2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-全等三角形的五種模型（講+練）（解析版）

專題06全等三角形的五種模型

全等三角形的模型種類多，其中有關(guān)中點的模型與垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細的講解,

這里就不在重復(fù)。

模型一、截長補短模型

①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。

如圖所示，在BF上截取BM=DF,易證aBMC也ZkDFC(SAS),則MC=FC=FG,

ZBCM=ZDCF,

可得△MCF為等腰直角三角形，又可證NCFE=45。，ZCFG=90°,

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF,于是

BF=BM+MF=DF+CG.

②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。

如圖所示，延長GC至N,使CN=DF,易證ACDF絲Z\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,NDFC=NBNC=135。，

又知/FGC=45。，可證BN〃FG,于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

A.-------------------.D

B”\\一-々E

N

例1.如圖，0ABC中，如=2酎，蜘CB的平分線CD交A8于點D,已知AC=16,8c=9,貝8。

的長為()

【答案】B.

【詳解】解：如圖，在C4上截取CN=CB,連接DN,

,cr>平分ZACB,:"BCD=ZNCD,

CD=CD,：qCBgjCND（SAS）,:.BD=ND,4B=4CND,CB=CN,

BC=9,AC=16,：.CN=9,AN=AC-CN=7,

ZCND=ANDA+ZA,:./B=NNDA+ZA,

ZB^2ZA,:.ZA^ZNDA,:.ND^NA,..BD=AN=7.故選：B.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在ELA8C中，AB=BC,aABC=60",線段AC與A。關(guān)于直線AP對稱,

E是線段BD與直線AP的交點.

（1）若回DAE=15。，求證：加8。是等腰直角三角形；

（2）連CE,求證：BE=AE+CE.

【答案】（D見解析；（2）見解析

【詳解】證明：（1）回在幽BC中，AB=BC,幽8c=60。，皿BC是等邊三角形，

SAC=AB=BC,0B4C=EMBC=ELACB=6O",

13線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，33CAE=WAE=15",AD=AC,

EB8AE=EI8AC+G1CAE=75°,00BAD=9O。，ELAB=AC=AD,團04BD是等腰直角三角形;

（2）在BE上取點F,使8F=CE,連接AF,

回線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，^EACE=^ADE,AD=AC,

SAD=AC=AB,aL4D8=EM8D=EMCE,

AC=AB

在幽8下與回48中，"ZACE=ZABF,I3EW8用MCE(SAS),^AF=AE,

CE=BF

SAD=AB,豳。=朋8。，又I3CAE=(3DAE,

回NAEB=NO+ZDAE=g(NO+NABD+ZDAC)=g(180。-NBAC)=60。，

團在EL4FE中，AF=AE,l?MEF=60°,0EWFE是等邊三角形，BAF=FE,

BBE^BF+FE=CE+AE.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在團ABC中，0ACB=aABC=4O°,BD是EIABC的角平分線，延長BD至點

E,使得DE=DA,貝胞ECA=.

【答案】400

【詳解】解：在BC上截取BF=AB,連接DF,

-0ACB=EIABC=4O°,BD是13ABe的角平分線，，E)A=：IOO。，回ABD=EIDBC=20°,

.■.0ADB=6O0,0BDC=12O°,

BD=BD,???0ABD0I3FBD,

DE=DA,；.DF=AD=DE,E1BDF=G1FDC=B]EDC=6O°,0A=0DFB=1OO0,

DC=DC,/.ElDECBiaDFC,

ZDCB=ZDCE=ZDFC-ZFDC=100°-60°=40°；

故答案為40°.

【變式訓(xùn)練3】已知四邊形ABC。是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點與A點重

合，將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC,CD于M,N.

⑴如圖1,當(dāng)M,N分別在邊8C,8上時，求證：BM+DN=MN

⑵如圖2,當(dāng)M,N分別在邊BC,C。的延長線上時，請直接寫出線段8M,DN,MN之間

的數(shù)量關(guān)系______________

⑶如圖3,直線AN與BC交于P點，MN=10,CN=6,MC=8,求CP的長.

【答案】（1）見解析；（2）BM-DN=MN-,（3）3

【詳解】（1）證明：如圖，延長CB到G使BG=￡>N,連接AG,

倒四邊形A8CD是正方形，^\AB=AD,ZABG=ZADN=ZBAD=90°,

AB=AD

在，ABG與中，，NABG=ZADN,?.△AG的zMND(SAS),AG^AN,

BG=DN

NGAB=NDAN.

