北京市大興區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

大興區(qū)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期高二期末檢測(cè)

數(shù)學(xué)

1.本試卷共4頁(yè)，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).

3.試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng).

22

土+J

1.橢圓94的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

A.4B.5C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】由橢圓的方程即可得出答案.

【詳解】由三+二=1可得片=9,則2。=6.

94

故選：C.

r22

2.雙曲線匕=1的漸近線方程為（）

42

R4母

A.y=±xB.y=±——x

2

Cy=+y/2xD.y=±—x

2

【答案】B

【解析】

【分析】直接由漸近線的定義即可得解.

2222￡7

【詳解】由題意雙曲線Z—二=1的漸近線方程為土—二=0,即y=±%x.

42422

故選：B.

3.若直線/的方向向量為（2,1,m），平面a的法向量為11,。,2）且則m=（

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由可知，直線/的方向向量與平面a的法向量平行，列方程組求解即可.

【詳解】:?直線/的方向向量為（2,1,m），平面a的法向量為]l,g,2],且

；?直線/的方向向量與平面￡的法向量平行，

則存在實(shí)數(shù)九使（2,1,m）=,

2=4

:?<1=—2,解得X=2,機(jī)=4,

2

m=2A

故選：D.

4.兩條平行直線犬—y=0與％—y—1=0間的距離等于（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用兩平行線間的距離公式求解.

【詳解】?jī)蓷l平行直線X—y=0與X—y—1=。，

」+[V2

由兩平行線間的距離公式可知，所求距離為

d=7—2.

故選：A.

5.過(guò)點(diǎn)（1,0）且被圓Y+（y+2）2=l截得的弦長(zhǎng)最大的直線方程為（）

A.2x+y—2=0B.2x—y—2=0

C.x+2y-l=0D,x-2y-l=0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可知所求直線即為過(guò)圓心的直線，結(jié)合直線的截距式方程求解.

【詳解】由題意可知：圓好+（丁+2）2=1的圓心為（0,—2）,

顯然圓的最大弦長(zhǎng)為直徑，所求直線即為過(guò)圓心的直線，

可得直線方程為彳+==1,即2x—y—2=0.

故選：B.

6.圓弓：必+：/=2與圓2）2+（y—2）2=2的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.內(nèi)切D.外切

【答案】D

【解析】

【分析】求出兩個(gè)圓的圓心距即可判斷得解.

【詳解】圓G：f+y2=2的圓心￡（0,0）,半徑4=四，圓。2：（X-2）2+（y-2）2=2的圓心。2（2,2）,

半徑&=近，

顯然|。。2|=2四=彳+々，所以圓G與外切.

故選：D

7.采取隨機(jī)模擬的方法估計(jì)氣步槍學(xué)員擊中目標(biāo)的概率，先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，

指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊擊中的結(jié)

果，經(jīng)隨機(jī)數(shù)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

907966181925271932812458569683

431257393027556488730113537989

根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)，該學(xué)員三次射擊至少擊中兩次的概率為（）

3729

A.—B.—C.-D.—

1020520

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)數(shù)至少擊中兩次的次數(shù)后計(jì)算概率.

【詳解】所給數(shù)據(jù)中有181,271,932,812,431,393,113共7個(gè)數(shù)據(jù)表示至少擊中兩次，

7

所以概率為尸==.

故選：B.

22

8.若方程—+3—=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

m-34-3m

（4

A.U（3,+oo）B.

I3p3

（4

-00,-------o（3,+oo）

C.I3D.p3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到（加-3/4-3加）＜0,再解不等式即可.

【詳解】依題意，（m-3）（4-3m）＜0,則機(jī)＜g或機(jī)＞3.

故選：A

2

9.已知耳，鳥(niǎo)是雙曲線G：d-L=1與橢圓。2的左、右公共焦點(diǎn)，A是G，G在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若

8

閨閶=閨4則的離心率是（）

321

A.-B.-c.1D

553-1

【答案】A

【解析】

【分析】由雙曲線定義、橢圓定義以及離心率公式，結(jié)合已知條件運(yùn)算即可得解.

