圖,已知SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,且SKIPIF1<0,求證:SKIPIF1<0.15.如圖,O為四邊形ABCD內(nèi)一點,E為AB的中點,OA=OD,OB=OC,∠AOB+∠COD=SKIPIF1<0.(1)若∠BOE=∠BAO,AB=SKIPIF1<0,求OB的長;(2)用等式表示線段OE和CD之間的關系,并證明.16.某數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動,請你來加入.【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1,延長△ABC的邊BC到D,使DC=BC,過D作DE∥AB交AC延長線于點E,求證:△ABC≌△EDC.【理解與應用】如圖2,已知在△ABC中,點E在邊BC上且∠CAE=∠B,點E是CD的中點,若AD平分∠BAE.(1)求證:AC=BD;(2)若BD=3,AD=5,AE=x,求x的取值范圍.17.如圖1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC邊上的中線BD的取值范圍.(1)小聰同學是這樣思考的:延長BD至E,使DE=BD,連接CE,可證得△CED≌△ABD.①請證明△CED≌△ABD;②中線BD的取值范圍是.(2)問題拓展:如圖2,在△ABC中,點D是AC的中點,分別以AB,BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=∠90°,連接MN.請寫出BD與MN的數(shù)量關系,并說明理由.18.(1)如圖1,已知SKIPIF1<0中,AD是中線,求證:SKIPIF1<0;(2)如圖2,在SKIPIF1<0中,D,E是BC的三等分點,求證:SKIPIF1<0;(3)如圖3,在SKIPIF1<0中,D,E在邊BC上,且SKIPIF1<0.求證:SKIPIF1<0.19.數(shù)學興趣小組在活動時,老師提出了這樣一個問題:如圖1,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,D是BC的中點,求BC邊上的中線AD的取值范圍.【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:(1)如圖1,延長AD到E點,使SKIPIF1<0,連接BE.根據(jù)______可以判定SKIPIF1<0______,得出SKIPIF1<0______.這樣就能把線段AB、AC、SKIPIF1<0集中在SKIPIF1<0中.利用三角形三邊的關系,即可得出中線AD的取值范圍是.【方法感悟】當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時,可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍,構造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中,這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法.【問題解決】(2)如圖2,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,D是BC邊的中點,SKIPIF1<0,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:SKIPIF1<0.【問題拓展】(3)如圖3,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,AD是SKIPIF1<0的中線,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.直接寫出AE的長=______.20.在△ABM中,AM⊥BM,垂足為M,AM=BM,點D是線段AM上一動點.(1)如圖1,點C是BM延長線上一點,MD=MC,連接AC,若BD=17,求AC的長;(2)如圖2,在(1)的條件下,點E是△ABM外一點,EC=AC,連接ED并延長交BC于點F,且點F是線段BC的中點,求證:∠BDF=∠CEF.(3)如圖3,當E在BD的延長上,且AE⊥BE,AE=EG時,請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關系.(不用證明)21.已知:等腰SKIPIF1<0和等腰SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)如圖1,延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的度數(shù)為;(2)如圖2,連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,延長SKIPIF1<0交SKIPIF
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