ZMAN=45°,ZBAD=90°,0^DAN+ZBAM=zLBAD-AMAN=45°,

NGAM=NGAB+NBAM=ADAN+NBAM=45°,ZGAM=NNAM,

AM=AM

在，AMN與二AMG中，<ZGAM=NNAM,:./\AMN^/^AMG(SAS),,-.MN=GM,

AN=AG

乂B1BM+GB=GM,BG=DN,:.BM+DN=MN；

(2)BM-DN=MN,理由如下：

如圖，在上取一點G,使得3G=￡>N,連接AG,

回四邊形A8CD是正方形，^AB=AD,ZABG=ZADN=ZBAD=900,

AB=AD

在4ABG與中，］ZABG=ZADN,:.AAGB^/\AND(SAS),

GB=DN

,*.AG=AN,AGAB=ADAN,團NG4B+NG4r>=ZZ^V+NGAZ),⑦NGAN=/BAD=90。,

又］NMAN=45°,/.ZGAM=ZGAN-^MAN=45°=AMAN,

AM=AM

在與?AMG中，ZGAM=ZAMM,/.Z^AMN^Z^MG(SAS),:.MN=GM,

AN=AG

又⑦BM-BG=GM,BG=DN,?BM-DN=MN,

故答案為：BM—DN=MN,、

(3)如圖，在。N上取一點G,使得DG=3M,連接4G,

團四邊形ABCD是正方形，

團AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ABAD=90°,ABI/CD.

AB=AD

在&ABM與，A0G中,<ZABM=ZADG,AABMgAAOG(SAS),AM=AG,

BM=DG

ZMAB=ZGAD,

0ZA4AB+ZBAG=ZGAD+ZBAG,團NM4G=N而。=90。，

又?ZM47V=45。，/.Z.GAN=ZMAG-ZAWV=45°=ZMAN,

AM=AG

在、AMN與，AGN中，ZMAN=ZGAN,:.4AMN94AGN(SAS),.?.MN=GN=10,

AN=AN

設(shè)DG=BM=x,0CN=6,MC=8,

E1DC=ZX7+G/V-C7V=x+10-6=x+4,BC=MC-BM=8-K,

國DC=BC,0x+4=8-x,解得：x=2,⑦AB=BC=CD=CN=6,

團AB〃CO,田/BAP=NCNP,

Z.APB=NNPC

在AAB尸與二NCP中，</BAP=4CNP,「.AABg△NCP(AAS),.\CP=BP=-BC=3f

AB=CN

iacp的長為3.

模型二、平移全等模型

例.如圖,在ELABC和?DEF中，B,E,C,F在同一條直線上，AB//DE,AB=DE,EL4=0D.(1)

求證：&ABC四一DEF;(2)若BF=11,EC=5,求BE的長.

【答案】⑴見解析；（2）BE=3.

【詳解】（1）證明：0AB0DE,00ABe=EIDEF,

NA=NO

在I3ABC和團DEF中｛AB=DEEBABCEBDEF(ASA)；

ZABC=ZDEF

(2)解：EEABC02DEF,0BC=EF,回BC-EC=EF-EC,即BE=CF,

團BF=11,EC=5,0BF-EC=6.0BE+CF=6.BBE=3.

【變式訓(xùn)練1】如圖，AB//CD,AB=CD點E、F在BC上，且BF=CE.

(1)求證：0ABE00DCF(2)求證:AE〃DF.

【答案】(D見詳解；(2)見詳解

【詳解】證明：(1)SABSCD,0ZB=ZC.

SBF=CE,0CF+EF=BE+EF,QBE=CF,

M8=CD,◎△ABE0△￡>CF(SAS)；

(2)由(1)可得：△ABEWADCF，?ZDFC=ZAEB，

0ZDFC+ZEFD=180°,ZAEF+ZAEB=180°,0/EFD=/AEF,置AE//DF.

【變式訓(xùn)練2】如圖，已知點C是AB的中點，CD0BE,且CD=BE.

(1)求證：E1ACD回回CBE.(2)若NA=87°,N。=32°,求I3B的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）61

【分析】（1）根據(jù)SAS證明BACDE0CBE；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得團ACD,再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到回BWACD.