=J8+1=3，

所以陽(yáng)閶=|為4|=2c=6,

?.?|耳川一|乙A|=2a=2,.?.優(yōu)A|=4,.?.忻聞+區(qū).=10,

**,IFpz|=6,。2禺心率是c——=—

-105

故選：A.

10.平面內(nèi)與定點(diǎn)片（-。,0）,乙（。,0）距離之積等于/（a>0）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線.曲線。是當(dāng)

a=2拒時(shí)的雙紐線，P是曲線。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

B.滿足用=歸閭的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

C.|OP|<4

D.若直線，=區(qū)與曲線。只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（—1,1）

【答案】D

【解析】

【分析】由題意得當(dāng)a=2夜時(shí)的雙紐線方程為（必+；/1=16卜2—力，對(duì)于八，用（一%,一?。┨鎿Q方程

中的（％y）即可判斷；對(duì)于B,令|P片|=|P閶，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可驗(yàn)證；對(duì)于C,由

x?+9=16（：—；16即可判斷;對(duì)于D,由方程（1+左2）2爐=16。—無(wú)零解，即可得解.

x+y

【詳解】根據(jù)雙紐線的定義可得+a)2+-.J(x—a)2+y2=/,

當(dāng)a=2夜時(shí)，曲線C：^(%+272)2+/■^(%-272)2+/=8.

BP/+2/(x2+8)+(x2-8)2=64,整理，^(x2+y2)2=16(x2-y2),

對(duì)于A,用（-x,-y）替換方程中的（％y）,原方程不變，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故A正確；

對(duì)于B,若歸片|=歸閶，則,卜+2可+/=小—2⑸，所以x=0,此時(shí)V+8=8,即y=0,

所以滿足|W|=|P閭的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，即（0,0）,故B正確；

對(duì)于C,由卜2+）?）2=16卜2—V）,得于+,2=16（：—1）?]6,所以曲線c上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距

離，即都不超過(guò)4,故C正確；

對(duì)于D,直線與曲線C一定有公共點(diǎn)（0,0）,若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，將,=近代入方程

（丁+力2=16卜2-力中，

得（1+左2）,4=16（1—左2.2,當(dāng)XW0時(shí)，

方程（1+左2）2/=16（1—無(wú)零解，則1—左2<0,解得左21或左W—1,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先一定有公共點(diǎn)（0,0）,然后通過(guò)化簡(jiǎn)方程組得方程

（1+左2）2/=160—無(wú)零解，由此即可順利得解.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11如果事件A與事件B互斥，且尸（A）=0.2,P（B）=0.3,則P（AB）=—.

【答案】0.5

【解析】

【分析】P（AI8）表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比.所以根據(jù)互斥事件概率公式求解.

【詳解】P（A5）=P（A）+P（B）=0.2+0.3=0.5

【點(diǎn)睛】此題考查互斥事件概率公式，關(guān)鍵點(diǎn)在于理解清楚題目概率表示的實(shí)際含義，屬于簡(jiǎn)單題目.

12.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）且與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程為.

【答案】4x-3y=0

【解析】

【分析】與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程可設(shè)為：4x-3y+b=Q,再將（0,0）代入即可得出答案.

【詳解】與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程可設(shè)為：4x-3y+b=0,

又因?yàn)榻?jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）,所以8=0.

所求方程為4x-3y=0

故答案為：4x-3y=0.

2

13.已知雙曲線C=1（m〉0）是等軸雙曲線，則。的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為；C的焦點(diǎn)到其漸

m

近線的距離是.

【答案】①.（四,0）②.1

【解析】

【分析】根據(jù)等軸雙曲線的概念求得比,即可得焦點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得結(jié)果.

