與角度、面積等相關的動態(tài)問題（解析版）-八年級數(shù)學復習三角形全等、軸對稱及幾何動態(tài)問題思維訓練

專題04與角度、面積等相關的動態(tài)問題

角度、面積等?角度間數(shù)量關系探討

動態(tài)問題?面積關系探討

【典例解析】

【例1】(2020?四川遂寧期末)R34BC中，NC=90。，點E分別是WABC邊4C、BC上的點，點P是

一動點.令∕PDA=∕1,/PEB=N2,/DPE=Na.

(1)若點P在線段AB上，如圖(1)所示，且為=60。，則∕1+N2=；

(2)若點P在線段48上運動，如圖(2)所示，則為、Zls/2之間的關系為；

(3)若點P運動到邊AB的延長線上，如圖(3)所示，則Na、Zk/2之間有何關系？猜想并說明理由;

(4)若點P運動到AABC形外，如圖(4)所示，則Na、Zl>N2之間有何關系？猜想并說明理由.

BPAB

圖3圖4

【答案】見解析.

【解析】解：(1)VZl+ZCDP^180o,

ΛZCDP=180o-Z1,

同理：NCEP=I80°-∕2,

由NCDP+NDPE+NCEP+NC=360。,ZC=90o,

Λl80o-Zl+a+l80o-Z2+90o=360o,

ΛZl+Z2=90o+tt=90o+60o=150o,

故答案為：150；

(2)VZl+ZCDP=180o,

ΛZCDP=I80o-Zl,

同理：ZCEP=180o-Z2,

根據(jù)四邊形的內角和定理得，ZCDP+ZDPE+ZCEP+ZC=360o,

?/ZC=90o,

Λ180o-Zl+6t+180o-Z2+90o=360o,

ΛZ1+Z2=90O÷C(,

故答案為：Zl÷Z2=90o+a;

(3)Zl=90o+Z2+Za.理由如下：如圖3,

設/“與的交點為凡

VZ2+Za=ZDFE,NDFE+NC=N1,

ΛZl=ZC+Z2+Za=90o+Z2+Za.

(4)Z2=90o+Zl-Zα,理由如下：如圖4,

設PE與AC的交點為G,

VZPGD=ZEGCf

：?Za+180。-Z1=ZC+180o-Z2,

ΛZ2=90o+Zl-Za.

故答案為N2=90°+Nl-Na.

【變式?-?]（2020.福建龍巖期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點。按如圖所示的方式疊放

在一起（其中NA=60。，N￡）=30。，NE=NB=45。）,固定三角板AC￡>,另一三角板BCE的CE邊

從C4邊開始繞點C順時針旋轉，設旋轉的角度為0.

（1）當α<90。時;

①若ZDCE=30°,則ZACB的度數(shù)為；

②若/ACB=130。，求NDCE的度數(shù)；

（2）由（1）猜想NAC8與NOeE的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）當0。<。<180°時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直？若存在，請直接寫出α所有可能的值,

并指出哪兩邊互相垂直（不必說明理由）；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）①150°；②50°；（2）∕ACB+NQCE=180°；（3）當a=30°時，ADlCE,當α=90°時，ACLCE,

當a=75。時，ADLBE,當a=45。時,CDLBE.

[解析】解：⑴①】NEeB=90。,ZDCE=30。,

：.ZDCβ=90o-30o=60o,

二ZACB=ZACD+ZDCB=90o+60°=150°,

故答案是150°；

②?：ZACB=I30o,ZACZ>90o,

.?.ZDCθ=130o-90o=40o,

NoCE=90°-40°=50°;

(2)ZACβ+ZDCf≈180o,理由如下:

①當OWa<90°時，如圖，

D

?.'ZACB=ZACD+ZDCB=90°+ZDCB,

：.ZACB+ZDCE=90°+ZDCB+ZDCE=90o+900=180o；

②當。二90。時，ZACB÷ZDCE=180o,成立；

③當90°<σ<360°時，如圖，

D

ZACB+ZDCE=360o-90o-90°=180°.

綜上所述：ZACB+ZDCE=180°；

(3)存在，理由如下：

①若CE時，如圖

②若AC，CE時，如圖

D

貝I]α=ZACE=90o,

③若ADJ_BE時，如圖

則NEMC=900+30°=120°,

VZE=45o,

，ZECD=180o-45o-120°=15°,

：.σ=90o-15o=75o,

④若CQ_LBE時，如圖

貝I]AC〃8E,

α=ZE=450.

