2022-2023學年河北省承德市高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年河北省承德市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.一支田徑隊有男運動員24人，女運動員18人，按照性別進行分層，用分層隨機抽樣的方

法從該田徑隊中抽取了男運動員8人，則女運動員被抽取的人數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

2.復數(shù)（-1+21）（3-》）在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若as譏B=2,b=3,則Sina=（）

A.IB.IC.?D.?

4.下列說法正確的是（）

A.空間中過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線垂直

B.空間中過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行

C.空間中過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面垂直

D.空間中過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行

5.小紅父親生日即將來臨，小紅給父親準備了生日禮物，并制作了一個愛心禮盒，如圖1所

示，該禮盒可以近似看作由兩個半圓柱和一個正四棱柱組合而成，該禮盒的底面如圖2所示,

若4B=20cm,禮盒的高度為IOCm,忽略禮盒的厚度，則愛心禮盒的容積為（）

圖1圖2

A.(500π+2000)cm3B.(1000π+2000)cm3

C.(IOOOTT+4000)cm3D.(2000π+4000)cm3

6.tanl25°+tan35o=()

A.-tan20°B,-2tan20°C.-tanl0oD.-2tanlO°

7.在直三棱柱ABC—4BiG中，底面ABC為等腰直角三角形，AB=BC=44］，則異面直

線BlC與4B的夾角為（）

?-RΞ?-Γ)-

A.6n?4J3u?2

8.如圖，為了測量古塔的高度，選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)A

的兩個測量基點C與。，現(xiàn)測得乙BCD=70.5o,CD=105m,在C點

測得古塔頂端A的仰角為26.5。，在。點測得古塔頂端4的仰角為

C*L---------------

18.5°,則古塔的高度48=()

(參考數(shù)據(jù)：取tan71.5°=3,tαn63.5o=2,cos70.5o=?)

A.21mB.30mC.35mD.42m

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.甘肅省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年歷次人口普查城

鎮(zhèn)人口比重圖如圖所示，貝∣J()

甘肅省方次人口普查城鎮(zhèn)人I」比乖圖

B.甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的中位數(shù)為22.04%

C.甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的第三四分位數(shù)為36.12%

D.甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的平均數(shù)大于25%

10.將函數(shù)y=SinX圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的右縱坐標不變，再把得到的圖象向

左平移工個單位長度，得到函數(shù)f(x)的圖象，則()

A./(x)的最小正周期為8兀Bj(X)的圖象關于點(一言,0)對稱

C?/(x)的圖象關于直線X=合對稱D./。)在(-：,0)上單調(diào)遞增

11.如圖，△04D,△OBC均為等腰直角三角形,。在線段4BE

AO=AD=BO=BC=2,在扇形CoD中，M為比的中點，P為

步上一動點，Q為線段AB上一動點，則()

A.向量方在向量而上的投影向量為前

B.向量存在向量而上的投影向量與向量前在向量而上的投

影向量相等

C.當P的位置固定，Q在線段AB上移動時，麗.麗為定值

D.當Q的位置固定，P在比上移動時，麗?麗為定值

12.拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用α表示黃色骰子朝上的點數(shù)，用匕表示白色骰子朝

上的點數(shù)，用(α,b)表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為0,記事件4="關于X的方程

χ2-(α+b)x+∣(α+b)=0無實根"，事件B="a=4"，事件C="b<4”，事件

D=uab>20"，則()

A.A與B互斥B.4與。對立C.B與C相互獨立D.8與。相互獨立

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若向量W=(I,τn),B=(2n,10),且力〃3，則nm=.

14.若復數(shù)z,(1—z)2+2i均為純虛數(shù)，則Z=.

15.九宮格數(shù)獨游戲是一種訓練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個小宮格，某小九宮

格如圖所示，小明需要在9個小格子中填上1至9中不重復的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4

個小格子中的準確數(shù)字，a，b,c,d,e這5個數(shù)字未知，且b,d為奇數(shù)，貝∣Ja+b>5的概

率為?