【詳解】雙曲線。：必—二=1（根〉0）是等軸雙曲線，則機(jī)2=1，“2=1,

m

二片+^=1+1=2,則c=0,則則。的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（、歷,0卜

雙曲線的漸近線方程為丁=土無(wú)，即x土y=0,

則焦點(diǎn)（±V2,o）到漸近線的距離d=If=1，

故答案為：（3,0）,1.

14.探照燈、汽車(chē)燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光

學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對(duì)稱(chēng)軸方向射出.根據(jù)光路可逆圖，在平面直角坐標(biāo)系

中，拋物線C:9=8x,一條光線經(jīng)過(guò)M（8,-6）,與天軸平行射到拋物線C上，經(jīng)過(guò)兩次反射后經(jīng)過(guò)

N（8,%）射出，則為=，光線從點(diǎn)/到N經(jīng)過(guò)的總路程為

Q

【答案】①.—②.20

3

【解析】

【分析】由點(diǎn)N與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)相同和韋達(dá)定理可得為，利用拋物線的定義可求得總路程.

【詳解】如圖，設(shè)第一次射到拋物線上的點(diǎn)記為尸，第二次射到拋物線上的點(diǎn)記為Q,易得6

因?yàn)槭?,0）,

所以直線P戶的方程為12x+5y—24=0.

聯(lián)立上一消去X整理得3y2+10y-48=0,

12x+5y-24=0

可設(shè)Q（x。，%），顯然-6和%是該方程的兩個(gè)根,

Q

則一6yo=T6,所以為=§.

（方法一）光線從點(diǎn)M到N經(jīng)過(guò)的總路程為

\MP\+\PQ\+\QN\=（XM一%）+（龍尸+尤2+4）+（稅一九2）=光”+^+4=20.

（方法二）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為Z,則其方程為x=-2,分別過(guò)點(diǎn)P,。做準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為G,H,

WJ|PF|=|PG|,\QF\=\QH\,所以|PQ|=|PF|+|QF|=|PG+|QM，

故光線從點(diǎn)M到N經(jīng)過(guò)的總路程為

\MF\+\PQ\+\QN\=\MG\+\NH\=8+2+8+2=20.

15.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓

22

中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A.己知橢圓。：［+?=1（4＞匕＞0）的離心率為

ab

當(dāng)，耳,B分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A3為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線/的方程為bx+紗-。2—尸=0.給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①C的蒙日?qǐng)A的方程為f+y2=3〃；

②在直線/上存在點(diǎn)尸，橢圓C上存在A3,使得PB；

③記點(diǎn)A到直線/距離為d,則d—的最小值為半6；

④若矩形肱VGH的四條邊均與C相切，則矩形肱VGH面積的最大值為6戶.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①②④

【解析】

【分析】由。（。力）在蒙日?qǐng)A上可得蒙日?qǐng)A的方程，結(jié)合離心率可得。力關(guān)系，由此可知①正確；由/過(guò)

且P他,。）在蒙日?qǐng)A上，可知當(dāng)A3恰為切點(diǎn)時(shí)，PA±PB，知②正確；根據(jù)橢圓定義可將

d-|4工|轉(zhuǎn)化為d+|A周—2a,可知耳A，/時(shí)，2+|4耳|取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得

4+|4昂最小值，代入可得8-|4工|的最小值，知③錯(cuò)誤；由題意知，蒙日?qǐng)A為矩形肱VGH的外接圓，

由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長(zhǎng)寬與圓的半徑之間的關(guān)系必+V=12戶，利用基本不等式可求得矩形面積最

大值，知④正確.