綜上所述：當。=30。時，ADVCE,當α=90。時，ACVCE,當。=75。時，ADlBE,當α=45。時，CDLBE.

【變式1-2]（2019?上海市市期中）結合“愛市西，愛生活，會創(chuàng)新”的主題，某同學設計了一款“地面霓虹探

測燈”，增加美觀的同時也為行人的夜間行路帶去了方便.他的構想如下：在平面內，如圖1所示，燈A射

線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈3射線從WJ開始順時針旋轉至6。便立即回轉，兩燈不停

交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是每秒2度，燈B轉動的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即

PQHMN,且NBAM:NB4N=2:1.

（1）填空：ZABP=°；

（2）若燈8射線先轉動60秒，燈A射線才開始轉動，在燈8射線到達8。之前，A燈轉動幾秒，兩燈的

光束互相平行？

（3）如圖2,若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前，若射出的光束交于點C,過C作NAC。交PQ

于點。，且ZACD=120°,則在轉動過程中，請?zhí)骄緼BAC與/BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？若不變，

請求出其數(shù)量關系；若改變，請說明理由.

【答案】（D120；（2）（3）見解析.

【解析】解：（1）'：ZBAM+ZBAN^0°,ZBAM：/8AN=2:1

ΛZBAM=120o,NBAN=60°

'：PQ//MN

二N48P=∕8AΛf=I20°

故答案為：120；

（2）設A燈轉動時間為r秒，

燈B射線從8P開始順時針旋轉至BQ所需時間為180秒，

燈B射線從BP開始順時針旋轉至AB所需時間為120秒，

燈Λ射線從AM開始順時針旋轉至AN所需時間為90秒

則f的取值范圍為：0<r<120

①當0<z≤6（）時，

'：PQ//MN

.?.ZPBD=ZBDA

?uAC∕∕DB

：,ZCAM=ZBDA

：.ZCAM=ZPBD

/.2∕=60÷r

解得/=60

此時，ZCAM=ZPBD=ZPBA=120°

即兩燈的光束重合，舍去；

②當60V∕≤90時，如圖所示，此時燈4射線未從AN回轉

解得/=60(舍去)

③當90<∕≤120時,如圖所示,

此時燈A射線旋轉至4M并已開始回轉

可得60+r+2"80=180

解得Z=Io0,

綜上，4燈轉動100秒，兩燈的光束互相平行;

(3)NBAC=2NBCD,理由如下：

設燈A射線轉動時間為/秒，

CAN=180-2/

4BAC=/BAN-∕CAN=2t-?20

又；/ABC=120T

ΛZBCA=I80-f

??ZACD=UOo

：.ZBCD^ZACD-ZBCA=r-60

ΛZBAC：NBcD=2:1.

即NBAC=2N5CD

【例2】(2020.湖北廣水期末)如圖，以直角三角形AoC的直角頂點。為原點，以OC,04所在直線為軸

和軸建立平面直角坐標系，點A(O,a),C(?,0)滿足Ja—6+∣b-8∣=0.

(l)a=______:b=i直角三角形AOC的面積為.

(2)已知坐標軸上有兩動點尸，。同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點。勻速移動，

。點從。點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速移動，點P到達O點整個運動隨之結束?AC的中點

。的坐標是(4,3),設運動時間為，秒.問：是否存在這樣的3使得AODP與AOOQ的面積相等？若存

在，請求出f的值；若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，若NooC=/OC。，點G是第二象限中一點，并且)，軸平分NGOO.點E是線段

OA上一動點，連接接CE交。。于點”，當點E在線段OA上運動的過程中，探究NGoO,NOHC,ZACE

之間的數(shù)量關系，并證明你的結論(三角形的內角和為180).

【解析】解：(1)解：(1)V√a≡6+∣b-8∣=0,

?二α-6=0,?-8=0,

???4=6,Z?=8?

/.A(0,6),C(8,0)；

/.SΔABC=6×8÷2=24,

故答案為(0,6),(8,0)；6：8；24.

(2)*：S△OD"2I,SΔODF=12-3/

由2ul2-3f得：/=2.4

.?.當Z=2.4時，?ODP與^ODQ的面積相等.

