北師大版年八年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點解讀專題訓(xùn)練》專題1.2等邊三角形(知識解讀)(原卷版+解析)

專題1.2等邊三角形（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標】1.理解等邊三角形的定義.2.探索并證明等邊三角形的性質(zhì)定理.3.探索并掌握等邊三角形的判定定理.4.通過探究掌握30°角的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用.5.經(jīng)過應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)與判定的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力.6.通過探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)的過程；增強學(xué)生對特殊直角三角形的認識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力.【知識點梳理】知識點1等邊三角形的概念與性質(zhì)等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°知識點2等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點3含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典例分析】【考點1：等邊三角形的性質(zhì)】【典例1】（2021秋?峨邊縣期末）如圖，等邊△ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高，則高AD的長為（）A． B． C．1 D．【變式1-1】（2022春?漳州期中）在△ABC中，AB＝AC＝BC，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【變式1-2】（2021秋?紫陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且∠E＝30°，則CE的長是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式1-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD⊥BC于點D，則AD的長為（）A．3 B．6 C．3 D．3【典例2】（2020?金牛區(qū)校級模擬）如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點A、B分別在直線l1、l2，則∠1+∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式2-1】（2022?長安區(qū)一模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式2-2】（2021?玉田縣二模）如圖，AD是等邊△ABC的中線，AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°【考點2等邊三角形的判定】【典例3】（2020秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點D為線段EC的中點，求證：△ADE是等邊三角形．【變式3-1】（2021秋?寬城區(qū)校級期中）如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，EA＝EC．（1）求∠EBC的度數(shù)；（2）求證△ABC為等邊三角形．【變式3-2】（2020春?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足，求證：△DEF是等邊三角形．【典例4】（2021秋?石泉縣期末）已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【變式4-1】（2020?大冶市模擬）在等邊三角形ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求證：△ABP≌△CAQ；（2）請判斷△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【變式4-2】（2016秋?岳池縣期末）如圖，等邊△ABC中，點D在延長線上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．說明：△ADE是等邊三角形．【變式4-3】（2021秋?東莞市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD＝DE．（1）若點D是AC的中點，如圖1，求證：AD＝CE．（2）若點D不是AC的中點，如圖2，試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（提示：過點D作DF∥BC，交AB于點F）【考點3：等邊三角形的判定與性質(zhì)】【典例5】（2012秋?紅塔區(qū)校級期末）如圖：已知在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：DE＝DF；（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周長．【變式5-1】（2021秋?永川區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周長．【變式5-2】（2018秋?路北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD＝3，求DF的長．【考點4：含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【典例6】（2021秋?陽江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【變式6-1】（2021秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，則AB的長是（）A．8 B．1 C．2 D．4【變式6-2】（2022春?碑林區(qū)校級月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝8，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則△PMN的周長是（）A．14 B．15 C．16 D．17【變式6-3】（2022?蘭州模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB為等邊三角形，頂點A的坐標為A（4，0），則頂點B的坐標為（）A． B． C．（2，4） D．專題1.2等邊三角形（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標】1.理解等邊三角形的定義.2.探索并證明等邊三角形的性質(zhì)定理.3.探索并掌握等邊三角形的判定定理.4.通過探究掌握30°角的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用.5.經(jīng)過應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)與判定的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力.6.通過探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)的過程；增強學(xué)生對特殊直角三角形的認識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力.【知識點梳理】知識點1等邊三角形的概念與性質(zhì)等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°知識點2等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點3含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典例分析】【考點1：等邊三角形的性質(zhì)】【典例1】（2021秋?峨邊縣期末）如圖，等邊△ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高，則高AD的長為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：∵等邊△ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝1，由勾股定理得：AD＝＝＝，故選：B．【變式1-1】（2022春?漳州期中）在△ABC中，AB＝AC＝BC，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，故選：C．【變式1-2】（2021秋?紫陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且∠E＝30°，則CE的長是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵等邊△ABC的邊長AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故選：B．【變式1-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD⊥BC于點D，則AD的長為（）A．3 B．6 C．3 D．3【答案】D【解答】解：在等邊△ABC中，∵AD⊥BC，∴D為BC的中點，∵等邊三角形的邊長為6，∴AB＝6，BD＝3，根據(jù)勾股定理，得AD＝＝3，故選：D．【典例2】（2020?金牛區(qū)校級模擬）如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點A、B分別在直線l1、l2，則∠1+∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠CBA+∠BAC+∠2＝180°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBA＝∠BAC＝60°，∴∠1+∠2＝180°﹣（∠CBA+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，故選：D．【變式2-1】（2022?長安區(qū)一模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】A【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，過B作BM∥直線a，∴∠ABM＝∠1＝40°，∴∠MBC＝60°﹣∠ABM＝60°﹣40°＝20°，∵直線a∥直線b，∴直線b∥BM，∴∠3＝∠MBC＝20°，∵∠3+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣20°﹣60°＝100°，故選：A．【變式2-2】（2021?玉田縣二模）如圖，AD是等邊△ABC的中線，AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵AD是等邊△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故選：D．【考點2等邊三角形的判定】【典例3】（2020秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點D為線段EC的中點，求證：△ADE是等邊三角形．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AE＝BE，∴∠B＝∠EAB，∴∠EAB＝30°，∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，即∠CAE＝90°；（2）方法一：證明：由（1）知，∠CAE＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AEC＝60°，∴∠DEA＝60°，∵點D為線段EC的中點，∴AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，又∵∠DEA＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝60°，∴∠ADE＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，∴△ADE是等邊三角形．方法二：證明：由（1）知，∠CAE＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AEC＝60°，AE＝CE，∴∠DEA＝60°，∵點D為EC的中點，∴AD＝CE＝DE，∴AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形．【變式3-1】（2021秋?寬城區(qū)校級期中）如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，EA＝EC．（1）求∠EBC的度數(shù)；（2）求證△ABC為等邊三角形．【解答】解：（1）∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°．（2）證明：∵BE⊥CE，AE＝CE，∴BE垂直平分AC，∴AB＝BC．∵∠ECB＝60°．∴△ABC是等邊三角形．【變式3-2】（2020春?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足，求證：△DEF是等邊三角形．【解答】證明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△BDE與△CDF中，，∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等邊三角形．【典例4】（2021秋?石泉縣期末）已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形．【變式4-1】（2020?大冶市模擬）在等邊三角形ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求證：△ABP≌△CAQ；（2）請判斷△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，∴△APQ是等邊三角形．【變式4-2】（2016秋?岳池縣期末）如圖，等邊△ABC中，點D在延長線上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．說明：△ADE是等邊三角形．【解答】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，即∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE為等邊三角形．【變式4-3】（2021秋?東莞市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD＝DE．（1）若點D是AC的中點，如圖1，求證：AD＝CE．（2）若點D不是AC的中點，如圖2，試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（提示：過點D作DF∥BC，交AB于點F）【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D為AC中點，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）AD＝CE，如圖2，過D作DF∥BC，交AB于F，則∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等邊三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．【考點3：等邊三角形的判定與性質(zhì)】【典例5】（2012秋?紅塔區(qū)校級期末）如圖：已知在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：DE＝DF；（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周長．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對等角）．∵D是BC的中點，∴BD＝CD．在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．∴DE＝DF（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∴∠B＝60°，∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，∵BE＝1，∴BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周長為12．【變式5-1】（2021秋?永川區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周長．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵D是BC中點，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（2）證明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周長＝4×3＝12，【變式5-2】（2018秋?路北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD＝3，求DF的長．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角