2023年浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷試題答案詳解

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

2023年12月3日9:00-11:00

注意：

①本卷不得使用計(jì)算器；

②報(bào)考A組的考生作答A卷(所有試題)，報(bào)考B組的考生作答B(yǎng)卷(前17題)；

③請(qǐng)考生按規(guī)定用筆，將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.

一、選擇題I(本題共4小題，每小題6分，共24分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要

求

的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.)

1.已知a,仇c為實(shí)數(shù)，則ac2>歷2是a>b的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A.

2.將一個(gè)袋子中所有的骰子全部拋出，并去掉點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的骰子，將點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的骰子再放回這個(gè)袋

子，稱為一次操作.現(xiàn)袋子中有2個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，重復(fù)以上操作，直到去掉所有的骰子.則操作次

數(shù)多于兩次的概率是

7967

A.—B.C.—D.—

1616RK

答案：A.

解：投擲2次骰子，0代表點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，1代表點(diǎn)數(shù)為偶數(shù),。/6{0,1},則有序數(shù)對(duì)(°,6)表示兩顆骰子的

奇偶性的情況，投擲一次有(0,0),(0,1),(1,0),(U),4種情況，投擲兩次骰子則有16種情況，枚舉可得投擲

一次或兩次結(jié)束操作的情況共有9種，所以不多于兩次結(jié)束的概率為W，所以操作次數(shù)多于兩次的概率

3.已知三棱錐尸-ABC,AB=AC=2,PA=J2,點(diǎn)尸在底面的射影為AABC的外心，二面角尸-BC-A

的大小為:，則三棱錐尸-ABC外接球的表面積是

A.4兀B.8兀C.12?！?久一

答案：B.

解：由P在底面的射影為△ABC的外心，得PA=PB=PC=0,

從而A尸±PB,AP±PC,所以A尸_L面尸BC.

取BC中點(diǎn)M,連尸M,A尸，得AP_L.

又，PMA為二面角尸-8C-A的平面角，得NPMA=—.

作尸"LAM于H,易知H為尸在底面的射影.

在^APM中，可計(jì)算得P”=~,AH=—.

22

又H為XABC的外心，得BH=CH=AH=之.

記三棱錐尸-ABC的外接球球心為O,則O在直線尸〃上.

(正尸(蟲(chóng))2

設(shè)P0=R,有居=(PH-埼+AH：得居=||乙-與+|(2)||解得R=j2.

因此，S表=4兀/?~=8兀.

4.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸A4i在x軸上.以4Al為焦點(diǎn)的雙曲線交橢圓

1Ap

于C,。,3,Cl四點(diǎn)，且|CD|=：|A4|.橢圓的一條弦4c交雙曲線于E,設(shè)片"

2EC

13

當(dāng)—<*<一時(shí)，雙曲線的離心率的取值范圍是

24

A.(U+月B.(2,1+0C.(1+反而D.(1,.國(guó))第4題圖

答案:B.

解答：設(shè)雙曲線方程為1=l,|A4J=2c,

ab

設(shè)(7(%,)0)(無(wú)0>O,JO>0),貝UlCD\=2x0=c,

由點(diǎn)C在雙曲線上，貝U二-/=1①

4ab

AEA-2A

又9=兒貝MiTP。

又點(diǎn)E在雙曲線上上匕-=I②

4a(X+l)(1+Xjb

由①②消去加得，e?=?=含1=(4,10),從而2<e(麻

另外，點(diǎn)C在以A4］為長(zhǎng)軸的橢圓上，必有|OC|<c,

C‘y2J-?

—r~~T—1>得到或=-~~-一二〃>。，有e>2.

4ab/

”,,222C2C2-4cf,

所以I0cl=為+%=—+-—行<c2.

得e4-8e2+4<0.

所以4-2..J；</<4+2八，由e>1得1<e<<+1.

2<e<l+Q

|AE|A

憶:=

因?yàn)榻稹?id，|AC|1+A

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第2頁(yè)(共11頁(yè))

AC=a+exc=-a+—=------貝！J入=—:=

2a2a2〃+ce+2

所以！<,-I<」，得2<e<.