【詳解】對(duì)于①，過(guò)。（。3）可作橢圓的兩條互相垂直的切線：x=a,y=b,

???Q（a,b）在蒙日?qǐng)A上，.?.蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=a2+b2,

由e=￡=Jl—t=交,得標(biāo)=2〃，

a\a22

...C的蒙日?qǐng)A方程為三+丁2=3/,故①正確；

對(duì)于②，由/方程知：/過(guò)尸他,a）,

又P（b,a）滿足蒙日?qǐng)A方程，尸0,a）在圓龍2+y2=3戶上,

當(dāng)A3恰為過(guò)P作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，PA±PB,故②正確；

對(duì)于③，?.?人在橢圓上，，|441+|4居1=2匹

d-\AF2\=d-（2a-\AF,\）=d+\AF{\-2a,

當(dāng)月A，/時(shí)，d+1A4|取得最小值，最小值為F［到直線/的距離，

又可到直線/的距離41“丁3」-人常工羋匕,

荷+/0b3

???（d-\AF2|）min=^b-2a，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)矩形肱VGH的四條邊均與。相切時(shí)，蒙日?qǐng)A為矩形禰VGH的外接圓,

矩形肱VGH的對(duì)角線為蒙日?qǐng)A的直徑，

設(shè)矩形肱VGH的長(zhǎng)和寬分別為辦"，貝U療+〃2=12/,

矩形MNGH的面積S=根〃<-------=6b2,當(dāng)且僅當(dāng)根="=6時(shí)取等號(hào),

2

即矩形面積的最大值為6/，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義，結(jié)合

點(diǎn)（。力）在蒙日?qǐng)A上，得到蒙日?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng).

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.己知兩直線6：7m:+8y+〃=0和6：2x+my-l=Q,

（1）若乙與4交于點(diǎn)尸（私T），求也”的值；

（2）若“〃2，試確定辦72需要滿足的條件.

【答案】（1）m=l,n=7

（2）當(dāng)機(jī)=4,"w-2或機(jī)=#2時(shí)，

【解析】

【分析】（1）將點(diǎn)代入則得到方程，解出即可；

（2）根據(jù)平行列出方程，解出加=±4,再排除重合的情況即可.

【小問(wèn)1詳解】

將點(diǎn)P（機(jī),—1）代入兩直線方程得：77?一&+〃=o和2根—m―1=0,

解得m=1,n=7.

【小問(wèn)2詳解】

由/J//2得：〃廠一8x2=0=>加=±4，

又兩直線不能重合，所以有8x（—1）—〃加w。，對(duì)應(yīng)得〃w±2,

所以當(dāng)根=4,〃w-2或m=T,〃w2時(shí)，lj/l2.

17.已知橢圓C：三+上=1與經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)Fl的一條直線交于A,B兩點(diǎn).

43

（1）若工為右焦點(diǎn)，求AAB區(qū)的周長(zhǎng)；

TT

（2）若直線A3的傾斜角為一，求線段A3的長(zhǎng).

4

24

【答案】（1）8（2）—

【解析】

【分析】（1）直接畫(huà)出圖形結(jié)合橢圓的定義即可求解.

JT

（2）由題意結(jié)合左焦點(diǎn)4的坐標(biāo)以及直線AB的傾斜角為一，可得直線AB的方程,將其與橢圓方程聯(lián)立,

4

結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意a=2,由橢圓定義有=2a=4,忸耳|+忸閭=2a=4,

所以AAB耳的周長(zhǎng)為+|和|+忸閶=|A制+|班|+忸國(guó)+忸閶=4+4=8.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)4（和%）5（孫%），

2

由題意直線AB的斜率為左=tan：=l,°=1a_濟(jì)=,4-3=1，即片（一1,0），

|22

22X"-1

所以直線A3的方程為＞=%+1將它與橢圓方程二+二=1聯(lián)立得＜43

43

y=x+l

消去y并化簡(jiǎn)整理得7必+8尤—8=0，

88

顯然△>€),由韋達(dá)定理得X]+冗2=—亍，%%2=—,，

所以線段AB的長(zhǎng)為=J1+左2歸-x2\=J1+左2，(再+%2『-4七々=A/2x

18.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),與直線x+y=2相切，且圓心C在直線2x+y-1=0上.