9a7

bcd

4e5

16.己知P為AABC所在平面外一點，PA=2,AB=√^7,BC=QGC0SNB4C=；,當三棱

錐P-ZBC的體積最大時，則該三棱錐外接球的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知。為AABC所在平面內(nèi)的一點，2亞=3荏,E為CD的中點.

(1)用而,而表示荏；

(2)|而I=2,|而I=3,cos4BAC=5求荏?就.

18.(本小題12.0分)

11

己知cos(α+￡)=§,sinasinβ=

(1)求COSQCOS伙

(2)求cos(2α—20).

19.(本小題12.0分)

已知4B兩種獎券的中獎率分別為:g.

(1)若甲購買了4B兩種獎券各一張，求恰有一張獎券中獎的概率；

(2)若甲購買的4B兩種獎券數(shù)量相同，為了保證甲中獎的概率大于喘，求甲至少要購買的

獎券數(shù)量.

20.(本小題12.0分)

已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,且，？bsinA+2αcos2?=3α.

⑴求B；

(2)若b=3,當AABC的面積最大時，求△4BC內(nèi)切圓的面積.

21.(本小題12.0分)

正值藍莓銷售的高峰期,一家水果店的店長計劃未來10天藍莓的日進貨量(單位:千克)為85,

92,90,96,86,94,88,89,85,95.

(1)計算該水果店未來10天藍莓日進貨量的眾數(shù)與方差；

(2)假設未來這10天該水果店藍莓的市場日需求量均為久(XeZ)(單位：千克)，當日銷售的藍

莓可盈利10元/千克，當日未銷售的藍莓則需要退貨，虧損15元/千克，若該水果店想在未來

10天銷售藍莓的盈利大于8200元，求X的最小值.

22.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱錐P-ABC中，E,F分別為AB,BC的中點，M,N分別為PE,P尸的中點.

(1)證明：MNlPB.

(2)若34B=4P4,且四棱錐P-AMNC的體積為嗎衛(wèi)，求點A到平面PMN的距離.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由題意得，女運動員被抽取的人數(shù)為身X18=6.

故選：C.

根據(jù)分層抽樣的抽取原則，按比例計算即可.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：因為(―1+2i)(3—i)=-1+7i,

所以(-1+2i)(3一i)在復平面內(nèi)對應的點為(-1,7),位于第二象限.

故選:B.

利用復數(shù)的乘法化簡，由復數(shù)的幾何意義求對應的點所在象限.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析［解：由正弦定理上7=—%,得sE4=嚶=|.

SinAStnBb3

故選：A.

直接利用正弦定理求解即可.

本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：過直線外一點，有無數(shù)條直線與這條直線垂直，A錯誤;

過直線外一點，有無數(shù)個平面與這條直線平行，8錯誤；

過平面外一點，有無數(shù)個平面與這個平面垂直，C錯誤；

過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行，。正確.

故選：D.

利用空間的平行和垂直關系對四個選項進行判斷.

本題考查了空間的平行和垂直關系，是基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意得半圓柱的底面半徑為IoCm,

則該愛心禮盒的容積為兀XIO2×10+20×20×10=(IoOOTr+4000)cm3.

故選：C.

根據(jù)圓柱和棱柱的體積公式計算即可.

本題考查組合體的體積的求解，化歸轉化思想，屬基礎題.

6.【答案】B

【解析】解」αnl25°+tαn35°=Tm550+t即35°=-??+??

Si7i550cos35θ-cos550si7i350=sin(55o-35o)

cos550cos350sin35°cos350

2sM2002sin20o

=-2tαn20o.

sin700cos2Q°

故選：B.

利用誘導公式，結合切化弦，原式可化為-四更*等噌^,再利用二倍角公式與兩角差

cos55cos35

的正弦公式可得答案.