【詳解】（1）女是AB的中點，0AC=CB,0CD//BE,BZACD=ZCBE,

AC=CB

在EIACD和EICBE中，<NACD=NCBE,0MC￡>=\CBE；

CD=BE

（2）0ZA=87\ZD=32°，

回ZACD=180°-ZA-ZD=180n-87°—32°=61°，

又團AACDMACBE,（3ZB=ZACr>=6f.

模型三、對稱全等模型

（1）求證：RtBABCHRtEIDEF；（2）若0A=51。，求團BOF的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）78°

【詳解】（1）證明：0AE=DB,?AE+EB=DB+EB,即AB=DE.

X0EIC=0F=9OO,AC=DF,0Rt0ABCI?lRt0DEF.

（2）H3C=90°,EIA=51°,00ABC=I3C-0A=9O°-51O=39,.

由（1）知RtiaABCHRtODEF,03ABC=EIDEF.00DEF=39°.

H3BOF=l3ABC+l3BEF=390+39°=78°.

【變式訓(xùn)練1】如圖，EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,ZE=ZF=909,ZB

=NC,AE=AF,給出下列結(jié)論：①Nl=/2：②BE=CF；③△ACNgZXABM；④CD=

DN.其中正確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解答】B

【解析】：/E=/F=90。，NB=/C,AE=AF,AAABE^AACF,；.BE=CF,

VZBAE=ZCAF,ZBAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,AZ1=Z2,

.,.△ABE^AACF,;./B=/C,AB=AC,又；/BAC=/CAB,.,.△ACN^AABM,

④CD=DN不能證明成立，，共有3個結(jié)論正確.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB=AC,BE_LAC于E,CF_LAB于F,BE,CF交于D,則以下結(jié)

論：①△ABE^Z^ACF；②△BDFg^CDE；③點D在NBAC的平分線上.正確的是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【解答】D

【解析】：BE_LAC于E,CF_LAB于F,/.ZAEB=ZAFC=90°,

VAB=AC,NA=NA,/.AABE^AACF（第一個正確），/.AE=AF,；.BF=CE,

VBE±AC于E,CF±AB于F,ZBDF=ZCDE,/.△BDF^ACDE（第二個正確），Z.

DF=DE,

連接AD,VAE=AF,DE=DF,AD=AD,AAED^AAFD,

，/FAD=NEAD,即點D在NBAC的平分線上（第三個正確）.

模型四'旋轉(zhuǎn)全等模型

若EICAE+ffl4CE+a4DE=：130。，則附DE的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【詳解】ABAC=ZDAEABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC：.4BAD=ZCAE

'AB=AC

AB^AC,AD=AE.?.在和VC4￡中《NBA。=NC4E

AD=AE

,BAD名\CAE(SAS)ZABD=ZACE

,ZCAE+ZACE+ZADE=130°ZABD+/BAD+ZADE=130°

ZADE=ZABD+ZBAD：.2ZADE=130°.?.ZADE=65°故選：B.

【變式訓(xùn)練1】如圖，將正方形A8CD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到正方形A8CD一線段CD,

8c交于點E,若DE=1,則正方形的邊長等于.

C'

ABAB

【答案】2+行

【詳解】解：連接AC.AE,延長CB，交AC于點F,過點F作G用DC于G,

由題意得，AD=AB',^D=SAB'E,SB'AB=60°^CAB=^GCB'=45",00DAB'=3O°,^CAB'=15"

IA￡)—A3，

在R7W\DE與/?7248'￡中彳，^RT^ADE^RT^AB'E(HL),

[AE=AE

02￡ME=EIB'AE=g團DA8'=15°,DE=EB'=1,甌8'A￡=?CA8'

ZB'AE=^CAB'

在M8'E和MB'F中(AB'=AB',aM8'￡0EWB'F(ASA),^EB'=BF=1

NEB'A=NFB'A

a3DE8'=360--!3D-l2EB"A-^DAB'=150°,H3GEF=30°

RT^EGF中，EG=EFxcosSGEF=2x也=6，DF=EFxsinBGEF=2xg=1

22

在EICGF中，I3GCF=45°,I3CG=GF=1,WC=DE+EG+GC=2+43

所以正方形的邊長為2+6，故答案為2+6

【變式訓(xùn)練1】如圖，AC±BC,DC±EC,ACBC,DC=EC,

求證：(1)△ACE^kBCD；(2)AELBD.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【詳解】證明：(1)QACJ_3C,DC上EC,:.ZACB=NDCE=90。，