(1)求圓C的方程;

(2)已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2,求直線/的方程.

【答案】(1)(x-1)2+(j+1)2=2

(2)尤=0或3尤+4y-4=0

【解析】

【分析】(1)由圓C的圓心經(jīng)過(guò)直線2x+y-1=0上，可設(shè)圓心為C(a,1-2a).由點(diǎn)到直線的距離公式表

示出圓心C到直線尤+y=2的距離d,然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出AC的長(zhǎng)度即為圓的半徑，然后根

據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由

a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可.

(2)分類(lèi)討論，利用圓心到直線的距離為1,即可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閳A心C在直線2x+y-1=0上，可設(shè)圓心為C(a,1-2a).

|-a-11

則點(diǎn)C到直線x+y=2的距離d=%」.

據(jù)題意，d=\AC\,則??=，(a—2￥+(1—2ay,

解得a=l.

所以圓心為C(l,-1),半徑r=d=J5，

則所求圓的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.

【小問(wèn)2詳解】

左不存在時(shí)，x=0符合題意；

k+2|3

左存在時(shí)，設(shè)直線方程為丘-y+l=0,圓心到直線的距離,-----=1,.,.k=—,

Jie2+14

，直線方程為3x+4y-4=0.

綜上所述，直線方程為尤=0或3x+4y-4=0.

19.如圖，在四面體ABC。中，AD，平面ABC,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),

AB=AC=2,BC=25AD=2.

BC

(1)證明：AC1BD-,

(2)求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值；

(3)在線段8。上是否存在一點(diǎn)P,使得直線PC與平面DCM所成角的正弦值為如？若存在，求空

6BD

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵正

3

(3)不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)由勾股定理得AB1AC,由平面ABC得AD，AC,從而AC,平面ABD,進(jìn)而得

出結(jié)論；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A3,AC,AO所在直線分別為羽％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCD與

平面DCM的法向量，利用向量夾角公式求解；

RP

(3)設(shè)——=X(0K2<1),則=48。，求得「(2-240,24),設(shè)直線PC與平面DCM所成角為0,

BD

,.PC-n

由題意sin3=cos{PC,n)=———，列式求解即可.

'/PC\\n

【小問(wèn)1詳解】

VAB=AC=2,BC=242,：.AB~+AC2=BC2-AABJ.AC,

：A￡)_L平面ABC,ACu平面ABC,，ADJ_AC,

VABryAD=A，A3,ADu平面鉆口,

AC_L平面

；3Du平面ABD，AAC.LBD.

【小問(wèn)2詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A5,AC,AT）所在直線分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),M(l,0,0),

BC=(-2,2,0),CD=(0,-2,2),CM=(1,-2,0),

設(shè)平面BCD的法向量為加=（七,另，4），

m-BC=-2玉+2%=0

令3=1,則M=1,Z]=1,m=(1,1,1)>

m-CD=-2yt+2z1-0

設(shè)平面DCM的法向量為〃=（々,必*2），

n-CD=-2y,+2z,=0

由彳'一，令%=1，則%=2,z?=1,n=(2,1,1),

n-CM=x2-2y2=0

/\m-n42^2

?COS(m,n)=-j—n~~r=―產(chǎn)———-------

'/“〃V3x^63

平面BCD和平面DCM夾角的余弦值為述

3

【小問(wèn)3詳解】

PP

設(shè)=A(O<^<1),則BP=A.BD>

BD

設(shè)P(x,y,z),則(%—2,丁/)=/1(-2,0,2),得x—2=—2X,y=0,z=2；l,

/.尸(2-22,0,22),PC=(22-2,2,-22),

平面DCM的法向量為“=（2,1,1）,

設(shè)直線PC與平面DCM所成角為夕，

/\PCn|22-2|76

由題意，sin。=cos(PC,n)=——n—=,=~,

'/PC”V8A2-82+8XV66

.?.42+1=0,此方程無(wú)解,

在線段8。上是不存在一點(diǎn)P，使得直線PC與平面DCM所成角的正弦值為逅.