本題主要考查三角恒等變換，考查運算求解能力，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：如圖，延長4B至D,使得4B=B。，延長久&至5，使得必&=/為，連接。％,

因為Bl且BO=&&，所以，四邊形IDB是平行四邊形，所以

則異面直線BIC與AIB所成角為NDBlC或其補角，連接CD,

設AB=BC=AA1=a,因為BBl1平面ZBC,BC、BDU平面ABC,

所以BBl1BC,BB11BD,

所以BIC=√+BC2=√a2+a2=y∕~2a,同理可得當。=√^α,

因為AABC為等腰直角三角形，且4B=BC,則BCI4。，

所以CD=VBC2+BD2=√a2+a2=√^^2α,

所以ABiCD為等邊三角形，故NCBlC=(

因此直線BlC與的夾角為(

故選：C.

延長AB至D,使得48=BD,延長AlBl至使得4%=BID「連接DD「證明出四邊形

為平行四邊形，可得出異面直線BlC與AlB所成角為NDBlC或其補角，連接CD,設4B=BC=

44]=α,求出ABiCO三邊邊長，分析ABiCD的形狀，可得結果.

本題主要考查了求異面直線所成的角，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意得/CAB=90。一26,5。=63.5。，Z.DAB=90°-18.5°=71.5°,

貝U在RtΔABC和RtΔABD中，

BC=AB?tαn63.5o=2AB,BD=ABtan71.5o=3AB,

在^BCO中，由余弦定理得BO?=BC2+CD2-2BC?CD?coszFCD,

即9AB2=4AB2+1052-2×2AB×105X解得AB=35m.

故選：C.

先分別將BC,8。用力B表示，再在ABCD中，利用余弦定理即可得解.

本題考查解三角形的實際應用，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的極差為52.23%-11.13%=41.1%,A錯

誤；

這組數(shù)據(jù)從小到大排列依次為ILl3%,12.22%,15.34%,22.04%,24.01%,36.12%,52.23%,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為22.04%,B正確；

因為7X75%=5.25,所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為36.12%,C正確；

平均數(shù)為Hll.13%+12.22%+15.34%+22.04%+24.01%+36.12%+52.23%)=歲%<

25%,。錯誤.

故選：BC.

根據(jù)極差判斷4根據(jù)中位數(shù)的定義判斷8,根據(jù)第三四分位數(shù)計算法則判斷C,計算平均數(shù)判斷￡?.

本題主要考查折線圖，考查運算求解能力，屬于基礎題.

10.【答案】BC

【解析】解：由題意得/O)=sin(4x+≡),

所以f(x)的最小正周期為*A錯誤；

因為4x()+/=0,所以/Q)的圖象關于點(一方0)對稱，B正確；

因為4X5+X今所以/3)的圖象關于直線X=5對稱，C正確；

因為xe(∕θ),所以4x+芬(一學》所以/(x)在(―也0)上先減后增，。錯誤.

故選：BC.

根據(jù)圖象變換規(guī)律，得到/Q)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質，逐一驗證選項即可.

本題考查了三角函數(shù)圖像變換，涉及到正弦函數(shù)的性質，屬于基礎題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于A選項：根據(jù)題干易知41。D=NBoC=NMOO=NMOC=*,所以M0J.A8,

易得就與而同向，又近在比上的投影向量為前，所以0?在麗上的投影向量為前，故A正確；

對于B選項：PHA.AB,垂足為H,如下圖所示，

由于前與而同向，容易得到而,喬在砂上的投影向量均為價，故8正確；

對于C選項：根據(jù)題意得到兩=I而I?I而ICoSNHPQ=I加7∣?I部|，得到|而|為定值,

故可以得到麗?麗=I麗Il而I是定值，故C正確；

對于。選項：P在比上移動時，I而I不是定值，故麗?麗=I而Il而I不是定值，故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)數(shù)量積的定義、投影向量的定義及幾何圖形一一判斷即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由題意得。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含36個

樣本點，

由Zl=(α+b)2—10(α+b)<0,得0<α+b<10,

所以4={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4).(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(6,1),(6,2),(6,3)},共包含30個樣本點,

B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)},共包含6個樣本點,

4與B不互斥，故選項A錯誤；

又C={(1,1),(1,2),(1,3)，(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),

(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)},共包含18個樣本點,

D={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含6個樣本點，

所以A與。對立，故選項8正確；

選項因為總

C,P(BC)=I=P(B)=?=Q(C)=H=∣J

所以P(BC)=P(B)P(C),故B與。相互獨立，故選項C正確；

選項。，因為P(BD)=*,P(D)=2=士所以P(BD)=P(B)P(D),故B與。相互獨立，故選項

?o?θO

。正確.

