廣東省惠州市綠苑中學2023-2024學年高三數學文模擬試卷含解析

廣東省惠州市綠苑中學2023年高三數學文模擬試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.拋物線的弦與過弦的斷點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米

德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的斷點的來兩條切線的交

點在其準線上，設拋物線丁=,弦」點過焦點，工產「且其阿基米德三角

形，則山必「的面積的最小值為（）

P2

A.2B.P1C.2/D.4/

參考答案：

B

略

2.設a-f,"-"專，?點，則（）.

A.a>b>cB.c>b>ac.a>c>b

D.c>a>b

參考答案：

D

解：（。叫I嗚c■近>1,

：.c>a>b.

故選D.

3.設”=（2,3）”=（~47）,則］在占上的投影

為......................（）

姮叵

(A)岳(B)~(C)"I"(D)

765

參考答案：

C

4.按如下程序框圖，若輸出結果為S=170,則判斷框內應補充的條件為

()

A.i>9B.C.D.i>5

參考答案：

c

略

5.(多選題)在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為

難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法錯誤的是()

A.此人第二天走了九十六里路

B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.

1

C.此人第三天走的路程占全程的公

D.此人后三天共走了42里路

參考答案：

C

1

由題意可知，每天走的路程里數構成以5為公比的等比數列，由S6=378求得首項，再由

等比數列的通項公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案.

6.若集合4=a|/<9）.B=（y|31y+1>0）,則集合M=｛xeMxe4（18）子集的個

數為（）

A.2B.4

C.8D.16

參考答案：

C

7.某程序框圖如圖2所示，現(xiàn)將輸出（x」'）值依次記為：（X],乂）,（X：），…，（。JJ，-

若程序運行中輸出的一個數組是卜「1°），則數組中的X=

槌2

A.32B.24C.18D.16

參考答案：

A

8.設等差數列｛斯｝的前〃項和為S〃，若與4="，則W

A.21B.22C.23D.24

參考答案：

A

由題意SnF與<=15,3,..R7a,21

故選A.

9.設函數/a)=sin3x+acos3r(awR)滿足"勺十"，則」的值是

(A)3(B)2(C)1

(D)0

參考答案:

D

10.在如圖所示的算法流程圖中，輸出S的值為(

A.11B.12C.13D.15

參考答案:

B

本題主要考查流程圖.由流程圖可知,S=3~+5=12故選B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

I4

-+—._

11.已知一°，.."°"、°，加，?=Lr，的最小值為16,則〃的值為

參考答案:

4

12.已知函數y=f(x)是R上的偶函數，對于任意x￡R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成

f(Xi)-f(Xn).

----=....->0

XX.給出下列命題:

立，當Xi,X2E[0,3],且XiWx?時，都有1~2

①f(3)=0；

②直線x=-6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸;

③函數y=f(X)在［-9,-6］上為增函數;

④函數y=f(x)在［-9,9］上有四個零點.

其中所有正確命題的序號為(把所有正確命題的序號都填上)

參考答案：

①②④

【考點】函數的零點；函數單調性的判斷與證明；函數的周期性；對稱圖形.

【專題】綜合題；壓軸題.

【分析】(1)、賦值x=-3,又因為f(x)是R上的偶函數，f(3)=0.

(2)、f(x)是R上的偶函數，所以f(x+6)=f(-x),又因為f(x+6)=f(x),

得周期為6,

從而f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸

(3)、有單調性定義知函數y=f(x)在［0,3］上為增函數，f(x)的周期為6,所以函

數y=f(x)在［-9,-6］上為減函數.

(4)、f(3)=0,f(x)的周期為6,所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0.

【解答】解：①：對于任意xGR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，令x=-3,則

f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因為f(x)是R上的偶函數，所以f(3)=0.

②：由(1)知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期為6,

又因為f(x)是R上的偶函數，所以f(x+6)=f(-x),

而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),

所以：f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸.

Xx

③：當xi,x2e［0,3］,且XiWxz時，都有1-2

所以函數y=f(x)在［0,3］上為增函數，

因為f(x)是R上的偶函數，所以函數y=f(x)在［-3,0］上為減函數

而f(x)的周期為6,所以函數y=f(x)在［-9,-6］上為減函數.

④：f(3)=0,f(x)的周期為6,

所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0

函數y=f(x)在［-9,9］上有四個零點.

故答案為：①②④.

【點評】本題重點考查函數性質的應用，用到了單調性，周期性，奇偶性，對稱軸還有賦

值法求函數值.

13.已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為,最長棱的棱長

為.

正視圖側視圖

俯視圖

參考答案：

8,2710

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】計算題；數形結合；數形結合法；立體幾何.

【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是側面垂直于底面的三棱錐，畫出圖形，結

合圖形求出它的體積與最長的棱長即可.

【解答】解：根據幾何體的三視圖，得；

該幾何體是側面PABL底面ABC的三棱錐，如圖所示；

過點P作POLAB,垂足為0,

則P0=4,

11

三棱錐P-ABC的體積為互x/x6X2X4=8；

三棱錐P-ABC的各條棱長為AB=6,BC=2,AC=V6^+22=2V10,

222

PA=V4+2=2A/5,PBH42+42=4次,pc=72+（4近）%；

所以最長的棱是AC=26.

故答案為：8,2710

p

【點評】本題考查了空間幾何體三視圖的應用問題，解題的關鍵是根據三視圖得出幾何體

的結構特征，是基礎題目.

14.若非零向量滿足施則Z與石的夾角為.

參考答案：

12郡

略

15.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.

