2023-2024學(xué)年天津市高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年天津市高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：(每小題5分，共計50分)

1+i

1.復(fù)數(shù)4+3i的虛部是()

1.11.

A.—1B.—C.-----1

252525

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可得」R=2+1-i,根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義理解.

4+3i2525

1+i(l+i)(4-3i)7+i71.

【詳解】試題分析:--=-----=--=--1-1則虛部為――

4+3i25252525

故選：B.

2.下列向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底的是()

A.α=(0,0)J=(l,2)B?Z=(5,7),B=(T,2)

C.M=(3,5),B=(6,10)D.5=(2,-3)J

【正確答案】B

【分析】根據(jù)平面向量基底的含義，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，判斷各選項中向量是否共線，即可得

答案.

【詳解】對于A,4=(0,0)為零向量，與B=(l,2)共線，

不能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底，A錯誤；

對于B,由5x2-7x(-I)HO可知￡=(5,7),B=(-1,2)不共線,

故能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底，B正確；

對于C,由于3x10-5x6=0,故M=(3,5),5=(6,10)共線,

不能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底，C錯誤；

對于D,由于2x3—(—3)x(—3=0,故1=(2,—3)花=(一上:共線,

42I24J

不能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底，C錯誤;

故選：B

3.斜四棱柱側(cè)面中矩形的個數(shù)最多可有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【正確答案】B

【分析】根據(jù)斜四棱柱的幾何特征，進(jìn)行判斷，可得答案.

【詳解】由于在斜四棱柱的底面中最多有兩條平行的對邊和側(cè)棱垂直，其余一組對邊不和側(cè)棱垂直，

故此時^四棱柱的側(cè)面中最多有2個側(cè)面為矩形，且這兩個側(cè)面為相對的面，

其余一組相對的側(cè)面不可能為矩形，

故選：B

4.側(cè)棱長為2的正三棱錐，若其底面周長為9,則該正三棱錐的體積是（）

?9√3r3√3r3√3n9√3

2424

【正確答案】B

【分析】由底面周長可求出/8,進(jìn)而可求出CO,再由勾股定理即可求出三棱錐的高，利用棱錐的

體積公式即可求體積

【詳解】如圖：取Z8中點(diǎn)O,連接C。，過點(diǎn)S作S。，平面力BC交底面于點(diǎn)O,

?.?S-ZBC為正三棱錐，

.:S在平面/8C上的射影為“BC的中心。，所以。在8上.

SC=2,底面/BC周長為9,.?.Z8=3,

.-.CD=-,CO=√3-

2

所以三棱錐的高SO=JSC2一CO2=1,

V_1C,S_11236一3百

vS-ABC-?s^ABC×SO=~×-×3×-y-X1=—^―.

B

故選：B.

5.已知球的內(nèi)接三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長度分別為3cm,2cm和J5cm,則此球的體積為

()

?坦3府C.?enem?D.必兀cn?

B.3

-3333

【正確答案】D

【分析】由題，得三棱錐的外接球，即長寬高分別為3cm,2cm和JJCm的長方體的外接球，求出長

方體外接球的體積，即可得到本題答案.

【詳解】由題意可得，球的內(nèi)接三棱錐即三棱錐的外接球即長寬高分別為3cm,2cm和JJcm的長方

體的外接球，

又長方體的體對角線長為外接球的直徑，

所以球的半徑K=J于二把@丫_=9=2，

22

432

球的體積為％=—兀H?=Ξ-πc∏√.

33

故選：D.

Γ,

6.關(guān)于X的方程/-χ?cos4cosB-cos2—=O有一根為1,則“BC一定是（）

2

A.等腰三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

【正確答案】A

【分析】將1代入，根據(jù)二倍角公式和兩角差的余弦公式，整理可得

cosτlcosjS+sinTlsinB=I,即cos(4-B)=l,根據(jù)角的范圍，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為1是V-X?cosA?cosB-cos2—=0的根，

2

-7C

所以I-cosA?cosB一cos2—=0,

2

乂co/C_1+cosC_l-cos(4+8)_1+-COSZCOS8+sinZsinB

2^^2—2^2+~

所以有，2—2cosAcos5-1+cosAcos8—sin/sin8=0,

整理可得，cosAcos5+sin√4sinB=1,即cos(∕-8)=1.

因為，O<Z<τι,0<B<π,所以一兀</一8<兀.

則由CoS(Z-8)=1可得，A-β=O,所以Z=B.

所以AABC一定是等腰三角形.

故選：A.

Tl

7.ZUBC中，/=］，BC=3,則A∕8C的周長為()

A.4√3sin(5+^)+3B.4√3sin(5+?)+3

36

JTJT

C.6sin(6+-)+3D.6sin(8+-)+3

36

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理分別求得ZC和/8,最后三邊相加整理即可得到答案.

BCACBCAB

【詳解】根據(jù)正弦定理

SinAsinBSinA5zn(120o-S)

RrRr

AC=sinB------=2yJ3sinB,AB=sin(120°-B]------=3cosB+y∕3sinB,

sinASinA

；.AABC的周長為2>J^sinB+3cos6+y∕3sinB+3=6sin(.B+-)+3.

6

故選D.

本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題.

2

8.在等邊^(qū)ABC中，P為BC上一點(diǎn)，。為ZC上一點(diǎn)，且ZAPD=60°,8。=1,CD=—,則ABC

3δ

的邊長為()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】A

BP_ABIX

【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)/8C的邊長為X,易得AABP?APCD,故皮=正=2=二T,

3

解方程即可得出答案.

【詳解】設(shè)/BC的邊長為X,因為A48C是等邊三角形，

所以NOCP=NPBZ=60°,

因為NNPC=NZP0+ZDPC=NBAP+NABP,ZAPD=60°,

所以ABAP=ZCPD,所以?ABPfPCD.