故選：BCD.

先用列舉法寫出一次試驗的基本事件上，再根據(jù)條件寫出事件4B,C,D包含的基本事即可判

斷出選項A和8的正誤;再利用古典概率公式和事件相互獨立的判斷方法逐一對選項C和。分析判

斷即可得出結果.

本題主要考查了互斥事件和獨立事件的定義，屬于中檔題.

13.【答案】5

【解析】解：由題意五〃石，得2mn=10,即Tnn=5.

故答案為：5.

根據(jù)向量平行的坐標表示，列式計算，即得答案.

本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題.

14.【答案】T

【解析】解：設z=bi(b∈R,b≠0),貝IJ(I-Z)2+2i=(1-兒產(chǎn)+2i=1-加+(2-2b)i,

所以自一得6=—1，即z=T.

故答案為：-i?

設z=bi(b∈R,bH0)B,利用復數(shù)的四則運算法則進行運算后，根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.

本題考查復數(shù)的四則運算法則、純虛數(shù)的定義，正確理解純虛數(shù)的定義是關鍵.

15.【答案】I

【解析】解：這個試驗的等可能結果用下表表示:

abcde

21638

21836

61238

61832

81236

81632

23618

23816

63218

63812

83216

83612

共有12種等可能的結果，其中α+b>5的結果有8種，

所以α+b>5的概率為盤=|.

故答案為：∣?

根據(jù)題意列出這個試驗的等可能結果，然后求解概率即可;

本題考查古典概型相關知識，屬于基礎題.

16.【答案】等

【解析】解：由題意得NBAC為銳角，BOAB,所以△4BC只有一解,

即AABC的面積為定值.

所以當三棱錐P-ABC的體積最大時，PA，平面ABC.

如圖，將三棱錐P-ABC補成三棱柱ABC-PDE,設底面外接圓的圓

心為。1，

三棱錐外接球的球心為。，連接力0,4。1，。。1，則力。1為底面外接圓的半徑，4。為三棱錐外接球

的半徑.

由cosZ?B4C=;,得SinNBAC=邙，由:^‰7=2AOι,得4。I=容.

?4SIn4zj/iLr?

因為。。1_L平面ZB&。。1=^P4=1,則OOIJ_401，所以4。2=。03+40：=弓.

故該三棱錐外接球的表面積為4兀?AO2=等.

故答案為：?.

由題意可得當三棱錐P-ABC的體積最大時，PA，平面4BC.將三棱錐P-ABC補成三棱柱力BC-

PDE,設底面外接圓的圓心為01，三棱錐外接球的球心為。，連接40,A01,OO1,從而可得。。】=

?PA=1,根據(jù)正弦定理可得401=手，再結合勾股定理可得AM=。3+力英=M再根據(jù)

球的表面積公式即可求解.

本題考查線面垂直的性質和棱錐、球的體積的求法，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于

中檔題.

17.【答案】解：(I)荏=而+屁=同+g反

=AD+1(AC-AD)=^AD+^AC

=∣?B+∣<≡

(2)因為近=AC-AB,

則荏?BC=(|荏+∣ΛC)-(AC-AB)=^AC2+^AB-AC-^AB2=^?AC?2+

^?AB??AC?cosΛBAC-^?AB?2

1113

=i×9+^×2×3×∣-J×4=2.

【解析】(1)根據(jù)向量的四則運算法則進行運算即可.

(2)把荏,就用話,而進行線性表示后，進行運算即可.