2/+24

另一方面，」-￡-=1,所以光=土二今，又因?yàn)镮0C\<c,所以5+±也2</

4ab4。44a

所以l<e<l+,Q,綜上2<e<l+、C，選B.

二.選擇題H（本題共4小題，每小題8分，共32分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目

要

求的，全部選對(duì)的得8分，選對(duì)但不全的得3分，不選、有選錯(cuò)的均不得分.）

1，4,5，6

5.已知樣本數(shù)據(jù)尤起,西,工無(wú)尤的平均數(shù)是5,方差是1,則新樣本數(shù)據(jù)11，2%1+1,2x2+1,2x3+1，

2X4+1,2^5+1,2X6+1的

A.平均數(shù)是6B.平均數(shù)是11C.方差是=D.方差是4

答案：BC.

解：石+電+天+/+毛+/=30,￡）（X）二一一（二%）2二一工刀一5?=1.

61Ibi

.

所以±=156,所求平均數(shù)衛(wèi)這垃口J16

My==11

方差Q（D=!（1F++4\x,.+6）-ll2=—.

7，-ii7

法二：利用分層抽樣的平均數(shù)與方差的計(jì)算公式：

1X11+6x2x5+n122

亍=^=11,z）（y）=-{ix[O+（11-11）+6[4+（11-11）]}=—.

1+677

6.鉛酸電池作為電源被廣泛用于工業(yè)、軍事、日常生活中，研究得到鉛酸電池的理論容量（僅與電池本身

有關(guān)）數(shù)值K,放電時(shí)間數(shù)值f和放電電流數(shù)值/之間滿足經(jīng)驗(yàn)公式：K="t，/為與電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的

常數(shù)（稱為Pe欣e”常數(shù)）.現(xiàn)有甲、乙兩種不同的鉛酸電池，它們的Pe欣e〃常數(shù)分別為4,*2.對(duì)于甲種

鉛酸電池，當(dāng)放電電流數(shù)值為15時(shí)，放電時(shí)間數(shù)值為60；當(dāng)放電電流數(shù)值為50時(shí)，放電時(shí)間數(shù)值為15.乙

種鉛酸電池的理論容量數(shù)值為3078,當(dāng)放電電流數(shù)值為27時(shí)，放電時(shí)間數(shù)值為38.下面說(shuō)法正確的是

A.對(duì)于甲種鉛酸電池，當(dāng)放電電流數(shù)值為30時(shí)，放電時(shí)間數(shù)值不到30

B.對(duì)于乙種鉛酸電池，只要放電電流數(shù)值不超過(guò)54,放電時(shí)間數(shù)值可達(dá)16以上

C.甲種鉛酸電池的Peukert常數(shù)4小于乙種鉛酸電池的Peiikert常數(shù)上

D.甲種鉛酸電池的理論容量數(shù)值大于乙種鉛酸電池的理論容量數(shù)值

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第3頁(yè)（共11頁(yè)）

答案：AC.

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第3頁(yè)（共11頁(yè)）

解：對(duì)于甲，由15入，根60=弁，根15,得:口,=4,從而入=108戶4>1.

,tt15A根606060”…?.

對(duì)A,當(dāng)1=30時(shí)，t------T—=—j-<—二30,所以A正確.

3a2A2

4

對(duì)于乙，由27%根38=3078,得27%=81,從而入2=log2781=-

307830783819

對(duì)B,當(dāng)1=54時(shí)，t=~^=~=7=16,所以B錯(cuò)誤.

23根812323

442J

對(duì)c,比較%4與0的大小.因?yàn)閭?（根嘀f=i°g謂）>噫篇:=電罌“所以

3

1>logic4,所以C正確.

3

4,41、、口

對(duì)D,由4<耳，得50%根15<503根15=50*根50根15<4根50根15=3000<3078，所以口錯(cuò)誤，

故選AC.

7.在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

滿足ZPAB=7.PBC=ZPCA=9,稱點(diǎn)尸為4ABC的布洛卡點(diǎn)，角6為^ABC

的布洛卡角（如圖）.則

A.當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，布洛卡角6等于*

O

B.當(dāng)AABC是非等邊的等腰三角形時(shí)，布洛卡點(diǎn)P落在頂角的角平分線上

C.當(dāng)AABC是等腰Rt△時(shí)，布洛卡角6的正切值等于[

D.當(dāng)AABC是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，APAC與APBC的面積相等

答案：ACD.

