數(shù)學(xué)分析(上)-6-5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)

問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方§5

函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)從兩個(gè)熟悉的函數(shù)的圖象來(lái)看凸性的不同：返回段的上方(下方).︵如(1)和(2)式中的不等號(hào)改為嚴(yán)格不等號(hào),則相應(yīng)定義1設(shè)f為區(qū)間I上的函數(shù)．若對(duì)于I上的任意則稱f為I上的一個(gè)凸函數(shù).反之如果總有則稱f為I上的一個(gè)凹函數(shù).的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù).幾何意義：故圖形上任意弧段A1A2位于所張弦A1A2位于下方很明顯，若f(x)為(嚴(yán)格)的凸函數(shù),那么–

f(x)引理f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是：就為(嚴(yán)格)凹函數(shù)，反之亦然.從而有因?yàn)閒(x)為I上的凸函數(shù)，所以證（必要性）于是整理后即為(3)式.即由于必要性的證明是可逆的，從而得到：（充分性）對(duì)于任意則所以f為I上的凸函數(shù).同理可證f為

I上的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì)于

證明：f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是：同理可證(2)注(4)式與(1)式是等價(jià)的.所以有些課本將(4)式作為凸函數(shù)的定義.對(duì)于凹函數(shù)，請(qǐng)自行寫(xiě)出相應(yīng)的定理.幾何意義：定理6.14設(shè)f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述注(iii)中的不等式表示切線恒在凸曲線的下方.論斷互相等價(jià)：證我們?cè)谶@里再一次強(qiáng)調(diào)，而它的切線位于曲線的下方.曲線y=f(x)的弦位于相應(yīng)曲線段的上方；函數(shù)f

是凸函數(shù)的幾何意義是:

點(diǎn)擊上圖動(dòng)畫(huà)演示我們?cè)诙ɡ碇辛谐隽送购瘮?shù)的三個(gè)等價(jià)性質(zhì).請(qǐng)大家寫(xiě)出相應(yīng)的定理.對(duì)于凹函數(shù)也有類(lèi)似的性質(zhì),證由定理6.14立即可得.定理6.15設(shè)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上是凸(凹)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于嚴(yán)格凸(凹)函數(shù)，也有類(lèi)似的性質(zhì)。定理6.14，6.15只需稍作改變即可.解因?yàn)槔?例2設(shè)函數(shù)f(x)為(a,b)上的可導(dǎo)凸(凹)函數(shù).證必要性是顯然的(費(fèi)馬定理).下面證明充分性:由定理6.14的

(iii),設(shè)f(x)是凸函數(shù),x0是f(x)的穩(wěn)定點(diǎn),即

x0是f(x)的極小值點(diǎn)（而且是最小值點(diǎn)）.

2.我們實(shí)際上已經(jīng)證明：對(duì)于可微凸函數(shù)，其極值總是極小值；可微凹函數(shù)的極值總是極大值.1.在凸(凹)函數(shù)的條件下，可微函數(shù)的極值點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)是等價(jià)的.本例說(shuō)明：證：例

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同理可證：本例說(shuō)明：所以最小值只能在端點(diǎn)取到,故

例4證明不等式：證于是證得(見(jiàn)下圖)10.050.10.15這是著名的詹森不等式

.f為

I上的凸函數(shù)充要條件是：即：定理6.16必要性：由數(shù)學(xué)歸納法不難證明：證明*：充分性顯然由定義1，命題顯然成立。詹森(Jensen,J.L.

1859-1925,丹麥)

均為正數(shù).詹森不等式例5*證即又因故有再由對(duì)數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格增的，就證得的嚴(yán)格凹函數(shù)，所以有例6例7

設(shè)f為開(kāi)區(qū)間

(a,b)上的凸函數(shù),那么它在下面舉例說(shuō)明凸函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)（凹函數(shù)也成立）證上處處連續(xù).(a,b)中每一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)存在.特別是在(a,b)由引理得到這就證明了F(h)有下界.所以注開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)處處連續(xù),但不一定處處可導(dǎo);閉區(qū)間上的凸函數(shù)在端點(diǎn)不一定連續(xù).例如：圖中所示的M是一個(gè)拐點(diǎn).定義2曲線的切線，并且切線的兩側(cè)分別M是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時(shí)稱下面兩個(gè)定理是顯然的.定理6.17定理6.18拐點(diǎn)的必要條件之一拐點(diǎn)的充分條件點(diǎn)(0,0)卻是曲線-2-1O12-11MMM求拐點(diǎn)及凸凹區(qū)間的步驟:(3)求滿足方程(4)檢查在以上點(diǎn)左右附近的正負(fù)號(hào)，判定拐點(diǎn)；(1)考察函數(shù)的定義域；(2)求的點(diǎn)及不存在的點(diǎn);(5)求拐點(diǎn)及凸凹區(qū)間.解凸的凹的凸的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例

8例9解不存在凸凹復(fù)習(xí)思考題2.兩個(gè)凸函數(shù)的乘積是否是凸函數(shù)?