與角度、面積等相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角形全等、軸對(duì)稱(chēng)及幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題思維訓(xùn)練

專(zhuān)題04與角度、面積等相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

角度、面積等?角度間數(shù)量關(guān)系探討

動(dòng)態(tài)問(wèn)題?面積關(guān)系探討

【典例解析】

【例1】(2020?四川遂寧期末)R34BC中，NC=90。，點(diǎn)E分別是WABC邊4C、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是

一動(dòng)點(diǎn).令∕PDA=∕1,/PEB=N2,/DPE=Na.

(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖(1)所示，且為=60。，則∕1+N2=；

(2)若點(diǎn)P在線段48上運(yùn)動(dòng)，如圖(2)所示，則為、Zls/2之間的關(guān)系為；

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖(3)所示，則Na、Zk/2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由;

(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AABC形外，如圖(4)所示，則Na、Zl>N2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由.

BPAB

圖3圖4

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：(1)VZl+ZCDP^180o,

ΛZCDP=180o-Z1,

同理：NCEP=I80°-∕2,

由NCDP+NDPE+NCEP+NC=360。,ZC=90o,

Λl80o-Zl+a+l80o-Z2+90o=360o,

ΛZl+Z2=90o+tt=90o+60o=150o,

故答案為：150；

(2)VZl+ZCDP=180o,

ΛZCDP=I80o-Zl,

同理：ZCEP=180o-Z2,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，ZCDP+ZDPE+ZCEP+ZC=360o,

?/ZC=90o,

Λ180o-Zl+6t+180o-Z2+90o=360o,

ΛZ1+Z2=90O÷C(,

故答案為：Zl÷Z2=90o+a;

(3)Zl=90o+Z2+Za.理由如下：如圖3,

設(shè)/“與的交點(diǎn)為凡

VZ2+Za=ZDFE,NDFE+NC=N1,

ΛZl=ZC+Z2+Za=90o+Z2+Za.

(4)Z2=90o+Zl-Zα,理由如下：如圖4,

設(shè)PE與AC的交點(diǎn)為G,

VZPGD=ZEGCf

：?Za+180。-Z1=ZC+180o-Z2,

ΛZ2=90o+Zl-Za.

故答案為N2=90°+Nl-Na.

【變式?-?]（2020.福建龍巖期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)。按如圖所示的方式疊放

在一起（其中NA=60。，N￡）=30。，NE=NB=45。）,固定三角板AC￡>,另一三角板BCE的CE邊

從C4邊開(kāi)始繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為0.

（1）當(dāng)α<90。時(shí);

①若ZDCE=30°,則ZACB的度數(shù)為；

②若/ACB=130。，求NDCE的度數(shù)；

（2）由（1）猜想NAC8與NOeE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)0。<。<180°時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出α所有可能的值,

并指出哪兩邊互相垂直（不必說(shuō)明理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）①150°；②50°；（2）∕ACB+NQCE=180°；（3）當(dāng)a=30°時(shí)，ADlCE,當(dāng)α=90°時(shí)，ACLCE,

當(dāng)a=75。時(shí)，ADLBE,當(dāng)a=45。時(shí),CDLBE.

[解析】解：⑴①】NEeB=90。,ZDCE=30。,

：.ZDCβ=90o-30o=60o,

二ZACB=ZACD+ZDCB=90o+60°=150°,

故答案是150°；

②?：ZACB=I30o,ZACZ>90o,

.?.ZDCθ=130o-90o=40o,

NoCE=90°-40°=50°;

(2)ZACβ+ZDCf≈180o,理由如下:

①當(dāng)OWa<90°時(shí)，如圖，

D

?.'ZACB=ZACD+ZDCB=90°+ZDCB,

：.ZACB+ZDCE=90°+ZDCB+ZDCE=90o+900=180o；

②當(dāng)。二90。時(shí)，ZACB÷ZDCE=180o,成立；

③當(dāng)90°<σ<360°時(shí)，如圖，

D

ZACB+ZDCE=360o-90o-90°=180°.

綜上所述：ZACB+ZDCE=180°；

(3)存在，理由如下：

①若CE時(shí)，如圖

②若AC，CE時(shí)，如圖

D

貝I]α=ZACE=90o,

③若ADJ_BE時(shí)，如圖

則NEMC=900+30°=120°,

VZE=45o,

，ZECD=180o-45o-120°=15°,

：.σ=90o-15o=75o,

④若CQ_LBE時(shí)，如圖

貝I]AC〃8E,

α=ZE=450.