解：A顯然正確.

對(duì)B,若P在頂角的角平分線上，則AAPB蕓A4PC,從而PB=PC,

可得ZPBC=ZPCB=ZPCA=ZPBA=ZPAB=ZPAC,

進(jìn)而有AABC為正三角形，矛盾.所以B錯(cuò)誤.

對(duì)C,建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Ml,o）,c（o/），記tan6二網(wǎng)上>0）,有

直線AP方程：y-kx,直線CP方程：丁=-2+1,

小

rAA，、.1

聯(lián)立AP,CP可得Hci,h二，從而凝p=￡八=y

+1A*>l）A_]

A*?I

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第4頁(yè)（共11頁(yè)）

又加=可箝。卜聾，所以67r巖

得2A3+2左-1=0,即(2尢-1)(產(chǎn)+1)=0,

因此，上=：，所以c正確.

對(duì)D,由選項(xiàng)C知，tan0=.

<2CA.CPsinQ

^PAC._____2CA.sin。sinS

又SPBC1CD.(71n).

—CB.CP.sinI/----UCB.sin[E--e

2I(4)1中』匚

_sin9_1_]

cos0-sinQ:_]'

Inn"

所以s.PAC~S-PBC，所以D正確.故選ACD.

(注：利用布洛卡角的一般結(jié)論cotB=cotA+cotB+cotC可直接得到選項(xiàng)C正確)

8.定義在R上的函數(shù)/'(X)同時(shí)滿足：①/(x+l)-/(x)=2x+2,xeR；②當(dāng)xe[0,l]時(shí)，|/(x)|<1.

則

A./(0)=-1B./(尤)為偶函數(shù)

C.存在〃eN*，使第⑺>2023〃D.任意xeR,\f(x)\<x2+|x|+3

答案：ACD.

解：對(duì)A,令x=0,可得/'(I)-/(。)=2,因?yàn)閤e[0,l],|/(x)|<1,所以

/(!)-/(0)=2<|/(1)|+|/(0)|<2

當(dāng)且僅當(dāng)*1)=1/(0)=-1時(shí)取等號(hào)，所以A正確;

對(duì)B,由川)=1,/(0)=-1,在①中令》=一1,得/(0)-/(-1)=0,所以/(-1)=一1子/(I),故/(x)

不可能為偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)C,7(2)-/(I)=4/(3)-f(2)=6,/(4)-/(3)=8,,/(?)-f(n-1)=2n

疊加可-/(I)=4+6++2〃=/+〃-2,所以/(〃)二〃2+H-2+/(1)=〃24-72-1

當(dāng)〃之2023時(shí)，必有/(〃)>/之2023〃，所以C正確;

對(duì)D,由①可+1)-(X+1)2-(九+1)=/(冗)一九2一X.令Q(x)=/(九)一d-X,則Q(%+1)=Q(X)對(duì)

xeR恒成立.因?yàn)轲郲0,1]時(shí)，。(%)|=|/(%)-/-冗|<|/(%)|+|爐+加<3.由Q(x+1)=Q(x)可得

|Q(x)|<3,xeR.所以|/(x)|=|Q(x)+f+x|<lQ(x)I+Ix2+x|<x2+|x|+3,所以D正確；

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第5頁(yè)(共11頁(yè))

故選ACD.

三、填空題(本題共6小題，每小題8分，共48分.請(qǐng)把答案寫在答題紙的相應(yīng)位置上.)

9.已知log3(log9x)=log9(log3x),則log3X的值是.

4.

(1)_____1_____

解:由題可得log3(2降')1二l°g3Jku.L所以31og3X=r，解得log3%=4或1083X二。(舍)，所以

log3x=4.

10.若函數(shù)y=二"二’(a,b,c,d,e=R)的圖象如圖所示，則〃+/?+c+d+e的值是------.

第io題圖

-2.

解析：由圖象知力=0/=2為/1(%)的漸近線，所以d=-2,e=0.

有因?yàn)閥=1為漸近線，所以。=1,所以/'⑴=二-"'」.