(3)2ZGOΛ+ZACE=ZOHCf理由如下：

丁ZAOC=ZDOC+ZAOD=90o

???ZOAC+ZACO=Wo

?：ZDOC=ZDCO

：.ZOAC=ZAOD

Ty軸平分NGoQ

，ZGOA=ZAOD

：.ZGOA=ZOAC

???OG//AC,

如圖，過點〃作HF〃OG交X軸于R

.?HF∕∕AC

：,/FHC=NACE

同理//TZO=NGOO,

TOG//FH,

：?ZGOD=ZFHOf

：.ZGOinZACE=ZFHO+ZFHC

即ZGOD+ZACE=ZOHC,

：.2ZGOA+ZACE=ZOHC.

：.ZGOD+ZACE=ZOHC.

【變式2-1］（2020?山東日照期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC點A的坐標是（3,0）,點8

的坐標是（〃，b）,且（α-2）2+J=O點C在X軸的負半軸上，且AC=5.

（1）直接寫出點8、。的坐標；

（2）在坐標軸上是否存在點P,使SAPo8=gSAABC若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）把點C往上平移3個單位得到點H,作射線CH,連接8”，點M在射線CH上運動（不與點C、〃重

合），試探究∕HBM,ZBMA,NM4C之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）由（a—2）?+仄萬=0,得：a=2,b=3,

：.B（2,3）,

；點A的坐標是（3,0）,AC=5,

：.C（-2,0）；

（2）①當點P在X軸上時，設P為（x,0）

2?21

SxPOB=-SiMic,即：—×∣x∣×3=-×-×5×3,

321132

解得：尸土

3

**?點P（—,0）或（---，0）；

33

②當點P在y軸上時，設P為（0,?）

2?21

SNOB=—SAABC,即：-×∣y?×2=—×-×5×3

321132

解得：.V=±5,

1點P（0,5）或（0,-5）.

綜上所述，點P的坐標為：（W,0）或,0）或（0,5）或（0,?5）；

33

（3）①如圖，當點M在線段S上時，ZBMA=ZMAC+ZHBM

理由：過點M作MN〃BH

???/BMN=ZHBM

'.B"兩點的縱坐標相等

J.BH//AC

.?MN∕∕AC

：./AMN=NMAC

，∕AMN+NBMN=ZMAC+/HBM

即ZBMA=ZMAC+NHBM；

②當點M在線段C7/延長線上時，/BMA=NMAC—NHBM

理由：過點M作MN〃BH

Λ/BMN=ZHBM

?.?8、〃兩點的縱坐標相等

.?BH∕∕AC

：.MN//AC

：,NAMN=NMAC

，ZAMN-/BMN=ZMAC-/HBM

即ZBMA=ZMAC-ZHBM.

【習題專練】

1.(2020?長沙市月考)在平面直角坐標系中，點O為原點，點B(0,-4)是y軸負半軸上一點，將點B

向右平移6個單位得到點A(6,-4).

(1)如圖1,動點尸從點8出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿A4方向運動，同時動點Q從點。出發(fā)，

以每秒3個單位長度的速度沿y軸向上運動，當點尸運動到點A時，P、。同時停止運動，設點尸運動時間

為1秒.

①用含/的式子表示P,。兩點的坐標.

②是否存在，使ABPQ的面積為4/+12?若存在，求出f,并寫出此時點P、。的坐標；若不存在，說明理

由.

(2)如圖2,點。為線段OA(端點除外)上某一點，當點。在線段上運動時，過點。作直線EF交X軸正

半軸于E,交直線AB于F,NEOD,ZAFD的平分線相交于點N,若NoDF=a,請用含ɑ的式子表示/ONF

的大小，并說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)①；將點8(0,-4)向右平移6個單位得到點A(6,-4).

二曲〃X軸，

Y點8(0,-4),動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿BA方向運動,

：.P(2/,-4),

Y動點Q從點。出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸向上運動，

：.Q(0,3r)；

②(0,3r),B(0,-4),

.?.8Q=3r+4,BP=2t,

?SΔBPQ^?BP?BQ^?×2r×(3f+4)=31+4/,

:?3產(chǎn)+4/=47+12,

，產(chǎn)=4,

解得f=2,f=-2舍去，

：.P(4,-4),Q(0,6).

(2)如圖，過點N作MW〃工軸，

.?.NΛ/〃48〃X軸，

，NMNO=NNOE,

'：ON是NEOO的角平分線，

：.乙MNO=NNoE=—ZEOD,

2

乂；MN〃AB

.'.ZMNF=ZNFA,

?/FN是/A的角平分線，

，NMNF=ZNFA=-ZAFI),

2

?'AB∕∕x^,

INOED=NAFD,

VZODF=ZEOD+ZAFD=a,

：./0NF=NMNO+4MNF=L(ZEOD+ZAFD)=L.