綜上所述：當(dāng)。=30。時(shí)，ADVCE,當(dāng)α=90。時(shí)，ACVCE,當(dāng)。=75。時(shí)，ADlBE,當(dāng)α=45。時(shí)，CDLBE.

【變式1-2]（2019?上海市市期中）結(jié)合“愛(ài)市西，愛(ài)生活，會(huì)創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探

測(cè)燈”，增加美觀的同時(shí)也為行人的夜間行路帶去了方便.他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈A射

線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈3射線從WJ開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至6。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停

交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即

PQHMN,且NBAM:NB4N=2:1.

（1）填空：ZABP=°；

（2）若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)60秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈8射線到達(dá)8。之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的

光束互相平行？

（3）如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C,過(guò)C作NAC。交PQ

于點(diǎn)。，且ZACD=120°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄緼BAC與/BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，

請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（D120；（2）（3）見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）'：ZBAM+ZBAN^0°,ZBAM：/8AN=2:1

ΛZBAM=120o,NBAN=60°

'：PQ//MN

二N48P=∕8AΛf=I20°

故答案為：120；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為r秒，

燈B射線從8P開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ所需時(shí)間為180秒，

燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB所需時(shí)間為120秒，

燈Λ射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN所需時(shí)間為90秒

則f的取值范圍為：0<r<120

①當(dāng)0<z≤6（）時(shí)，

'：PQ//MN

.?.ZPBD=ZBDA

?uAC∕∕DB

：,ZCAM=ZBDA

：.ZCAM=ZPBD

/.2∕=60÷r

解得/=60

此時(shí)，ZCAM=ZPBD=ZPBA=120°

即兩燈的光束重合，舍去；

②當(dāng)60V∕≤90時(shí)，如圖所示，此時(shí)燈4射線未從AN回轉(zhuǎn)

解得/=60(舍去)

③當(dāng)90<∕≤120時(shí),如圖所示,

此時(shí)燈A射線旋轉(zhuǎn)至4M并已開(kāi)始回轉(zhuǎn)

可得60+r+2"80=180

解得Z=Io0,

綜上，4燈轉(zhuǎn)動(dòng)100秒，兩燈的光束互相平行;

(3)NBAC=2NBCD,理由如下：

設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為/秒，

CAN=180-2/

4BAC=/BAN-∕CAN=2t-?20

又；/ABC=120T

ΛZBCA=I80-f

??ZACD=UOo

：.ZBCD^ZACD-ZBCA=r-60

ΛZBAC：NBcD=2:1.

即NBAC=2N5CD

【例2】(2020.湖北廣水期末)如圖，以直角三角形AoC的直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)C,04所在直線為軸

和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A(O,a),C(?,0)滿足Ja—6+∣b-8∣=0.

(l)a=______:b=i直角三角形AOC的面積為.

(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，

。點(diǎn)從。點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)O點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束?AC的中點(diǎn)

。的坐標(biāo)是(4,3),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.問(wèn)：是否存在這樣的3使得AODP與AOOQ的面積相等？若存

在，請(qǐng)求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下，若NooC=/OC。，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，并且)，軸平分NGOO.點(diǎn)E是線段

OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接接CE交。。于點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究NGoO,NOHC,ZACE

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180).

【解析】解：(1)解：(1)V√a≡6+∣b-8∣=0,

?二α-6=0,?-8=0,

???4=6,Z?=8?

/.A(0,6),C(8,0)；

/.SΔABC=6×8÷2=24,

故答案為(0,6),(8,0)；6：8；24.

(2)*：S△OD"2I,SΔODF=12-3/

由2ul2-3f得：/=2.4

.?.當(dāng)Z=2.4時(shí)，?ODP與^ODQ的面積相等.