:.ZACB+ZACD=NDCE+ZACD，;.NDCB=NECA,

AC^BC

在ADCB和AEC4中，，ZDCB=ZECA,\DCBMAEC^MS)；

CD=CE

(2)如圖，設(shè)AC交BO于N,AE交BZ)丁0,

\DCB=^ECA,：.ZA=ZB-ZAND=ZBNC,NB+NBNC=90°,

ZA+ZAND=90°,:.ZAON=90°.:.AE±BD.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB^AC,AE=AD，NCAB=NEAD=a.

(1)求證：△AECvAADB；(2)若a=90°，試判斷BD與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并

證明；

(3)若/。18=/石4。=2，求NCE4的度數(shù).

E

a

【答案】(1)見詳解：(2)BD=CE,BD0CE；(3)900-y

【詳解】(1)03CAB=fflEADI?ElCAB+0BAE=e]EAD+0BAE,1313CAE=0BAD,

AB=AC

0AB=AC,AE=ADi^OAEC^B0ADB+SCAE=ZBADE0AEC00ADB(SAS)

AE=AD

(2)CE=BD且CE回BD,證明如下：將直線CE與AB的交點記為點0,

由(1)可知回AECEBADB,0CE=BD,0ACE=aABD,

00BOF=0AOC,13a=90°,00BFO=0CAB=0a=90°,0CE0BD.

(3)過A分另lj做AME1CE,ANEIBD由(1)知回AEC02IADB,

El兩個三角形面積相等故AM-CE=ANBDOAM=AN0AF平分I3DFC

1a

由(2)可知回BFC=?BAC=aaaDFC=180°-aaacFA=-(3DFC=90°—一

22

【變式訓(xùn)練3】如圖①，在m8c中，附=90。，AB=AC=^2+1,8c=2+0,點D、E

分別在邊AB、AC上，且AD=AE=1,DE=應(yīng).現(xiàn)將MDE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角

為a(0°<?<180°),如圖②，連接CE、BD、CD.

(1)如圖②，求證：CE=BD；

(2)利用備用圖進行探究，在旋轉(zhuǎn)的過程中CE所在的直線能否垂直平分BD?如果能，請

猜想a的度數(shù)，畫出圖形，并將你的猜想作為條件，給出證明；如果不能，請說明理由;

(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)胡8的面積最大時，a=。.(直接寫出答案即可)

圖①圖②備用圖

【答案】⑴證明見解析；(2)能，a=90°；(3)a=135°.

【詳解】(1)證明：如圖2中，根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,NC4B==90。，

ZCAE+ZBAE=ZBAD+ABAE=90°,ZCAE^ZBAD,

AC=AB

在AACE和A/WD中，,NCAE=NBA。，.lAACEMAABaSAS),..CE=BD；

AE=AD

(2)能，若CE所在直線垂直平分BD,則CD=8C,

EL4B=4C=V2+1.8c=2+正，AD=AE=1,DE=&,

0/iC+AD=V2+1+1=2+^,CD=BC=2+V2,SAC+AD=CD,即A、C、。在同一條直線上,

此時a=90。，

如下圖，CE的延長線與8D交于F,

與(1)同理可得入43三兇3￡>(915),二/4點=445。，

ZACE+ZAEC=90°,且ZAEC=ZFEB,ZABD+ZFEB=90°,ZEFB=90°,

CF1BD,

BC=8,.1CF是線段80的垂直平分線；

(3)解：ABCD中，邊BC的長是定值，則8c邊上的高取最大值時MS的面積有最大值,

???當(dāng)點。在線段8c的垂直平分線上時，MCD的面積取得最大值，如圖中：

AB=AC=yf2+i>AD=AE=\.NC4B=NEW=90。，DGLBCrG,

:.AG=-BC=^^，ZG4B=45°,

22

DG=AG+AD=^^+\=^^,ZDAB=180°-45o=135°,

22

.?.ABCD的面積的最大值為：，BC.DG=L(&+2)(叵9)=逑￡,旋轉(zhuǎn)角a=135。.

2222

模型五、手拉手全等模型

例.如圖，B,C,E三點在一條直線上，AABC和AOCE均為等邊三角形，BD與AC交

于點M，AE與CD交于點N.