又因?yàn)?X1)=0,所以方+c=-1,所以〃+b+c+d+e=-2.

11.已知x，Mz均為正實(shí)數(shù)，xy+yz=1,則------+—的最小值是_________

x+y+zx+zy

答案：2人.

解：因?yàn)閷O+yz=1,所以。+z)j=1,令x+z=%,則(y=1.

5115

所以7^+不+q=77；+&+')>

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)卜于成

時(shí)取到，顯然，這樣的%,y,z存在.

所以——+—+1的最小值是24.

%+y+zx+zy

1(兀)

12.關(guān)于x的方程sin〃x=產(chǎn)=?(；,\|上恰有2023個(gè)解，則正整數(shù)〃的值是

答案：4(X5.

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第6頁(yè)(共11頁(yè))

解：令,=小，e（E詢,則原問(wèn)題等價(jià)于sin=、在（黑咽上有2。23個(gè)解.

由圖象可知，只有〃=必+1時(shí)，原方程才可能是奇數(shù)個(gè)解，否則為偶數(shù)個(gè)解.

(71)sinr二:有2023個(gè)解.

所以汜|(~2+2仇兀+4,|時(shí),

71)

又因?yàn)樯祝?E+2，2也+兀）|時(shí)，方程有1個(gè)解，所以/e（2E+兀,4E+兀）時(shí)有2022個(gè)解，所有區(qū)間長(zhǎng)度為

ion個(gè)周期，所以％=1011,所以〃=4045.

13.用C（A）表示集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義屋8二|。（4）-怎8）|.已知〃eR,函數(shù)/（x）=f+〃，集合

A={xeRI/（/（》））=無(wú)}.若集合2={1,2},且A*B=2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

答案:卜偽中傳叫

解：/（/（%））-X=（X2+[）2+4-X=（12+〃）2一幺+幺一冗+〃二（冗2_冗+Q）（12+%+1+0二。

若A*8=2,則。（5）=0或4.

（△1=1-<0?

①若曬=°'則卜=1_叱1）<。，解得。>丁

（△,=l-4a>01

②若C（8）=4,則（，解得-下面說(shuō)明四個(gè)根必不相同.

IA2=1-4（^+1）>04

若方程X2-X+〃=0,/+X+〃+1=0存在相同根，則兩式相減可得X=一）.

而方程x2+X+4+1=0的兩根的對(duì)稱軸為X=--,這與兩根不同矛盾，所以方程

(x2-x+?)(x2+x+a+1)=0有四個(gè)根.

綜上,ae+偽用1舊叫

14.若復(fù)數(shù)zi,Z2滿足|Z]+馬|=10,片+1|=4,則zf-zg+名|的最大值是

答案：56.

解:因?yàn)閨zf-Z]Z,+或1=13（彳+宕）-[（4+4）2|<3I彳+名1+'[Z]+馬F=56.

2222

當(dāng)Z]=-3」：+5i,Zj=3s+5i時(shí)取到等號(hào)，所以|z：-ZjZ2+考|的最大值是56.

四、解答題I（本題共3小題，第15、16題每題15分，第17題16分，共46分.）

15.如圖，直四棱柱ABCD-ApBiGA的底面是菱形，原1=4,9=2,經(jīng)胡。=60。.

（I）求異面直線AB.與Bg所成角的余弦值；

（II）已知P,。分別在直線AS，8G上運(yùn)動(dòng)，求尸,0兩點(diǎn)間距離的最小值.第15題圖

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第7頁(yè)（共11頁(yè)）

解：（I）連接r>G，顯然有A8//OG,所以AB】與BG所成角即經(jīng)。CQ.

易得。G=BCi=2ABD=2，所以cos經(jīng)r”=3二必=已，

9

所以異面直線A場(chǎng)與BG所成角的余弦值為正；

（II）由ABJ/OG可得ABJ/平面BCQ，P，。兩點(diǎn)間距離的最小值即直線A房到平面8G。的距離，可化為

點(diǎn)A到平面BCQ的距離.

由（1）可得sin經(jīng)。。盧=K,所以％,。=jK.