(3)2ZGOΛ+ZACE=ZOHCf理由如下：

丁ZAOC=ZDOC+ZAOD=90o

???ZOAC+ZACO=Wo

?：ZDOC=ZDCO

：.ZOAC=ZAOD

Ty軸平分NGoQ

，ZGOA=ZAOD

：.ZGOA=ZOAC

???OG//AC,

如圖，過(guò)點(diǎn)〃作HF〃OG交X軸于R

.?HF∕∕AC

：,/FHC=NACE

同理//TZO=NGOO,

TOG//FH,

：?ZGOD=ZFHOf

：.ZGOinZACE=ZFHO+ZFHC

即ZGOD+ZACE=ZOHC,

：.2ZGOA+ZACE=ZOHC.

：.ZGOD+ZACE=ZOHC.

【變式2-1］（2020?山東日照期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）,點(diǎn)8

的坐標(biāo)是（〃，b）,且（α-2）2+J=O點(diǎn)C在X軸的負(fù)半軸上，且AC=5.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)8、。的坐標(biāo)；

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使SAPo8=gSAABC若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）把點(diǎn)C往上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H,作射線CH,連接8”，點(diǎn)M在射線CH上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C、〃重

合），試探究∕HBM,ZBMA,NM4C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）由（a—2）?+仄萬(wàn)=0,得：a=2,b=3,

：.B（2,3）,

；點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）,AC=5,

：.C（-2,0）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在X軸上時(shí)，設(shè)P為（x,0）

2?21

SxPOB=-SiMic,即：—×∣x∣×3=-×-×5×3,

321132

解得：尸土

3

**?點(diǎn)P（—,0）或（---，0）；

33

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)P為（0,?）

2?21

SNOB=—SAABC,即：-×∣y?×2=—×-×5×3

321132

解得：.V=±5,

1點(diǎn)P（0,5）或（0,-5）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（W,0）或,0）或（0,5）或（0,?5）；

33

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段S上時(shí)，ZBMA=ZMAC+ZHBM

理由：過(guò)點(diǎn)M作MN〃BH

???/BMN=ZHBM

'.B"兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等

J.BH//AC

.?MN∕∕AC

：./AMN=NMAC

，∕AMN+NBMN=ZMAC+/HBM

即ZBMA=ZMAC+NHBM；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段C7/延長(zhǎng)線上時(shí)，/BMA=NMAC—NHBM

理由：過(guò)點(diǎn)M作MN〃BH

Λ/BMN=ZHBM

?.?8、〃兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等

.?BH∕∕AC

：.MN//AC

：,NAMN=NMAC

，ZAMN-/BMN=ZMAC-/HBM

即ZBMA=ZMAC-ZHBM.

【習(xí)題專(zhuān)練】

1.(2020?長(zhǎng)沙市月考)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B(0,-4)是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，將點(diǎn)B

向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)A(6,-4).

(1)如圖1,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A4方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，

以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為1秒.

①用含/的式子表示P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo).

②是否存在，使ABPQ的面積為4/+12?若存在，求出f,并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P、。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理

由.

(2)如圖2,點(diǎn)。為線段OA(端點(diǎn)除外)上某一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作直線EF交X軸正

半軸于E,交直線AB于F,NEOD,ZAFD的平分線相交于點(diǎn)N,若NoDF=a,請(qǐng)用含ɑ的式子表示/ONF

的大小，并說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：(1)①；將點(diǎn)8(0,-4)向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)A(6,-4).

二曲〃X軸，

Y點(diǎn)8(0,-4),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA方向運(yùn)動(dòng),

：.P(2/,-4),

Y動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，

：.Q(0,3r)；

②(0,3r),B(0,-4),

.?.8Q=3r+4,BP=2t,

?SΔBPQ^?BP?BQ^?×2r×(3f+4)=31+4/,

:?3產(chǎn)+4/=47+12,

，產(chǎn)=4,

解得f=2,f=-2舍去，

：.P(4,-4),Q(0,6).

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)N作MW〃工軸，

.?.NΛ/〃48〃X軸，

，NMNO=NNOE,

'：ON是NEOO的角平分線，

：.乙MNO=NNoE=—ZEOD,

2

乂；MN〃AB

.'.ZMNF=ZNFA,

?/FN是/A的角平分線，

，NMNF=ZNFA=-ZAFI),

2

?'AB∕∕x^,

INOED=NAFD,

VZODF=ZEOD+ZAFD=a,

：./0NF=NMNO+4MNF=L(ZEOD+ZAFD)=L.