(1)求證：AE=BD；⑵若把ADCE繞點C任意旋轉(zhuǎn)一個角度，(1)中的結(jié)論還成立

嗎？請說明理由.

【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析.

【詳解】解：（1）證明：如圖1中，AABC與AQCE都是等邊三角形,

圖2

/.AC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=60°，

ZACB+ZACD+ZDCE=180,：.ZACD=60°，

ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE，

BC=AC

即ZBCO=ZACE.在ABCD和MCE中，＜NBCD=ZACE,

CD=CE

.?.ZkfiCZ)2MCE(SAS).:.BD=AE.即AE=BD,

(2)成立A￡=BD：理由如下：如圖2中，\ABC.ADCE均為等邊三角形，

/.BC=AC,CD=CE,ABCA=ZDCE=60°,

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,即/BCD=NACE，

AC=BC

在AACE和ABCD中，＜NBCO=NACE,AACEs^BCD(SAS),：,AE^BD.

CD=CE

【變式訓(xùn)練1】如圖，EIOAB和回。CD中，OA=OB,OC=OD,(2AOB=0COD=9O°,AC、BD

交于點M.⑴如圖1,求證：AC=BD,判斷AC與BD的位置關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2,0AOB=?COD=6O。時，I3AMD的度數(shù)為.

83：

【答案】⑴答案見解析；（2）120.

【詳解】⑴ZAOB=ZCOD=90,ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD.

即：ZBOD=ZAOC.

OA=OB,OC=OD,易證二BOD^_AOC.

ZOBD=ZOAC.AC=BD

0ZAMD=ZABM+ZBAM,ZBAM=ZBAO+ZOAC.

0ZAMD=ZABM+ZBAO+ZOBD=/OBA+ZBAO.

0ZAOB=9O.0AOBA+ZBAO=90.ZAMD=90.0AC0BD

（2）同理可得.ZAMD=AOBA+ZBAO.ZAOB=60.ZOBA+ZBAO=\2Q.

.?.NAM。=120.故答案為：120.

【變式訓(xùn)練2】如圖，將兩塊含45。角的大小不同的直角三角板MOD和回AOB如圖①擺放,

連結(jié)AC,BD.（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出

結(jié)論并證明；（2）將圖①中的回COD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC,

BD,其他條件不變，線段AC與BD存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由.（3）將

圖①中的雕OD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC,BD,其他條件不變，

線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論.

【答案】（1）AC=BD,AC0BD,證明見解析；（2）存在，AC=BD,AC0BD,證明見解析；（3）

AC=BD,AC0BD

【詳解】（1）AC=BD,AC0BD,證明：延長BD交AC于點E.

A

EBCOD和I3A0B均為等腰直角三角形，0OC=OD,OA=OB,@COA=0BOD=9O5,

00AOC00BOD(SAS),(3AC=BD,EEIOAC=0OBD,

00ADE=0BDO,E0AED=0BOD=9O2,0AC0BD；

(2)存在，證明：延長BD交AC丁點F,交AO于點G.

EBCOD和EIAOB均為等腰直角三角形，0OC=OD,OA=OB,0DOC=BOA=9O5,

EEAOC=(3DOC—13DOA,0BOD=0BOA-E1DOA,

00AOC=BBOD,G0AOCI30BOD(SAS),0AC=BD,0OAC=0OBD,

(30AGF=0BGO,02AFG=0BOG=9O5,EIAC0BD：

(3)AC=BD,AC0BD.證明：BD交AC于點H,AO于M,

EHCOD和IBAOB均為等腰直角三角形，EIOC=OD,OA=OB,!3DOC=BOA=90e,

I30AOC=I3DOC+0DOA,0BOD=0BOA+0DOA,

(?I0AOC=0BOD,E0AOO30BOD(SAS),0AC=BD,0OAC=0OBD,

00AMH=13BMO,I2EAHM=?BOH=90。，0AC0BD.

【變式訓(xùn)練3】已知：如圖1,在AA3C和AM)石中，NC=NE,ZCAE^ZDAB,

BC=DE.(1)證明八鉆0兒4￡>￡.(2)如圖2,連接CE和BO,DE,A。與BC

分別交于點M和N,ZDMB=56°,求ZACE的度數(shù).(3)在(2)的條件下，若CN=,

請直接寫出NCS4的度數(shù).D

X

圖1國2

【答案】(1)證明見解析；(2)MCE=62°；(3)^CBA=&°.