22

2.(2019?湖北武昌期中)如圖，平面直角坐標系中，B(4,-2),C(6,-4),BE∕∕x軸，點A從原點。出發(fā)

在X軸上以1單位/秒的速度向X軸的正方向運動，運動的時間為，秒./。48=加°,8。平分43。.(提

示：ΔABC中，NC=90°,若AC=BC,則NA=∕B=45°,反之亦然）

(1)當f=4時，m=；

(2)當AABC的面積為3時，求A點運動的時間”

(3)當f>0時，求NoBE的度數(shù)(用含機的式子表示，且不含絕對值).

【答案】(1)90°；(2)(3)見解析.

【解析】解：(1)當，=4時，0A=4,

(4,0),

VB(4,-2),

.".ABLOA,

：.ZOAB=90o,即∕n=90.

故答案為90.

(2)延長CB交X軸于點K,過C作CTLBE于T,連接KT,

S&LCT=SALB什SABCT

：.K(2,0),

設A0),

又SAABC=StiAKLSAAKB=3

???∣"-2∣X4=g?∣n-2∣×2+3

解得:〃=5或〃=-1(舍去)

???45秒時，Z?A3C的面積為3.

(3)當0<f<2時,

VZABC=(180o-mo)+(180o-45o)=315-，〃°,BD平分/ABC,

315o-fflo

ZCBD=~ZABC^

22

180o-wo+1350405o-m0

NDBE=ZCBD+ZCBE-----------------------+45°=---------------

當t=2時?，∕Z)8E=45°或135°

當2V∕≤6時,

`:OA//BE,

二ZABE=ZOAB=m°,

：.ZABC=45o+mo,

平分/A8C,

45o+mo

二NABD=-------------

2

45o+momo-45o

二NDBE=ZABE-ZABD^mo---------------

22

當f>6時,

3.（2019?北京市期末）如圖，在直角三角形ABC中，NAcB=90°,NBAC=45°.點尸是直線AC上一

個動點（點尸不與點A，C重合），連接BP，在線段BC的延長線上取一點O,使得N5PC=NZ）PC.過

點B作BELDP，交直線DP于點E.

（1）如圖1,當點P在線段AC上時，若NBPC=60°，則NABE=；

（2）當點P在線段C4的延長線上時，在圖2中依題意補全圖形，并判斷石與WP有怎樣的數(shù)量關

系，寫出你的結論，并證明；

（3）在點P運動的過程中，直接寫出NME與2的數(shù)量關系為.

【答案】（1）15°；（2）（3）見解案

【解析】（1）解：YN8PeNDP俁60°,ZACB-QOo

：.ZACD=90o,/￡>=30°

??BELDP

：.Z￡=90°

.?.ZffiD=60o

?"ZBAC=45c,

：.NA8C=45°

：.N4B樣15°.

(2)ZABE=ZABP

證明：9：BELDP

：.∕EBD+ND=90°

又NoPC+/￡>=90°

???ZEBD=ZDPC

?.?ZBPC=ZDPC

：.ZEBD=ZBPC

?.?ZBAC=45o

.?.NA8P=45°-ZBPC1NA8C=45°

VZABE=ZABC-ZEBD=45o-ZEBD

：.ΛABE=ZABP,

(3)由(1)(2)可知，當點P在線段AC與CA的延長線上時NA8E=NABP,

當點P在AC的延長線上時，

設ND=NQBP=X

???∕BPE=2x,

INPBE=90°-Ix

VZACB=90o,NBAC=45°

???ZABC=45o

.,.ZABE=ZABC+ZCBP+ZPBE=135°-x,ZABP=45o+x

：.ZABE+ZABP=ISOa

當點P在線段AC與CA的延長線上時∕A8E=∕A8R當點P在4C的延長線上時∕A8E+∕48P=180°.

4.(2019?湖北黃石期中)如圖：已知在平面直角坐標系中點A(a,b)點、B(α,0),且滿足∣2α-例+(?-4)

2=0.

(1)求點A、點B的坐標；

(2)已知點C(0,6),點尸從3點出發(fā)沿X軸負方向以1個單位每秒的速度移動，同時點。從C點出發(fā)，

沿y軸負方向以2個單位每秒的速度移動，仁3時，AQ交X軸于M,作