北師大版七年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練專題11易錯易混集訓：相交線與平行線(原卷版+解析)

專題11易錯易混集訓：相交線與平行線【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯點一對“三線八角”的概念理解有誤】 1【易錯點二混淆角的位置關系，畫不出圖形而致錯】 5【易錯點三圖形或線的位置不確定，考慮問題不全致錯】 8【典型例題】【易錯點一對“三線八角”的概念理解有誤】例題：（2022秋·安徽阜陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，按各角的位置，有下列敘述：①是同旁內(nèi)角；②是同旁內(nèi)角；③是內(nèi)錯角；④是內(nèi)錯角．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④【變式訓練】1．（2023春·七年級單元測試）下列各圖中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）下列四個圖形中，和是內(nèi)錯角的是（

）A．B．C．D．3．（2021春·重慶南岸·七年級重慶市第十一中學校?？计谥校┤鐖D，下列說法不正確的是（

）A．與是同位角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯角 D．與是同旁內(nèi)角4．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？奸_學考試）如圖，下列判斷正確的是（

）A．與是同旁內(nèi)角B．與是同位角C．與是對頂角D．與是內(nèi)錯角5．（2022春·河北滄州·七年級?？茧A段練習）如圖，下列說法正確的有（

）①∠1與∠2是同旁內(nèi)角；②∠1與∠ACE是內(nèi)錯角；③∠B與∠4是同位角；④∠1與∠3是內(nèi)錯角．A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①②③④6．（2022春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，下列說法中錯誤的是（

）A．與是內(nèi)錯角 B．與是鄰補角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是內(nèi)錯角【易錯點二混淆角的位置關系，畫不出圖形而致錯】例題：（2023秋·河南南陽·七年級南陽市第三中學?？计谀﹥蓚€角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，則這兩個分別是___________．【變式訓練】1．（2022秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）兩個角和的兩邊互相平行，且角比角的3倍少40°，則這個角是______度．2．（2022春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期中）一輛汽車經(jīng)過兩次轉彎后，行駛的方向與原來的方向保持平行，且行駛方向相同，如果第一次向右拐64°，則第二次拐彎的方向及角度是______．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學校?？计谥校┮粭l公路兩次轉彎后，和原來的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角為______．4．（2021春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）若∠A與∠B的一組邊平行，另一組邊垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，則∠B的度數(shù)為_____．【易錯點三圖形或線的位置不確定，考慮問題不全致錯】例題：（2022春·四川成都·七年級?？计谥校蓧K透明的三角尺的直角頂點按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，），將繞點轉動，滿足點在直線的上方，且小于，當這兩塊三角尺有一組邊互相平行時，的度數(shù)為______．【變式訓練】1．（2022春·福建三明·七年級?？计谥校榱肆粱尘包c，三明市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示，A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動4秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是_______________秒．2．（2022春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且，則的度數(shù)是______．3．（2022春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊重合，，．接著如圖2保持三角板不動，將三角板繞著點C按順時針以每秒的速度旋轉后停止．在此旋轉過程中，當旋轉時間______________秒時，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．4．（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）樂樂把兩塊含30°角的三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)固定三角尺不動，將三角尺繞頂點順時針移動，當時，的所有可能符合的度數(shù)為______．5．（2022春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器的0°刻度線重合，邊AP與量角器的180°刻度線重合．將三角尺PCD繞點P以每秒3°的速度逆時針旋轉，當三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時停止運動，則當運動時間t=______秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．6．（2022春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，將一副三角板如圖擺放，點在邊上，將圖中的三角板繞點按每秒的速度沿順時針方向旋轉，在第________秒時，三角板中恰有一邊與邊平行．專題11易錯易混集訓：相交線與平行線【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯點一對“三線八角”的概念理解有誤】 1【易錯點二混淆角的位置關系，畫不出圖形而致錯】 5【易錯點三圖形或線的位置不確定，考慮問題不全致錯】 8【典型例題】【易錯點一對“三線八角”的概念理解有誤】例題：（2022秋·安徽阜陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，按各角的位置，有下列敘述：①是同旁內(nèi)角；②是同旁內(nèi)角；③是內(nèi)錯角；④是內(nèi)錯角．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④【答案】A【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，內(nèi)錯角的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：①是同旁內(nèi)角，正確；②是同旁內(nèi)角，正確；③是內(nèi)錯角，正確；④不是內(nèi)錯角，故原說法錯誤．所以正確的是①②③．故選：A【點睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的定義，熟練掌握兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁、被截兩直線的同一方，我們把這種位置關系的角稱為同位角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角；兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，并在截線同旁的兩個角稱為同旁內(nèi)角是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·七年級單元測試）下列各圖中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同位角的意義，結合圖形進行判斷即可．【詳解】解：A．選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；B．選項中的兩個角符合同位角的意義，符合題意；C．選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；D．選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；故選：B．選項【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同側，并且在被截線的同一方的兩個角是同位角．2．（2022春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）下列四個圖形中，和是內(nèi)錯角的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的概念：處于兩條被截直線之間，截線的兩側，再逐一判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠2不是內(nèi)錯角，選項不符合題意；B、∠1與∠2是內(nèi)錯角，選項符合題意；C、∠1與∠2不是內(nèi)錯角，選項不符合題意；D、∠1和∠2不是內(nèi)錯角，選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了內(nèi)錯角，關鍵是根據(jù)內(nèi)錯角的概念解答．注意：內(nèi)錯角的邊構成“Z”形．3．（2021春·重慶南岸·七年級重慶市第十一中學校?？计谥校┤鐖D，下列說法不正確的是（