BP_ABJ____X__

所以而一正=2—嚏二I，解得?x=3

3

即“8C的邊長為3.

故選：A.

1+i,

9.已知Z=一]^,貝∣J]+z，。+z∣°°=（）

A.3B.1C.2+iD.i

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方可得i=3結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)計算，可得答案.

【詳解】由題意得Z?i-=-l,i4=1>

故l+z5°+Z∣°°=l+z2x25+z2×5°=l+i25+i5°=l+i-l=i,

故選：D

10.如圖，在“BC中，CM=2MB,過點(diǎn)M的直線交射線ZB于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)若

NR=加前,10=〃祝，則加+〃的最小值為（）

A.3B,2√2C.1+幺一D.√3

3

【正確答案】C

【分析】首先根據(jù)的向量的幾何意義，利用P,M,。三點(diǎn)共線，得出加，〃的關(guān)系，利用基本不

等式求最小值.

【詳解】解：因為西=2麗，所以麗=g元，

又萬=S萬，AQ=IiAC.ιn>0n>0

1——1—.一

所以一∕P=∕8,-AQ=AC

mn

所以而=方+兩=方+■!■前

3

—■1—■—.2—1—2—■1—.

=AB+-{AC-AB)=-AB+-AC=——AP+—AQ,

3333m3〃

21

因為尸，M,。三點(diǎn)共線，所以一+—=1,

3m3〃

2I

所以加+〃=(/%+〃)」=(加+〃>——十一

3加3〃

2nm-C—+2X也=1+逑

=l1÷—+—≥l+2

3m3n3M33

當(dāng)且僅當(dāng)非弋’即W=缶=芋時取等號;

故選：C.

二、填空題：(每小題4分，共計20分)

11.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二色為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。為

2-Z

【正確答案】2

【分析】把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的分類求解.

1+di(l+4i)(2+i)2+i—2β∕+cιi~2—a1一2a.

【詳解】-----=-------------=---------------=------1---------1,

2-Z(2-i)(2+i)555

2—a1—2a

它為純虛數(shù)，則三上=0且一y±Nθ,解得α=2.

故2.

12.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120°的扇形，則這個圓錐的高為.

【正確答案】20

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的面積計算圓錐的底面半徑，再運(yùn)用勾股定理求解圓錐的高即可.

I2θπ?×3

【詳解】圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為/=-------=27，圓錐的底面半徑r=2%+2%=l,

180

根據(jù)題意圓錐的母線長為3

該圓錐的高∕2=療二7=療二R=2J5.

故答案為.2近

13.在&45C中,內(nèi)角48,C的對邊分別是α,b,c,若+廬=4α+2b-5?S,a2=b2+c2-be>則

sin5=.

【正確答案】且##LJJ

44

【分析】由已知條件配方可求得α=2,b=l,再利用余弦定理求得Z=g,再用正弦定理可求得答案.

【詳解】由/+=4α+2b—5得（?！?）~+（力—1）~=O,

故。=2,6=1,

由=〃+C2-be得CoSz=b+：—=?，

2bc2

π

由于Ze（O,n）,.?./=§,

也

貝IJQb.n6sinZ?6，

-——=-——,Λsι∏β=-------=-^=——

sinASinBa24

故電

4

14.給出下列命題：

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②在四棱柱中，若底面為正方形，則該四棱柱為正四棱柱；

③存在每個面都是直角三角形的四面體；

④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).

其中正確命題的序號是.

【正確答案】③④

【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的概念對選項進(jìn)行一一判斷.

【詳解】①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；

②不正確，若底面為正方形的直四棱柱為正四棱柱；

③正確，如圖，正方體力BCD—44中的三棱錐G—/Be,四個面都是直角三角形;

④正確，由棱臺的概念可知.

故③④

15.如圖，直角梯形ZBCD中，ADlDC,ADHBC,BC=2CO=2/。=2,若將直角梯形

繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為.

【正確答案】(3+J5)乃；

【詳解】幾何體為一個圓錐與圓柱的組合體，表面積為

πrl+2πrh+πr1=%χ1χ6+2"χlχl+;TXl=y∣2π+3π

點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法

(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系

及數(shù)量.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

三、解答題：(共3小題，共計30分)

16.設(shè)關(guān)于X的方程-―(tan6+i)x-(2+i)=0,若方程有實(shí)數(shù)根，求銳角。和實(shí)數(shù)根.

TT

【正確答案】銳角。=τ，實(shí)數(shù)根4=7.

【分析】先將原方程化為χ2-χtan6-2-(x+l)i=0,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得出左邊復(fù)數(shù)的實(shí)部

與虛部都為0,列出方程組解出答案即可.

【詳解】設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為“,則/一0211。+。?！?2+。=0,

,?a1-ɑtan2=O,八，

即/—々tan?！?-(α+l)i=0,所以《,解得α=-I,tan6=1,

(2+1=0

TT

又因為。為銳角，所以夕=—.

4

TT

所以銳角6=上，實(shí)數(shù)根。=-1.

4

17.設(shè)點(diǎn)。是“8C的外心(外接圓圓心)，48=13,ZC=I2,求就.就的值.

【正確答案】—上25

2

【分析】可畫出圖形,并將。和4C中點(diǎn)。相連,。和48的中點(diǎn)E相連,從而得到CDCACQE-AB,

根據(jù)數(shù)量積的計算公式及條件可得出言?就=72,前?方=等，而就?前=茄?(就-而)，即

可得出衣?品的值.

【詳解】如圖，取/C中點(diǎn)。，中點(diǎn)E,并連接O。，OE,

則ODAC,OEAB,

.?.AO-ACAC^—=12,AO-AB-AB