【詳解】解：(1)00CAE=0DAB,B0CAE+BCAD=13DAB+0CAD.i!P0CAB=EIEAD,

NC=NE

在回ABC和團ADE中，｛ZCAB=ZEADEBABC03ADE(AAS),

BC=DE

(2)EBABCEBADE,03CBA=I3EDA,AC=AE,

在E1MND和0ANB中，函EDA+EIMND+I3DMB=180°，0CBA+0ANB+0DAB=180°，

又回EIMND=?ANB,團團DAB=21DMB=56",EBCAE=E1DAB=56°，

0AC=AE,EBACE=I3AEC=-(180--56°)=62°,00ACE=62"，

(3)EICBA=6°.

如圖所示，連接AM,N2VC4=NME4,CN=EM,CA=EA,，VNC4MVME4(SAS),

AM=AN,ZEAM=/CAN,：.ZEAM-ZCAM=ZCAN-ZCAM即

ZEAC-ZMAN,

由(2)可得：NEAC=NMAN=56NANM=—(180-56°)=62°,

2

0CAE=0DAB=56s.，.NCBA=ZANM-ZDAB=62°-56°=6°.

課后訓(xùn)練

1.如圖，已知=BC=DE,且NC4T>=10。，ZB=ZE>=25°,ZE4B=120°,

則NEG產(chǎn)的度數(shù)為()

A.120'C.115°D.125°

【答案】C

AB=AD

【詳解】在M8C和MOE'中｛N8=NO^^ABCSBADE(SAS)WBAC=SDAE

BC=DE

1

S<SEAB=BBAC+QDAE+SCAD=120°WBAC=QDAE=-x(120°-10°)=55°

2

EIE)8AF=(38AC+(3C4D=65°回在MFB中，EWFB=180--團8-回&4F=9O-I20GFD=9O°

在EIFGD中，回EGF=[3D+I3GFD=：L15°故選：C

2.如圖，回ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EFI3AB于F,回B=IM+I212,AB=CD,BF=

【詳解】在以上取一點T,使得FT=BF,連接ET,在CB上取一點K,使得CK=ET,連接DK.

BEB=ET,釀8=恥78,^EETB=Q1+SAET,回8=[31+回2,皿￡7=回2,

BAE=CD,ET=CK,SBAEl^DCK(SAS),

SDK=AT,^ATE=WKC,回回ET8=0DKB,S/3B=WKB,SDB=DK,SBD=AT,BAD=BT,

888

E)8T=28F=—，加。=一，故答案為：一.

333

3.如圖，？A2?C,BO平分NA3C,BC=\Q,AB=6,則A￡>=

【答案】4

【詳解】解：(1)在8C上截取8E=8A,如圖，

團8。平分S48C,WABD=@EBD,

BE=BA

在048。和團8ED中，<NABD=ZEBD,WABDWEBD(SAS),

BD=BD

E1DE=AD,0BED=EM,又回04=2mC,0I3BED=0C+0EDC=20C,

EBEDC=E)C,SED=EC,E)EC=AD,BE+EC=AB+AD,

0BC=10,48=6,04D=1O-6=4；故答案為：4.

4.如圖，正方形A8CD,將邊CD繞點。順逆時針旋轉(zhuǎn)a(0-<a<90。)，得到線段。E,連接

AE,CE,過點A作A甩CE交線段CE的延長線于點F,連接8F.

(1)當(dāng)AE=A8時，求a的度數(shù)；

(2)求證：MEF=45°；

(3)求證：AESFB.

【答案】(1)a=30。；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【詳解】解：⑴在正方形ABCD中，AB=AD=DC,

由旋轉(zhuǎn)可知，DC=DE,^AE=AB^AE=AD=DE

0L4ED是等邊三角形，00ADE=6O°,EB4DC=90。，

0a=EWDC-l?MDE=9O°-6O°=3O°.

ion—小門

(2)證明：在團CDE中，DC=DE,00DCE=(3DFC=---------=90,

22

在BADE中，AD=ED,EL4DE=90°—a,WDAE^DEA=180=45+￡

22

QBAEC^DEC+WEA=90--+45+-=135°.WAEF=45",

22

(3)證明：過點8作8G〃CF與AF的延長線交于點G,過點B作BH〃GF與CF交于點H,

則四邊形BGF”是平行四邊形，

EMF0CF,回平行四邊形8GF”是矩形，

H34FP=EW8C=90°,MPF=E)8PC,B^IGAB^BCP,

'NGAB=NHCB

在048G和回CBH中，,NBGA=NBHC,WABG^ECBH(AAS),

AB=CB

EI8G=8H,圓矩形8GFM是正方形，SEHFB=45°,

由(2)可知：SAEF=45°,H3”FB=MEF=45°,附E0FB.