）A．與是同位角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】本題要根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義來判斷．【詳解】解：∵同位角是在截線同旁，被截線相同的一側的兩角，且同位角的邊構成“F”形，∴A，B正確；∵兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角，∴C選項正確，D選項，與不是同旁內(nèi)角，故選：D．【點睛】本題考查了內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義，掌握內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義是解題的關鍵．兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角，兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁內(nèi)角，兩個角稱為同旁內(nèi)角；同位角是在截線同旁，被截線相同的一側的兩角，且同位角的邊構成“F”形．4．（2022秋·河北邯鄲·八年級校考開學考試）如圖，下列判斷正確的是（

）A．與是同旁內(nèi)角B．與是同位角C．與是對頂角D．與是內(nèi)錯角【答案】A【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和對頂角的概念解答即可．【詳解】解：A、與是同旁內(nèi)角，故本選項符合題意；B、與不是同位角，故本選項不合題意；C、與不是對頂角，故本選項不合題意；D、與不是內(nèi)錯角，故本選項不合題意；故選：A．【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線(截線)的同旁，則這樣一對角叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線(截線)的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線(截線)的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．5．（2022春·河北滄州·七年級?？茧A段練習）如圖，下列說法正確的有（

）①∠1與∠2是同旁內(nèi)角；②∠1與∠ACE是內(nèi)錯角；③∠B與∠4是同位角；④∠1與∠3是內(nèi)錯角．A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和同位角的定義逐一判斷即可．【詳解】解：由圖可得①∠1與∠2是同旁內(nèi)角，正確；②∠1與∠ACE是內(nèi)錯角，正確；③∠B與∠4是同位角，正確；④∠1與∠3是內(nèi)錯角，正確．∴①②③④正確．故選D．【點睛】本題考查了同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和同位角的定義，解決本題的關鍵是掌握以上的定義：同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁內(nèi)角；內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角；同位角：兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線a，b的同一側的角，我們把這樣的兩個角稱為同位角．6．（2022春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，下列說法中錯誤的是（