參考答案：

24-jr

由三視圖可知，該幾何體為邊長為2正方體.CD-/跟《。'

i

挖去一個以“為圓心以2為半徑球體的8,如圖.故其表面積為24-3席+2<-24-1

D'

a

G—j+YT=Ki>>0）C）--j-+YF*l（?a>b3>0）

16.若橢圓蟲外和苗可是焦點相同且

3>旦

%,。2的兩個橢圓，有以下幾個命題：①G.C'；一定沒有公共點；②七與；

③胃；④%?出一軌其中，所有真命題的序號為0

參考答案：

①③④

略

17.用數字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上

的數字之和為偶數的四位數共有個（用數字作答）.

參考答案：

324

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分12分）

2

ai=且a

等比數列（%；的前"項和為工,I,S+5^=1

（1）求數列的通項公式;

1

、4=iog3M

⑵記4,求數列41*2的前”項和4.

參考答案:

2?1,

a.=—1+―%=1

解：（1）設等比數列的公比為勺，由題意13,223，所以

2,2,12,1

—+一——<?=10=一

3323，即3,

(6分)

31

logj—=iog3y=-2萬

4

11

--=------------------------=----------=--—-------a—(——-

所以由,2力2(況+2)4n(n?2)8n

71=+——--------------+-----------)=—(1+---------------------

81324?-1”+1nn+282x+1?+2

、

=—1（,3———1,--11

82%+1n4-2.（12分）

19.某經銷商計劃經營一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)，該商品每日的銷售量y（單位:千克）與銷售

價格X（單位:元/千克,1<工《12）,滿足:當1<XW4時，萬一1（”力為常數）;當

__y---------100

4<xW12時，x.已知當銷售價格為2元/千克時，每日可售出該特產800千克;

當銷售價格為3元/千克時，每日可售出150千克.

（1）求的值,并確定y關于x的函數解析式；

（2）若該商品的銷售成本為1元/千克，試確定銷售價格x的值,使店鋪每日銷售該特產所獲

利潤/（*）最大（、耳?265）

參考答案：

（1）由題意：工=2時y二??\

.-.a+*=800,

又?；x=3時>=150,

匕=300,可得a=500,+2分

X+4分

500(工卬(工一1)+3001<JC44

<x412

(2)由題意：X+5分

當1<XW4時,

/(x)-500(x-3)2(X-1)+300-500?-3500/+7500x-4200

7(i)=500Pr-5Xr-^

,55,

由八<)>°得<X<3g^3<x<4由八"<0得，<r<

所以/(*)在上是增函數，在(戶上是減函數

/(5)=*???450<7(4)=1800.,z、

因為"9所以工=4時,/U)的最大值為1800+8分

當4<x412時，

28002800匚

/(月=(——TOQXf900-(Igr.竺竺與42900400/78]?40

xx

1QOr2W0

當且僅當一彳~,即x=2行婚53時取等號，

.?.x=53時有最大值l&U).?.T8OO<1MO,+11分

.?.當x=5_3時/8有最大值1&I0,

即當銷售價格為5.3元的值，使店鋪所獲利潤最大.+12分

a

20.已知函數f(x)=x-x-Inx,a>0.

(I)討論f(x)的單調性；

(II)若f(x)>x-x°在(1,+8)恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案：

【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用.

【分析】(I)由已知中函數的解析式，求出函數的定義域，求出導函數，分0<a

兩種情況，分別討論導函數的符號，進而可得f(x)的單調性；

(II)若f(X)Ax-X?在(1,+8)恒成立，則f(x)-x+x'o在(1,+8)恒成

立，即aVx^-xlnx在(1,+°0)恒成立，令g(x)=x3-xlnx,分析g(x)的單調性，

進而可將問題轉化為最值問題.

a

【解答】解：(I)函數f(x)=x-x-Inx的定義域為(0,+8),

2

a]xx+a

2—2

且f'(x)=1+X-x=X

①當△=1-4aW0,即a24時，

f'(x)20恒成立，

故f(x)在(0,+8)為增函數.

②當△=l-4a>0,即0<a<4時，

1-也-4a1+V1-4a

由f'(x)>0得，x2-x+a>0,即xG(0,2),或xG(2,

+8)

1-也—4a1+41—4a

由f'(x)V0得，x2-x+a<0,即x￡(2,2)

1—也—4a1+加—4a

???f(x)在區(qū)間(0,2),(2,+8)為增函數；

1-[1—4a1+[1—4a

在區(qū)間(2,2)為減函數.

(II)若f(x)>X-X?在(1,+8)恒成立，

2-且7nx

則f(x)-x+x2=x>0在(1,+8)恒成立，

即aVx^-xlnx在(1,+°°)恒成立,

令g(x)=x3-xlnx,h(x)=gz(x)=3x2-Inx-1,

A16x2-1

6x——------------

貝l]h'(x)=x=x

在(1,+8)上，h'(x)>0恒成立，

故h(x)>h(1)=2恒成立，

即g'(x)>0恒成立,

故g(x)>g(1)=1,

故0<aWl,

即實數a的取值范圍為(0,1].

21.已知山｝是一個公差大于0的等差數列，且滿足"^"5,%+%=14.

(I)求數列的通項公式；

&+%++組=+

(II)若數列滿足：22…V~a*求數列口｝的前N項和.

參考答案：

解：(I)設等差數列(％)的公差為d,則依題設d>0.

由的+。6=14,可得々=7.

由"=45,得。-d)(7+d)=45,可得*=2.

所以的=7?M=1.

可得％=.......................6分

c=4

(□)設"2"，則可+弓+…+G=4+1.

即G+J+…+q=2'

可得q=2且q+q+…+q+G“=25+D

所以-2,可知q*25eN*).

所以公=*',

所以數列是首項為4,公比為2的等比數歹！J.

4。-2*)

=2**3-4

所以前為項和1-213分

仇)中?%=0.%“=一一.

22.(14分)已知數列2-公

,?\

1

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