6

20.已知拋物線C:y2=2/(p>0),過(guò)。的焦點(diǎn)尸且垂直于x軸的直線交。于不同的兩點(diǎn)P,Q,且

闋=4.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)〃(0,2)的直線/與。相交于不同的兩點(diǎn)A,3,N為線段A5的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且JL05

與△MQV的面積之比為6：1，求直線/的方程.

【答案】(1)>2=4%

(2)y=；x+2或y=-x+2

【解析】

【分析】(1)由題意可得直線P,Q方程，進(jìn)而可得|尸。=2,,可求得。值，即可得答案.

(2)設(shè)直線/的方程為y=Ax+2(左/0),聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得點(diǎn)N的橫坐

標(biāo)/，|人用，求出。到直線/距離d,由與△MON的面積的關(guān)系列式求出左，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

拋物線C：V=2px(0>0)的焦點(diǎn)《go],

則尸,。兩點(diǎn)所在的直線方程為：x=g,

代入拋物線C:y2=2px(p>0),得_/=/,y=±p；

則|PQ|=2夕=4,故夕=2,

拋物線C的方程為y2=4x.

【小問(wèn)2詳解】

由題意，設(shè)直線/的方程為y=Ax+2(左/。)，4(西,％),3(々,當(dāng))，

y=kx+2,,

聯(lián)立廣，，得左2^+（4左—4）x+4=0,

y=4x

A=（4左一4）2—16左②=—32左+16〉0,解得左且左w0,

4-4k4

Xx+X2=———,,

——一、ix,+x92-2k

點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為xN==2，

乙K

\AB\=J（l+左2）[（5+%）2-標(biāo)㈤=J（l+左2）[4^）2-1]=4?+k[Q-2k）一

,2

。到直線/距離i——不

4jl-2左

???一AOB的面積；I明?d=；X4W+）

2a--P-

L2?V1+

△MON的面積S△MON=,詠I=；x2x專(zhuān)學(xué)=三g,

由題意S#'S,MON'

_7I

.Z"2k=舟二#，整理得3尸+2左一1=0,解得左=彳或左=—1,

k2k23

中,左、右焦點(diǎn)為耳,月，四邊形片片生工是面

積為2的正方形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）若P是橢圓P上異于男,當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，判斷直線尸耳和直線尸員的斜率之積是否為定值？如果是，求出定

值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

2

（3）已知圓d+y2=§的切線/與橢圓c相交于2E兩點(diǎn)，判斷以DE為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果

是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

丫2

【答案】（1）—+/=1

2

（2）是定值，定值為-,

2

（3）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為（0,0）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列式求。，仇c,即可得橢圓方程；

（2）設(shè)P（%,%）,%W0,根據(jù)斜率公式結(jié)合橢圓方程分析求解；

（3）取特例x=±g可知定點(diǎn)應(yīng)為（0,0）,再對(duì)一般情況，利用韋達(dá)定理可得OC.。。=0,即可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

b=C\a=^2

由題意可得x2bx2c=2,解得,8=1,

2

2i2,2C—\

a—b+c〔

所以橢圓C方程為三+y2=l.

2

【小問(wèn)2詳解】

是定值，理由如下：

設(shè)W0,則，+y；=i,可得x；=2（l—y；）,

由（1）可知：4（0,—1）,5（0,1）,

%+1.>0T_y；T=y；_1=_j_

則kpB、’kpB?

/Xoxo20-端2,

所以直線PB］和直線PB2的斜率之積是定值.

【小問(wèn)3詳解】

由題意可知：圓好+丁=：的圓心為（0,0）,半徑為手,

因?yàn)殄耍?,可知圓產(chǎn)+丁=2在橢圓內(nèi)，可知切線/與橢圓c相交,

33

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€/與圓/相切，故切線方程為x=±Y5,