）A．與是內(nèi)錯角 B．與是鄰補角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是內(nèi)錯角【答案】D【分析】根據(jù)內(nèi)錯角、鄰補角、同旁內(nèi)角的定義對各選項逐一判斷．【詳解】解：A、與是內(nèi)錯角，正確，不符合題意；B、與是鄰補角，正確，不符合題意；C、與是同旁內(nèi)角，正確，不符合題意；D、與不是內(nèi)錯角，選項不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查內(nèi)錯角、鄰補角、同旁內(nèi)角的定義，解決本題的關鍵是熟練各角的位置關系．【易錯點二混淆角的位置關系，畫不出圖形而致錯】例題：（2023秋·河南南陽·七年級南陽市第三中學?？计谀﹥蓚€角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，則這兩個分別是___________．【答案】或【分析】設一個角度數(shù)為x，則另一個角度數(shù)為，根據(jù)等量關系，列出方程，即可求解．【詳解】∵兩個角的兩邊分別平行，∴兩個角相等或互補，設一個角度數(shù)為x，則另一個角度數(shù)為，由題意得：或，解得：或．∴或答：這兩個角的度數(shù)分別是：或．故答案是：或．【點睛】本題主要考查一元一次方程和角的運算綜合，根據(jù)“兩個角的兩邊分別平行”得：兩個角相等或互補，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）兩個角和的兩邊互相平行，且角比角的3倍少40°，則這個角是______度．【答案】20或125##125或20【分析】由題意得，分兩種情況：①兩個角相等；②兩個角互補．【詳解】由題意得：，①當時，得，解得，則；②當時，得，解得，則；故答案為：20或125．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是明確題意，分兩種情況討論．2．（2022春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期中）一輛汽車經(jīng)過兩次轉彎后，行駛的方向與原來的方向保持平行，且行駛方向相同，如果第一次向右拐64°，則第二次拐彎的方向及角度是______．【答案】向左64°【分析】畫出圖形，結合原來的行駛方向和平行線的性質(zhì)即可得到結果．【詳解】解：如圖，由題意可得：∠CBE=64°，，∴∠DCF=∠CBE=64°，∴第2次拐彎的方向及角度為向左64°，故答案為：向左64°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，注意數(shù)形結合法的應用，注意掌握兩直線平行，同位角相等．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學校?？计谥校┮粭l公路兩次轉彎后，和原來的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角為______．【答案】或【分析】分兩種情況，當兩次轉彎后，公路的方向是相反時，當兩次轉彎后，公路的方向相同時，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，所示，當兩次轉彎后，公路的方向是相反時，∵，∴，∴第二次的拐角為；如圖所示，當兩次轉彎后，公路的方向相同時，∵，∴，∴第二次的拐角為；綜上所述，第二次的拐角為或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確根據(jù)題意畫出圖形，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．4．（2021春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）若∠A與∠B的一組邊平行，另一組邊垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，則∠B的度數(shù)為_____．【答案】75°或25°【分析】首先由兩個角的兩邊分別平行，另一組邊互相垂直．可分為兩種情況．根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行同位角相等，以及垂直的定義，即可求得答案，注意別漏解．【詳解】解：如圖1：∵AE∥BF，∴∠A+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠A，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝75°；如圖2：∵AE∥BF，∴∠A＝∠1，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝2∠B+15°，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴2∠B+15°+∠B＝90°，∴∠B＝25°；綜上，∠B的度數(shù)為75°或25°．故答案為：75°或25°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及垂直的定義，本題容易丟解，分類討論是關鍵．【易錯點三圖形或線的位置不確定，考慮問題不全致錯】例題：（2022春·四川成都·七年級?？计谥校蓧K透明的三角尺的直角頂點按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，），將繞點轉動，滿足點在直線的上方，且小于，當這兩塊三角尺有一組邊互相平行時，的度數(shù)為______．【答案】或【分析】分種情況進行討論：當時，當時，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差關系分別求得角度即可．【詳解】解：當時，∵，∴∠A+∠ACB=,∵，∴，∵∠ECB=,∴；當時，∵，∴．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題時注意分類討論思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·福建三明·七年級?？计谥校榱肆粱尘包c，三明市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示，A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動4秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是_______________秒．【答案】2或8##8或2【分析】設A燈旋轉時間為t秒，B燈光束第一次到達BQ需要180÷10=18（秒），推出t≤18-4，即t≤14．利用平行線的判定，構建方程解決問題即可．【詳解】解：設A燈旋轉時間為t秒，B燈光束第一次到達BQ需要180÷10=18（秒），∴t≤18-4，即t≤14．由題意，滿足以下條件時，兩燈的光束能互相平行：①如圖1，∠=∠，30t=10（4+t），解得t=2；②如圖2，當A燈發(fā)出的光束旋轉至AN回轉時，∠+∠=180°，30t-180+10（4+t）=180，解得t=8；綜上所述，A燈旋轉的時間為2或8秒．故選：2或8．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解決此題的關鍵是分類討論、有平行的性質(zhì)列出每種情況的等量關系．2．（2022春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且，則的度數(shù)是______．【答案】99°或45°【分析】根據(jù)，，可知，此時需要進行分情況討論，為銳角時，；為鈍角時，，由此即可得出結果．【詳解】解：∵，，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），如圖1所示，，如圖2所示，，∴的度數(shù)為45°或99°．故答案為：45°或99°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，分情況討論是解題的關鍵．3．（2022春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊重合，，．接著如圖2保持三角板不動，將三角板繞著點C按順時針以每秒的速度旋轉后停止．在此旋轉過程中，當旋轉時間______________秒時，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．【答案】2或3或5【分析】分三種情況：①當AB時，②當AC時，③當AB時，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠的度數(shù)，進而解答即可．【詳解】解：分三種情況：①當AB時，如圖：∴∠＝∠BAC＝45°，∴15t＝45，∴t＝3；②當AC時，如圖，∴∠＝∠＝30°，∴15t＝30，∴t＝2；③當AB時，如圖，過點C作CEAB，則CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，∴15t＝75，∴t＝5．綜上所述，當旋轉時間t＝2或3或5秒時，三角板有一條邊與三角板ABC的一條邊恰好平行．故答案為：2或3或5．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．4．（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）樂樂把兩塊含30°角的三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)固定三角尺不動，將三角尺繞頂點順時針移動，當時，的所有可能符合的度數(shù)為______．【答案】60°或120°【分析】分2種情形畫出圖形，再利用平行線的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：①如圖，由題意得：∠ACB=30°，∠CDE=90°，∵DEAC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°；②如圖，由題意得：∠ACB=30°，∠CDE=90°，∵DEAC，∴∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=60°．故答案為：60°或120°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5．（2022春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器的0°刻度線重合，邊AP與量角器的180°刻度線重合．將三角尺PCD繞點P以每秒3°的速度逆時針旋轉，當三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時停止運動，則當運動時間t=______秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．【答案】10或15或25【分析】分三種情況討論：①當CD