D

5.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O,AB=AC,點E是BD上一點，且

AE=AD,ZEAD=ZBAC.

(1)求證：ZABD=ZACD；

(2)若/ACB=65L求/BDC的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）50°

【解析】（1）證明：VZBAC=ZEAD,/BAC—/EAC=NEAD-NEAC,即/BAE

=ZCAD,

AB=AC

ZBAE=Z.CAD,：.AABE^AACD，,NABD=NACD；

{AE=AD

（2）；NBOC是aABO和△DCO的外角，，NBOC=NABD+NBAC,ZBOC=ZACD

+ZBDC,

ZABD+/BAC=/ACD+ZBDC,

VZABD=ZACD,/.ZBAC=ZBDC,

VZACB=659,AB=AC,；.NABC=NACB=65。，

ZBAC=180?-ZABC-ZACB=180?-65?-659=505,AZBDC=ZBAC=505.

6.如圖①，在如18c中，回BAC=90。，AB=AC,點E在AC上（且不與點A、C重合），在E1ABC

的外部作回CED,使團CED=90°,OE=CE,連接AD,分別以A8、為鄰邊作平行四邊形ABF。，

連接AF.

（1）求證：EF=AE；

（2）將囪CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段BC上時，如圖②，連接AE,請判斷線段

AF、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）AF=&AE，見解析.

【詳解】解：（1）如圖，四邊形A8FD是平行四邊形，，AB=DF,

AB^AC,■■AC=DF,

DE=EC--.AE=EF-,

（2）AF=y/2AE,證明：連接EF,設(shè)DF交BC于K,

四邊形A8FD是平行四邊形，.?/勿/)

0DK￡=EWBC=45°,二團EKF=180°-(3DKE=135°

EMDE=180°-ElEDC=180°-45°=135°,二^EKF=SADE,

Q\DKC=SC,DK=DC,DF=AB=AC,；?KF=AD

EK=DK

在E1EKF和回EDA中，■NEKF=NADE,/.{SEKFWEDA(SAS)

KF=AD

EF=EA,BKEF=SAED,：■SFEA=^BED=90",

，班EF是等腰直角三角形，AF=y/2AE.

7.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的一點，F(xiàn)為AB邊上一點，

連接CF,交BE于點D且/ACF=NCBE,CG平分NACB交BD于點G,

(1)求證：CF=BG；

(2)延長CG交AB于H,連接AG,過點C作CP〃AG交BE的延長線于點P,求證：PB

=CP+CF；

(3)在(2)問的條件下，當(dāng)NGAC=2NFCH時，若SAAEG=3?,BG=6,求AC的長.

CC

E

H

圖2

【解答】（1）見解析；（2）見解析；（3）40=3，？+3

【解析】(1)證明，：/人?8=90°,AC=BC,r.ZA=450,

：CG平分NACB,.\ZACG=ZBCG=45°,.*.ZA=ZBCG,

在4BCG和ACAF中，

(^A=ZACG

V<AC=BC,

乙ACF=匕CBE

.".△BCG^ACAF(ASA),...CF=BG：

(2)：PC〃AG,?*.ZPCA=ZCAG.

：AC=BC,/ACG=NBCG,CG=CG,

.?.△ACG^ABCG,；./CAG=NCBE,

VZPCG=ZPCA+ZACG=ZCAG+45°=NCBE+45°,ZPGC=ZGCB+ZCBE=Z

CBE+45°,

.*.ZPCG=ZPGC,APC=PG,

：PB=BG+PG,BG=CF,：.PB=CF+CP；

(3)如圖，過E作EMJ_AG,交AG于M,

由(2)得△ACGgZXBCG,，BG=AG=6,

AX6XEM=3y/3,EM=\/5,

設(shè)/FCH=x°,則/GAC=2x°,AZACF=ZEBC=ZGAC=2x°,

VZACH=45",；.2x+x=45,x=15,/