101

易得與=4,

=d

由匕-岫。^-ABD可得da-gD?S^BCQ=cx-ABD?^ABD,

dc「ABD?SABD-J34A7

解得dA-gD乜Q=而=^9"

所以P,2兩點(diǎn)間距離的最小值是嚕.

16.如圖，兩射線A,6均與直線/垂直，垂足分別為2E且。E=1.

點(diǎn)A在直線/上，點(diǎn)民C分別在射線小4上.

（I）若尸為線段3c的中點(diǎn)，求AF.AO的最小值；

（II）AABC為等邊三角形，求△ABC面積的取值范圍.

第16題圖

解：（I）

2

AF.AD=^(AB+AC).AD=.AD+AC.=\(AD+AE.

22|(|Y|'2

=1|AD+[AD+DE).AD=AD+-AD.DE^\AD+-DE'--DE

2[4J16

1一211

之--DE=--.當(dāng)ZM=-Z)E時(shí)取等.

16164

所以AF.AD的最小值為-J.

(II)解法1：

經(jīng)DAB=C,經(jīng)EAC=目AB=a.

(i)當(dāng)A在線段DE上時(shí)，C+/3='l,C=---

仁a[G2

則。E=AD+AE=acosC+acos0=1,

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第8頁(yè)（共11頁(yè)）

11「2月

a—-----------=----------zzI],-----

所以cosa+cosBfr]['3;

LCOSa--ILI

I”

(ii)當(dāng)A不在線段OE上時(shí)，不妨設(shè)A在。E的延長(zhǎng)線上，如圖

jr「兀)

W-a=-,a=|L0,-|.

則￡>￡1=AD-AE=acosa-4cos0=1,

]](2、.]

所以“=3$2_8$0=$融(@+']="(3'21.

綜上，。=[1,2],故%

4」

解法2：

建立坐標(biāo)系如圖，0(0,0),￡(0,1)，設(shè)A(0,a),2S,0),C(c,l)

則由題可得/+加=S-4+1=瓶+(a-I)2,

b1-d+2a

所以―

lb

2

所以0_C)2+I=)b_b2-1+[2(Z?+d-2a)

+1=+1=稼+"，

4Z?2

令f=a2+方,所以+1-t,即尸-4rt+4fl2+/=4"f,

4b2

可得/-4at+4r=4(r-a2)r,解得3t=4儲(chǔ)一妨+4.

又3。2=3t-3/=/—而+4=(〃-2)2>0.

b2—d+2cit—2d?+2a-2c^+勿+4_.

c=----------=-----------=------------->0,可/得l=-l<a<2.

2b2b6b

所以3/二4片一4〃+4=[3,12],所以，=[1,4].

所以5MBe=一口1S,不，,

4L4J

17.已知雙曲線C:y-x2=4,點(diǎn)&(25,4),直線y=履+1與雙曲線C的上，下兩支分別交于(異于

A點(diǎn))，直線4W,AN分別交x軸于P,。兩點(diǎn).

(I)設(shè)直線AM,AN的斜率分別為自&，求L+匚的值;

k]左2

(II)若M,N,P,Q四點(diǎn)共圓，求直線/的方程.

解：(I)設(shè)以)，W2,y2),設(shè)T(0,l),

2023年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第9頁(yè)(共11頁(yè))

(y=kx+1

將直線y=fci+1與雙曲線。聯(lián)立＜22，得(斤T*+2丘-3=0.

ly-x=4

一%—3

韋達(dá)定理得修+x2--―,而%2=7?1則

KT-1k-1

_1+J__X]%_232一(2JT-+3)8+7)+12QT2Q=生.口

kxk2he1-3+kx?-3l^xxx2-3%(%+x2)+912/？-93

(ID過(guò)7作元軸的平行線分別交ARA。于？,Q-

因?yàn)镸,N,P,Q四點(diǎn)共圓，則由切割線定理知|4"|.|4尸|二|42|.|4^|,又因?yàn)橛上嗨迫切蔚男再|(zhì)知

黑=今獸，所以|40|.|48|=|/囚|.|40］,即等價(jià)于M,N,P|，2四點(diǎn)共圓，所以只需滿足

IIIAQ|

\MT\.\NT\=\PlT\.\QlT\.

由(1)知|MT|.|NT口(1+好)|x用|=30+〃),其中左>1|