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質的應用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為COS(α+0)=CoSaCos∕?—si?IaSiTI/?=CoSaCoS夕一

1[7

所以CoSaCOSH="+-=—：

、715

(2)因為cos(α—β)=cosacosβ+sinasinβ=—÷-=g,

?r7

所以CoS(2α-2β)=cos2(a-∕?)=2cos2(a-∕J)-1=2×≡∣-1=^.

【解析】(1)根據(jù)兩角和的余弦公式運算求解；

(2)根據(jù)兩角差的余弦公式可得cos(α再結合倍角公式運算求解.

本題主要考查了和差角公式，二倍角公式的應用，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴恰有一張獎券中獎的概率為：X(1-；)+(IT)XHa

(2)設甲購買的獎券數(shù)量為2x,則4,B兩種獎券的數(shù)量均為X.

甲沒中獎的概率為(1一：尸(1一分，=(尸，所以甲中獎的概率為1一?)乙

由1-(獷>蔡得《尸<焉，

因為杼=A>I?，甘=擊<焉，且尸(獷為減函數(shù)，所以x25?

故甲至少要購買的獎券數(shù)量為5×2=10.

【解析】(1)分兩種情況，利用獨立事件與互斥事件的概率公式求解即可；

(2)設甲購買的獎券數(shù)量為2x,則4B兩種獎券的數(shù)量均為無，甲沒中獎的概率為(1一??1-$X=

φx,可得甲中獎的概率為1-0尸，再列不等式求解即可.

本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題.

20.【答案】解：⑴因為√3bsinA+2αcos2?=3α,

所以由正弦定理得+2sinAcos2^=3sinA,

因為SinA≠0,所以，3sinB+2cos2∣=CSiTlB+2×匕箸=3,

化簡得Cs譏B+CosB=2sin(B+看)=2,β∣lsin(B+ξ)=1.

又因為Be(O,ττ),所以B+3

所以8+.3,即B=*

(2)由題意得S—Be=IacsinB=1αc,

由余弦定理得爐=9=α2+c2-2accosB=a2+C2—ac≥2ac—ac=ac,

當且僅當α=C=3時，αc取得最大值，即△ABC的面積取得最大值，

設此時△4BC的內(nèi)切圓半徑為r,

由SMBC=Tr(α+b+G=?ac，得r=?，

所以當△4BC的面積最大時，△4BC內(nèi)切圓的面積為兀八=\

4

【解析】(1)根據(jù)已知條件進行邊化角，結合余弦降幕公式和輔助角公式得到Sin(B+*=1,根

據(jù)B+m∈C,當即可得到8=今

(2)根據(jù)余弦定理結合基本不等式得到當且僅當α=c=3時，αc取得最大值，結合三角形面積公

式得到此時面積最大，根據(jù)等面積法得到內(nèi)切圓半徑，進而得到答案.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于基礎題.

21.【答案】解：(1)該水果店未來10天藍莓日進貨量的眾數(shù)為85,

汨4√4*??4t2x85+92+90+96+86+94+88+89+95CC

平均數(shù)t為-------------訕-------------=90,

方差為告[2X(85-90)2+(92-90)2+O+(96-90)2+(86-90)2+(94-90)2+(88-

90)2+(89-90)2+(95-90)2]=15.2；

(2)由題意易知，當X(X≤96)越小時，該水果店在未來10天銷售藍壽的盈利越小，所以采用二分

法來確定X的最小值，

由題意得電羅=90,當X=90時，該水果店在未來10天銷售藍莓的盈利為(90×10-2-4-5-

6)×10-(2+4+5+6)×15=8575元＞8200元；

由題意得電羅=87.5,當X=87時，該水果店在未來10天銷售藍渤的盈利為87×IOx10-(2+

2+1)×10一(1+2+3+5+7+8+9)X15=8125兀＜8200兀；

當％=88時，該水果店在未來10天銷售藍莓的盈利為88×10×10-(3+3+2)×10-(1+2+

4+6+7+8)×15=830