22

2.(2019?湖北武昌期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，B(4,-2),C(6,-4),BE∕∕x軸，點(diǎn)A從原點(diǎn)。出發(fā)

在X軸上以1單位/秒的速度向X軸的正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒./。48=加°,8。平分43。.(提

示：ΔABC中，NC=90°,若AC=BC,則NA=∕B=45°,反之亦然）

(1)當(dāng)f=4時(shí)，m=；

(2)當(dāng)AABC的面積為3時(shí)，求A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間”

(3)當(dāng)f>0時(shí)，求NoBE的度數(shù)(用含機(jī)的式子表示，且不含絕對(duì)值).

【答案】(1)90°；(2)(3)見(jiàn)解析.

【解析】解：(1)當(dāng)，=4時(shí)，0A=4,

(4,0),

VB(4,-2),

.".ABLOA,

：.ZOAB=90o,即∕n=90.

故答案為90.

(2)延長(zhǎng)CB交X軸于點(diǎn)K,過(guò)C作CTLBE于T,連接KT,

S&LCT=SALB什SABCT

：.K(2,0),

設(shè)A0),

又SAABC=StiAKLSAAKB=3

???∣"-2∣X4=g?∣n-2∣×2+3

解得:〃=5或〃=-1(舍去)

???45秒時(shí)，Z?A3C的面積為3.

(3)當(dāng)0<f<2時(shí),

VZABC=(180o-mo)+(180o-45o)=315-，〃°,BD平分/ABC,

315o-fflo

ZCBD=~ZABC^

22

180o-wo+1350405o-m0

NDBE=ZCBD+ZCBE-----------------------+45°=---------------

當(dāng)t=2時(shí)?，∕Z)8E=45°或135°

當(dāng)2V∕≤6時(shí),

`:OA//BE,

二ZABE=ZOAB=m°,

：.ZABC=45o+mo,

平分/A8C,

45o+mo

二NABD=-------------

2

45o+momo-45o

二NDBE=ZABE-ZABD^mo---------------

22

當(dāng)f>6時(shí),

3.（2019?北京市期末）如圖，在直角三角形ABC中，NAcB=90°,NBAC=45°.點(diǎn)尸是直線AC上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A，C重合），連接BP，在線段BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)O,使得N5PC=NZ）PC.過(guò)

點(diǎn)B作BELDP，交直線DP于點(diǎn)E.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，若NBPC=60°，則NABE=；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并判斷石與WP有怎樣的數(shù)量關(guān)

系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并證明；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出NME與2的數(shù)量關(guān)系為.

【答案】（1）15°；（2）（3）見(jiàn)解案

【解析】（1）解：YN8PeNDP俁60°,ZACB-QOo

：.ZACD=90o,/￡>=30°

??BELDP

：.Z￡=90°

.?.ZffiD=60o

?"ZBAC=45c,

：.NA8C=45°

：.N4B樣15°.

(2)ZABE=ZABP

證明：9：BELDP

：.∕EBD+ND=90°

又NoPC+/￡>=90°

???ZEBD=ZDPC

?.?ZBPC=ZDPC

：.ZEBD=ZBPC

?.?ZBAC=45o

.?.NA8P=45°-ZBPC1NA8C=45°

VZABE=ZABC-ZEBD=45o-ZEBD

：.ΛABE=ZABP,

(3)由(1)(2)可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC與CA的延長(zhǎng)線上時(shí)NA8E=NABP,

當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

設(shè)ND=NQBP=X

???∕BPE=2x,

INPBE=90°-Ix

VZACB=90o,NBAC=45°

???ZABC=45o

.,.ZABE=ZABC+ZCBP+ZPBE=135°-x,ZABP=45o+x

：.ZABE+ZABP=ISOa

當(dāng)點(diǎn)P在線段AC與CA的延長(zhǎng)線上時(shí)∕A8E=∕A8R當(dāng)點(diǎn)P在4C的延長(zhǎng)線上時(shí)∕A8E+∕48P=180°.

4.(2019?湖北黃石期中)如圖：已知在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b)點(diǎn)、B(α,0),且滿足∣2α-例+(?-4)

2=0.

(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)C(0,6),點(diǎn)尸從3點(diǎn)出發(fā)沿X軸負(fù)方向以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從C點(diǎn)出發(fā)，

沿y軸負(fù)方向以2個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，仁3時(shí)，AQ交X軸于M,作